Derivadas: qué son y cómo resolverlas (guía completa)

hace 8 segundos · Actualizado hace 4 segundos

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es una derivada? Definición y significado
¿Qué significa la derivada en una gráfica? Pendiente de la tangente
Fórmula de la derivada: cómo se obtiene mediante un límite
Cómo calcular derivadas paso a paso
Tabla de derivadas inmediatas: fórmulas que debes conocer
Reglas de derivación: suma, producto y cociente
Regla de la cadena: derivar funciones compuestas
Derivadas de exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Derivabilidad y continuidad: cuándo no existe la derivada
Cómo hallar la ecuación de la recta tangente con derivadas
Para qué sirven las derivadas: crecimiento, máximos, mínimos y velocidad
Resumen de fórmulas y estrategias para derivar
⭐ Ejercicios resueltos de menor a mayor dificultad

¿Qué son las derivadas y cómo se calculan? La derivada de una función mide cómo cambia su valor en un instante o en un punto. En geometría representa la pendiente de la recta tangente; en física permite calcular la velocidad instantánea. En esta guía aprenderás el concepto, las reglas de derivación, la regla de la cadena y las aplicaciones, con gráficos y ejercicios resueltos.

¿Qué es una derivada? Definición y significado

La derivada de una función en un punto indica cuánto varía la función por cada unidad que cambia la variable, cuando observamos cambios cada vez más pequeños. Es una medida de variación instantánea, no de cuánto ha cambiado en un intervalo grande.

Es útil distinguir tres ideas:

Concepto	Interpretación	Ejemplo con \(f(x)=x^2\)
Función original \(f(x)\)	Da la altura de la gráfica para cada \(x\).	\(f(2)=4\)
Función derivada \(f'(x)\)	Da la pendiente en cada punto donde existe.	\(f'(x)=2x\)
Derivada en un punto \(f'(a)\)	Es un número: la pendiente en \(x=a\).	\(f'(2)=4\)

Se escribe normalmente \(f'(x)\) (efe prima), aunque también encontrarás \(\frac{dy}{dx}\) o \(\frac{d}{dx}f(x)\). El concepto nace de la idea de tasa de variación media: convertir una variación medida en un intervalo en una variación observada en un instante.

💡 Piensa en un velocímetro: si la posición de un móvil depende del tiempo, la derivada de su posición indica la velocidad instantánea. No se trata necesariamente de la velocidad media del trayecto.

¿Qué significa la derivada en una gráfica? Pendiente de la tangente

Cuando una función es derivable en un punto, la derivada coincide con la pendiente de su recta tangente. La tangente muestra la dirección de la gráfica justo en ese punto. Es distinta de una recta secante, que pasa por dos puntos de la curva.

La derivada \(f'(1)=2\) coincide con la pendiente de la recta tangente a \(f(x)=x^2\) en \(x=1\).

\(f'(a)>0\)La tangente sube de izquierda a derecha: la función crece localmente.

\(f'(a)<0\)La tangente baja de izquierda a derecha: la función decrece localmente.

\(f'(a)=0\)La tangente es horizontal; podría haber un máximo, un mínimo u otro tipo de punto estacionario.

En una ecuación de la recta, la pendiente se representa por \(m\). En una curva, la pendiente cambia de un punto a otro y se calcula con \(f'(a)\).

Fórmula de la derivada: cómo se obtiene mediante un límite

La definición precisa utiliza el límite del cociente incremental. Primero calculamos la pendiente de la secante entre los puntos \((a,f(a))\) y \((a+h,f(a+h))\). Después dejamos que \(h\) se aproxime a cero.

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

En la parábola y=t², al acercar Q a P=(0,0) la pendiente de la secante pasa de 2 a 0,8 y tiende a 0: la pendiente de la tangente.

Ejemplo con \(f(x)=x^2\) en \(a=2\):

Cálculo por definición, paso a paso

Sustituimos \(a=2\): \(f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}\).
Desarrollamos el cuadrado: \((2+h)^2=4+4h+h^2\).
Simplificamos para \(h\ne0\): \(\frac{4+4h+h^2-4}{h}=4+h\).
Calculamos el límite: \(\lim_{h\to0}(4+h)=4\).

Resultado: \(\boxed{f'(2)=4}\).

La derivada por definición ayuda a entender de dónde salen las reglas. Para ejercicios habituales utilizamos fórmulas directas, que son más rápidas. Si necesitas repasar la idea del límite, consulta ejercicios de límites.

Cómo calcular derivadas paso a paso

Antes de empezar, identifica la estructura de la función. No todas se derivan con la misma regla.

Reconoce las piezas: constantes, potencias, raíces, funciones trigonométricas, exponentes o logaritmos.
Detecta la operación principal: suma o resta, producto, cociente o composición de funciones.
Elige la regla correspondiente: no es lo mismo derivar \(x^3+2x\) que \((x^3+2x)^4\).
Deriva cada parte y, si hay una función dentro de otra, aplica la regla de la cadena.
Simplifica y comprueba el dominio: algunas expresiones derivadas solo tienen sentido donde existe la función y es derivable.

Ejemplo breve: derivar un polinomio

Derivamos \(f(x)=3x^4-2x^2+7x-5\) término a término:

\[f'(x)=12x^3-4x+7\]

La constante −5 desaparece porque su derivada es cero.

⚠️ Error típico: si \(f(x)=(x^2+1)^3\), no basta con bajar el 3. Debes multiplicar además por la derivada del interior: \(f'(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x\).

Tabla de derivadas inmediatas: fórmulas que debes conocer

Las derivadas inmediatas son las fórmulas básicas a partir de las cuales se calculan funciones más complejas. Para una tabla más amplia, consulta la tabla de derivadas de SoyMatemáticas.

Función \(f(x)\)	Derivada \(f'(x)\)	Condiciones / observación
\(c\) (constante)	\(0\)	Para cualquier constante real
\(x\)	\(1\)	La recta \(y=x\) tiene pendiente 1
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	Donde la función y la fórmula sean derivables
\(1/x\)	\(-1/x^2\)	\(x\ne0\)
\(\sqrt{x}\)	\(1/(2\sqrt{x})\)	\(x>0\)
\(e^x\)	\(e^x\)	Para todo \(x\in\mathbb R\)
\(a^x\)	\(a^x\ln a\)	\(a>0\), \(a\ne1\)
\(\ln x\)	\(1/x\)	\(x>0\)
\(\operatorname{sen}x\)	\(\cos x\)	Ángulo en radianes
\(\cos x\)	\(-\operatorname{sen}x\)	Ángulo en radianes
\(\tan x\)	\(1/\cos^2x\)	Donde \(\cos x\ne0\)

📌 Regla de la potencia: el exponente baja multiplicando y después se resta 1 al exponente. Para raíces y exponentes negativos también es útil escribir la función como una potencia. Revisa cómo derivar raíces.

Reglas de derivación: suma, producto y cociente

Sean \(u(x)\) y \(v(x)\) funciones derivables y \(c\) una constante. Estas reglas permiten combinar derivadas conocidas.

Operación	Regla	Ejemplo rápido
Suma y resta	\((u\pm v)'=u'\pm v'\)	\((x^2+3x)'=2x+3\)
Constante por función	\((cu)'=cu'\)	\((5x^3)'=15x^2\)
Producto	\((uv)'=u'v+uv'\)	\((x^2\operatorname{sen}x)'=2x\operatorname{sen}x+x^2\cos x\)
Cociente	\((u/v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)	Con \(v(x)\ne0\)

Regla del producto

Deriva la primera por la segunda sin derivar y suma la primera sin derivar por la derivada de la segunda:

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Ejemplo con producto

Si \(f(x)=(x^2+1)(x-2)\):

\[f'(x)=2x(x-2)+(x^2+1)=3x^2-4x+1\]

Regla del cociente

Si tienes una función dividida entre otra, deriva el numerador por el denominador, resta el numerador por la derivada del denominador y divide entre el denominador al cuadrado.

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Por ejemplo, \(\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\), con \(x\ne-1\). Puedes ampliar la técnica en derivada de una fracción.

Regla de la cadena: derivar funciones compuestas

Una función está compuesta cuando una función aparece dentro de otra, como \((3x+1)^5\), \(\sqrt{x^2+2}\) o \(\operatorname{sen}(2x)\).

\[\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\,g'(x)\]

En palabras: deriva la función exterior y multiplica por la derivada de lo que hay dentro.

Ejemplo: \(y=(3x^2-1)^4\)

Exterior: potencia cuarta; al derivarla queda \(4(3x^2-1)^3\).
Interior: \(3x^2-1\); su derivada es \(6x\).
Multiplica: \(4(3x^2-1)^3\cdot6x\).

Resultado: \(\boxed{y'=24x(3x^2-1)^3}\).

Esta regla también es imprescindible para derivadas con logaritmos y derivadas trigonométricas.

Derivadas de exponenciales, logaritmos y trigonométricas

Además de los polinomios, en Bachillerato aparecen con frecuencia funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. La tabla anterior recoge las derivadas básicas; si el argumento es una función \(g(x)\), añadimos la derivada interior.

Función compuesta	Su derivada
\(e^{g(x)}\)	\(e^{g(x)}g'(x)\)
\(\ln(g(x))\)	\(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\), cuando \(g(x)>0\)
\(\operatorname{sen}(g(x))\)	\(\cos(g(x))g'(x)\)
\(\cos(g(x))\)	\(-\operatorname{sen}(g(x))g'(x)\)
\(\sqrt{g(x)}\)	\(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\), donde \(g(x)>0\)

Ejemplo con seno compuesto

Si \(y=\operatorname{sen}(3x)\), derivamos el seno y multiplicamos por la derivada de \(3x\):

\[y'=3\cos(3x)\]

Para más casos, puedes consultar derivada del seno y derivada de la tangente. Recuerda que las fórmulas trigonométricas de derivación se aplican directamente a los ángulos expresados en radianes.

Derivabilidad y continuidad: cuándo no existe la derivada

Una función es derivable en \(x=a\) cuando existe el límite finito que define \(f'(a)\). Para ello, las derivadas laterales deben existir y coincidir. Además, si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua allí; la condición inversa no siempre se cumple.

\(f(x)=|x|\) es continua en 0, pero las pendientes laterales son distintas: no existe \(f'(0)\).

⚠️ Ejemplo importante: \(f(x)=|x|\) es continua en \(x=0\), pero su derivada por la izquierda vale −1 y por la derecha vale +1. Como no coinciden, \(f'(0)\) no existe.

Una función tampoco puede ser derivable en un punto de discontinuidad, y una tangente vertical puede impedir que la derivada sea un número real finito. Repasa función derivable, continuidad y tipos de discontinuidades.

Cómo hallar la ecuación de la recta tangente con derivadas

Para calcular la recta tangente a \(y=f(x)\) en \(x=a\), primero hallamos el punto \(P=(a,f(a))\) y después la pendiente \(m=f'(a)\). Con esos datos usamos la ecuación punto-pendiente:

\[\boxed{y-f(a)=f'(a)(x-a)}\]

Ejemplo: tangente a \(f(x)=x^2\) en \(a=1\)

Calculamos el punto: \(f(1)=1\), así que \(P=(1,1)\).
Derivamos: \(f'(x)=2x\).
Evaluamos: \(f'(1)=2\).
Sustituimos: \(y-1=2(x-1)\), y despejamos.

Resultado: \(\boxed{y=2x-1}\).

Si la pendiente de la tangente no es cero, la recta normal tiene pendiente \(-1/f'(a)\). Hay más ejemplos en ecuación de la recta tangente.

Para qué sirven las derivadas: crecimiento, máximos, mínimos y velocidad

Estudio del crecimiento y los extremos

El signo de \(f'(x)\) permite estudiar intervalos donde una función crece o decrece: si \(f'(x)>0\) en un intervalo, la función crece allí; si \(f'(x)<0\), decrece. Los puntos con \(f'(x)=0\) son candidatos a extremos, pero no todos son máximos o mínimos.

Ejemplo: \(f(x)=x^2\)

Su derivada es \(f'(x)=2x\). Para \(x<0\) es negativa, en \(x=0\) vale cero y para \(x>0\) es positiva. Por tanto, la función decrece antes del 0 y crece después: tiene un mínimo en \((0,0)\).

La segunda derivada, \(f''(x)\), ayuda a analizar la concavidad y, en determinadas condiciones, a clasificar extremos. Puedes ampliar el método en máximos y mínimos de una función.

Velocidad instantánea y otras aplicaciones

🚗 MovimientoSi la posición es \(s(t)=t^2+2t\) metros, la velocidad es \(v(t)=s'(t)=2t+2\) m/s. En \(t=3\), \(v(3)=8\) m/s.

📈 EconomíaLa derivada de un coste \(C(q)\) respecto a la cantidad \(q\) representa su tasa de cambio o coste marginal en el modelo continuo.

📐 GeometríaLas derivadas permiten hallar tangentes y estudiar cómo varían áreas, volúmenes y otras magnitudes.

Estas ideas se aplican en el estudio completo de una función y en problemas de optimización.

Errores frecuentes al calcular derivadas

⚠️ Comprueba estos seis errores habituales:

Derivar una constante como si fuera \(x\): \((7)'=0\), no 1.
Restar mal el exponente: \((x^5)'=5x^4\), no \(5x^5\).
Derivar un producto multiplicando derivadas: en general \((uv)'\ne u'v'\).
Olvidar el orden o el cuadrado en el cociente: \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\).
Olvidar la función interior: \(((2x+1)^3)'=6(2x+1)^2\).
Asumir que toda función continua es derivable: \(|x|\) no lo es en \(x=0\).

Una comprobación rápida es revisar si el resultado tiene sentido geométrico. Por ejemplo, la derivada de una recta \(y=3x+2\) debe ser siempre 3 porque su pendiente es constante.

Resumen de fórmulas y estrategias para derivar

Qué debes reconocer	Qué hacer
Polinomios	Deriva cada término usando \((x^n)'=nx^{n-1}\).
Producto de funciones	Usa \((uv)'=u'v+uv'\).
Cociente de funciones	Usa \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\), con \(v\ne0\).
Función dentro de otra	Aplica la regla de la cadena.
Derivada en un punto	Calcula primero \(f'(x)\) y después sustituye \(x=a\).
Recta tangente	Utiliza \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
Extremos y crecimiento	Analiza el signo de \(f'(x)\) y los puntos críticos.

Si necesitas practicar más allá de estos seis ejemplos, tienes un artículo dedicado a ejercicios de derivadas.

⭐ Ejercicios resueltos de menor a mayor dificultad

Resuelve primero cada actividad y después pulsa «Ver solución paso a paso». Los ejercicios avanzan desde las potencias hasta problemas que combinan varias ideas.

EJERCICIO 1Derivación básica de un polinomio

📝 Enunciado

Calcula la derivada de \(f(x)=5x^3-4x+7\).

Ver solución paso a paso

Derivamos \(5x^3\): \(15x^2\).
Derivamos \(-4x\): \(-4\).
La constante 7 tiene derivada 0.

✅ Resultado: \(\boxed{f'(x)=15x^2-4}\)

EJERCICIO 2Derivada en un punto mediante la definición

📝 Enunciado

Utiliza la definición de derivada para calcular \(f'(3)\) si \(f(x)=x^2\).

Ver solución paso a paso

Aplicamos \(f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}h\).
\(f(3+h)-f(3)=(3+h)^2-9=6h+h^2\).
Para \(h\ne0\) simplificamos: \(\frac{6h+h^2}{h}=6+h\).
Al hacer \(h\to0\), obtenemos 6.

✅ Resultado: \(\boxed{f'(3)=6}\)

EJERCICIO 3Aplicar la regla del producto

📝 Enunciado

Deriva \(f(x)=(x^2+1)(x-2)\).

Ver solución paso a paso

Toma \(u=x^2+1\), \(v=x-2\).
Calcula \(u'=2x\) y \(v'=1\).
Aplica \(f'=u'v+uv'=2x(x-2)+(x^2+1)\).
Simplifica: \(2x^2-4x+x^2+1\).

✅ Resultado: \(\boxed{f'(x)=3x^2-4x+1}\)

EJERCICIO 4Calcular la derivada de un cociente

📝 Enunciado

Deriva \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\) y especifica el dominio.

Ver solución paso a paso

El numerador es \(u=x^2+1\) y su derivada \(u'=2x\).
El denominador es \(v=x-1\) y su derivada \(v'=1\).
Por la regla del cociente: \(f'=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}\).
Simplificamos el numerador: \(x^2-2x-1\). El valor \(x=1\) está excluido.

✅ Resultado: \(\boxed{f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2},\quad x\ne1}\)

EJERCICIO 5Combinar producto y regla de la cadena

📝 Enunciado

Deriva \(f(x)=e^{2x}\operatorname{sen}(3x)\).

Ver solución paso a paso

Identifica las funciones \(u=e^{2x}\) y \(v=\operatorname{sen}(3x)\).
Por la regla de la cadena: \(u'=2e^{2x}\) y \(v'=3\cos(3x)\).
Aplica la regla del producto: \(f'=2e^{2x}\operatorname{sen}(3x)+3e^{2x}\cos(3x)\).
Saca factor común \(e^{2x}\) para simplificar.

✅ Resultado: \(\boxed{f'(x)=e^{2x}(2\operatorname{sen}(3x)+3\cos(3x))}\)

EJERCICIO 6Problema avanzado: tangente y extremos

📝 Enunciado

Para \(f(x)=x^3-3x^2+2\), calcula la tangente en \(x=1\) y encuentra sus máximos y mínimos locales.

Ver solución paso a paso

Primero derivamos: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\).
En \(x=1\), \(f(1)=0\) y \(f'(1)=-3\). La tangente cumple \(y-0=-3(x-1)\).
Buscamos puntos críticos resolviendo \(3x(x-2)=0\): \(x=0\) y \(x=2\).
La segunda derivada es \(f''(x)=6x-6\): \(f''(0)=-6\) indica máximo local y \(f''(2)=6\) indica mínimo local.
Evaluamos la función: \(f(0)=2\) y \(f(2)=-2\).

✅ Resultado: \(\boxed{y=-3x+3;\quad \max(0,2);\quad \min(2,-2)}\)

❓ Preguntas frecuentes sobre derivadas

Estas son las seis dudas más importantes para repasar el tema antes de un examen.

¿Qué es la derivada de una función?

Es la tasa de variación instantánea de la función respecto a su variable. Si existe, en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica.

¿Cómo se calcula una derivada paso a paso?

Primero identifica las funciones y operaciones, después aplica la tabla de derivadas y las reglas de suma, producto, cociente o cadena. Por último simplifica y comprueba el dominio.

¿Cuál es la derivada de una constante y de x al cuadrado?

La derivada de una constante es cero. La derivada de x² es 2x, por la regla de la potencia.

¿Cuál es la diferencia entre f prima de x y f prima de a?

f'(x) es una función que proporciona pendientes en los puntos donde existe; f'(a) es su valor numérico en el punto x=a.

¿Cuándo no es derivable una función?

Cuando la derivada no existe como límite finito: por ejemplo, en una discontinuidad, en una esquina como la de |x| en cero o en determinados puntos con tangente vertical.

¿Cómo calcular la recta tangente usando derivadas?

Calcula f(a) y f'(a). Después escribe y−f(a)=f'(a)(x−a). La pendiente es f'(a) y el punto de tangencia es (a,f(a)).

📚 Resumen final: la derivada mide la tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente, cuando existe. Para calcularla usa derivadas inmediatas y las reglas de suma, producto, cociente y cadena. Después comprueba el resultado y dónde es válida la función.

Conclusión

Aprender derivadas consiste en entender qué representan y practicar la elección de la regla adecuada. Ya sabes calcular las derivadas más frecuentes, interpretar su signo, hallar tangentes y reconocer cuándo una función no es derivable.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...