Derivada de una fracción: explicación y ejemplos

hace 5 meses · Actualizado hace 5 meses

Derivada de una fracción: Guía completa y ejercicios

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la derivada de una fracción?
10 ejemplos resueltos de derivada de una fracción
🔥 Regla del Cociente
Ejercicios de derivadas de fracciones resueltos

¡Domina la derivada de una fracción y aprueba tu examen de bachillerato!

¿Qué es la derivada de una fracción?

Hablamos de derivada de una fracción (o derivada del cociente) cuando la función tiene la forma
\( f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \), donde u(x) es el numerador y v(x) el denominador.

¡Importante! La derivada NO es simplemente
\( \dfrac{u'(x)}{v'(x)} \). NO cometas este error!

Fórmula correcta: Regla del cociente

\( f'(x) = \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)' =
\dfrac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \)

Memorízala así: (derivada del primero × el segundo sin derivar) − (el primero × la derivada del segundo) ÷ (el cuadrado del segundo)

Ejemplo 1: Fracción simple (nivel bachillerato básico)

Calcula la derivada de
\( f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)

Paso a paso

u(x) = 2x + 1 → u'(x) = 2
v(x) = x − 3 → v'(x) = 1

Aplicamos la regla

\( f'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x + 1)\cdot 1}{(x-3)^2} \)

Simplificamos

En el numerador:
\( 2x - 6 - 2x - 1 = -7 \).
Por tanto:
\( f'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2} \).

Resultado final:
\( f'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2} \) (mucho más simple de lo que parecía).

Esto es más fácil de lo que piensas. Es cuestión de practicar y disfrutar con las mates. Para que no tengas ninguna duda en los ejercicios de derivada de un cociente, es posible que te venga bien esta tabla de derivadas.

10 ejemplos resueltos de derivada de una fracción

#	Función original	Derivada (idea de pasos)	Resultado final
1	\( \dfrac{x^2}{x+1} \)	u' = 2x, v' = 1 → \( \dfrac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} \)	\( \dfrac{1}{x+1} \)
2	\( \dfrac{3}{x^2} \)	u' = 0, v' = 2x → \( \dfrac{-x^2\cdot 2x}{x^4} = \dfrac{-2x^3}{x^4} \)	\( \dfrac{-2}{x^3} \)
3	\( \dfrac{x^3 + 2x}{x^2} \)	Mejor simplificar primero: \( x + \dfrac{2}{x} \)	\( 1 - \dfrac{2}{x^2} \)
4	\( \dfrac{1}{x+2} \)	u' = 0, v' = 1	\( -\dfrac{1}{(x+2)^2} \)
5	Truco: \( \dfrac{5x^2}{3x} \)	Simplifica: \( \dfrac{5}{3}\,x \)	\( \dfrac{5}{3} \)
6	\( \dfrac{\sin(x)}{x} \)	u' = cos(x), v' = 1	\( \dfrac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \)
7	\( \dfrac{e^x}{x^2+1} \)	u' = e^x, v' = 2x	\( \dfrac{e^x(x^2+1) - e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} \)
8	\( \dfrac{4x-1}{x^2+3} \)	u' = 4, v' = 2x	\( \dfrac{4(x^2+3) - (4x-1)\cdot 2x}{(x^2+3)^2} \)
9	\( \dfrac{x}{\sqrt{x}} \)	Simplifica: \( \sqrt{x} \)	\( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
10	\( \dfrac{2}{x^3-1} \)	u' = 0, v' = 3x²	\( \dfrac{-6x^2}{(x^3-1)^2} \)

¡Entiende esta tabla! Es un buen entrenamiento para tu examen.

🔥 Regla del Cociente

Derivada de fracciones en 4 pasos

Identifica u(x) y v(x)

Ejemplo: f(x) = 2x+1
x-3

↑ u(x) = 2x+1
↓ v(x) = x-3

Calcula las derivadas

u'(x) = 2

Derivada del numerador

v'(x) = 1

Derivada del denominador

Aplica la fórmula mágica

f'(x) = [u'·v − u·v'] / v²

= [2(x-3) − (2x+1)·1] / (x-3)²

¡Simplifica!

✅ Resultado final

f'(x) = -7/(x-3)²

Numerador: 2x-6-2x-1 = -7

Memoriza: (u'v - uv') ÷ v²

Errores FATALES que debes evitar

❌ Error #1

"Derivada de cociente = cociente de derivadas"

FALSO:
\( \left(\dfrac{x^2}{x}\right)' \neq \dfrac{2x}{1} \)

Correcto:
\( \dfrac{x^2}{x} = x \) → derivada = 1.

❌ Error #2

Olvidar el cuadrado del denominador

SIEMPRE es
\( [v(x)]^2 \) en el denominador.

❌ Error #3

No simplificar primero

Ejemplo:
\( \dfrac{4x^2}{2x} = 2x \) → derivada directa = 2 (mucho más fácil).

✅ Truco Pro: si puedes reducir la fracción ANTES de derivar, hazlo. Ahorras tiempo y errores.

Ejercicio avanzado: nivel examen de bachillerato

Encuentra la derivada de
\( f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 1} \)

🔓 Ver solución

u(x) = x² + 3x + 2 → u'(x) = 2x + 3
v(x) = x² − 1 → v'(x) = 2x

Aplicamos la regla del cociente:

\( f'(x) = \dfrac{(2x+3)(x^2-1) - (x^2+3x+2)\,2x}{(x^2-1)^2} \)

Simplificando el numerador:

\( 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3 - 2x^3 - 6x^2 - 4x = -5x^2 - 6x - 3 \)

Resultado:

\( f'(x) = \dfrac{-(5x^2 + 6x + 3)}{(x^2 - 1)^2} \)

Aplicaciones reales: ¿para qué sirve?

Velocidad instantánea en física.
Si la velocidad es
\( v(t) = \dfrac{d}{t+1} \),
la aceleración se obtiene derivando esa fracción.
Optimización en economía.
El coste marginal puede escribirse como una fracción, por ejemplo
\( C'(x) = \dfrac{100 + 2x}{x} \).
Gráficas y pendientes.
Muchas funciones racionales tienen máximos, mínimos y asíntotas que se estudian con derivadas.

Ejercicios de derivadas de fracciones resueltos

Ejercicio 1 (Nivel básico - Cociente simple):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x}{x + 1}\)

Ejercicio 2 (Nivel básico - Numerador constante):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{5}{2x + 3}\)

Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Polinomios simples):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)

Ejercicio 4 (Nivel medio - Polinomios de grado 2):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 4}\)

Ejercicio 5 (Nivel medio - Cociente con polinomio de grado 3):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^3 - 5x + 2}{2x^2 + 1}\)

Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Cociente con exponencial en numerador):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 3}\)

Ejercicio 7 (Nivel alto - Cociente con logaritmo):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2 - 1}\)

Ejercicio 8 (Nivel alto - Cociente con función trigonométrica):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 2x}\)

Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Cociente con exponencial y logaritmo):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^2 + e^x}{\ln(x) + 1}\)

Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Cociente complejo con múltiples funciones):

Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{3x^3 - \sin(x)}{e^x + \ln(x)}\)

Tabla de verificación rápida

Situación	¿Qué hacer?
Fracción simplificable	Simplifica PRIMERO.
Constante en numerador	La derivada del numerador es 0.
x en el denominador	Escribe como potencia: \( \dfrac{1}{x^n} \).
En examen	Escribe primero la fórmula del cociente para no olvidar signos ni el cuadrado.
Funciones trigonométricas	Deriva sin(x), cos(x) normalmente y aplica la regla del cociente.
Exponenciales	\( (e^x)' = e^x \) incluso si está en numerador de una fracción.

Resumen final: tu checklist de éxito

✅ Memoriza la regla del cociente

✅ Identifica siempre u(x) y v(x)

✅ Simplifica la fracción antes de derivar

✅ Comprueba que el denominador va al cuadrado

✅ Practica con varios ejercicios cada día

Si sigues este esquema, la derivada de una fracción dejará de ser un problema para tí.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Derivada de una fracción. Cómo calcularla paso a paso. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...