Números Racionales

hace 1 día · Actualizado hace 1 día

🔢 Números Racionales: Guía Completa con Ejercicios Resueltos

Aprende de forma fácil, visual y práctica qué son, cómo operarlos y por qué los necesitas dominar este curso 🎯

📋 Índice de contenidos

📘 ¿Qué es un número racional?
📏 Representación en la recta numérica
🗂️ Clasificación de los números racionales
🔄 De fracción a decimal y viceversa
➕➖ Operaciones con números racionales
✏️ Ejercicios resueltos paso a paso
❓ Preguntas frecuentes

¿Te has preguntado alguna vez por qué $\dfrac{1}{2}$, $0{,}75$ o incluso $-5$ pertenecen a la misma "familia" de números? 🤔 Si estás aquí es porque necesitas entender de una vez por todas los números racionales: qué son, cómo se representan, cómo se operan y cómo se resuelven los ejercicios típicos de examen. Tranquilo, en este artículo te lo explico paso a paso, con ejemplos resueltos y fichas interactivas donde tú mismo puedes comprobar si lo has entendido. ¡Vamos allá! 🚀

📘¿Qué es un número racional?

📐 Definición matemática

Un número racional es todo número que se puede expresar como una fracción:

$$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\;\middle|\; a,b\in\mathbb{Z},\; b\neq 0\right\}$$

Es decir, cualquier número que resulte de dividir dos números enteros, siempre que el denominador no sea cero. El conjunto de los números racionales se representa con la letra $\mathbb{Q}$.

Fíjate en estos ejemplos para que te quede clarísimo:

Número	¿Es racional?	¿Por qué?
$\dfrac{3}{4}$	✅ Sí	Ya es una fracción de enteros
$5$	✅ Sí	$5=\dfrac{5}{1}$
$-0{,}5$	✅ Sí	$-0{,}5=-\dfrac{1}{2}$
$0{,}333...$	✅ Sí	$0{,}\overline{3}=\dfrac{1}{3}$
$\sqrt{2}$	❌ No	Es irracional, no acaba ni se repite
$\pi$	❌ No	Tiene infinitas cifras sin patrón

imagen que clasifica los números racionales

💡 Truco para recordarlo

Piensa en la palabra "racional" como "ratio" (razón o cociente). Si puedes escribir el número como una razón entre dos enteros, es racional. Si no puedes (como con $\pi$ o $\sqrt{2}$), es irracional. ¡Así de sencillo! 🎉

📏Representación en la recta numérica

Todos los números racionales se pueden situar en la recta numérica. Para representar una fracción como $\dfrac{3}{4}$, divide la unidad en 4 partes iguales (el denominador) y toma 3 de ellas (el numerador).

📌 Ejemplo visual

Para representar $\dfrac{5}{2}$ como es una fracción impropia, primero la convertimos a número mixto: $\dfrac{5}{2}=2\dfrac{1}{2}$. Esto significa que está situado entre el 2 y el 3, exactamente en el punto medio. 📍

Ejemplo de reperesntación de un número racional en la recta numérica

🗂️Clasificación de los números racionales

Los números racionales incluyen:

✅ Números enteros: $-3, 0, 7$
✅ Fracciones: $\dfrac{2}{5}, -\dfrac{7}{3}$
✅ Decimales exactos: $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$
✅ Decimales periódicos: $0{,}\overline{6} = \dfrac{2}{3}$

🔄De fracción a decimal y viceversa

➡️ De fracción a decimal

Simplemente divide el numerador entre el denominador:

$$\dfrac{3}{4}=3\div 4=0{,}75$$
$$\dfrac{1}{3}=1\div 3=0{,}3333...=0{,}\overline{3}$$

⬅️ De decimal exacto a fracción

Escribe el número sin coma como numerador, y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga:

$$0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$$

🔁 De decimal periódico a fracción

Periódico puro — Ejemplo: $0{,}\overline{6}$

Numerador: cifras hasta el periodo menos la parte no periódica → $6-0=6$

Denominador: un 9 por cada cifra del periodo → $9$

$$0{,}\overline{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$$

Periódico mixto — Ejemplo: $0{,}1\overline{6}$

Numerador: número completo sin coma menos parte no periódica → $16-1=15$

Denominador: un 9 por cada cifra del periodo y un 0 por cada cifra no periódica → $90$

$$0{,}1\overline{6}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}$$

⚠️ Error común

Muchos estudiantes olvidan restar la parte NO periódica en el numerador cuando el decimal es periódico mixto. ¡No lo olvides, es el error más frecuente en examen! 📛

➕➖Operaciones con números racionales

➕➖ Suma y resta de fracciones

Mismo denominador: se suman/restan los numeradores.

$$\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$$

Distinto denominador: se reduce a común denominador (mínimo común múltiplo).

$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$$

✖️ Multiplicación

Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí:

$$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$$

➗ División

Se multiplica en cruz (multiplica por la fracción inversa):

$$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$$

💪 Potencias de fracciones

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}$$

Y recuerda: un exponente negativo invierte la fracción:

$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$$

✏️Ejercicios resueltos paso a paso

Ahora te toca practicar. Te dejo ejercicios de distintos niveles, con la solución escondida para que primero lo intentes tú solo. ¡Vamos! 💪

🟢 Nivel Fácil

FácilClasifica: ¿es racional $-\dfrac{7}{2}$?

Es una fracción formada por dos números enteros: $-7$ y $2$.

Como $2\neq 0$, cumple la definición de número racional.

✅ Sí, es racional

FácilConvierte $0{,}4$ a fracción

Escribimos el número sin coma: $4$.

El denominador es $10$ (una cifra decimal).

Simplificamos: $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$

$0{,}4=\dfrac{2}{5}$

Fácil¿Es racional el número $\sqrt{9}$?

Calculamos la raíz: $\sqrt{9}=3$

El número $3$ es un entero.

Todo entero es racional porque $3=\dfrac{3}{1}$

✅ Sí, es racional (porque es igual a 3)

FácilExpresa el número entero $-5$ como fracción

Cualquier número entero $n$ se puede escribir como $\dfrac{n}{1}$

En este caso: $-5=\dfrac{-5}{1}$

$-5=\dfrac{-5}{1}$ (o también $\dfrac{5}{-1}$ o $-\dfrac{5}{1}$)

🟡 Nivel Medio

MedioConvierte $0{,}\overline{45}$ a fracción

Es periódico puro con periodo de 2 cifras: $45$.

Numerador: $45-0=45$

Denominador: $99$ (dos nueves, por las dos cifras del periodo)

Simplificamos: $\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}$

$0{,}\overline{45}=\dfrac{5}{11}$

MedioCalcula $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}$

Hallamos el m.c.m. de 4 y 6: $\text{mcm}(4,6)=12$

Convertimos: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ y $\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{12}$

Sumamos: $\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{11}{12}$

$\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{12}$

MedioConvierte $1{,}\overline{2}$ a fracción

Es periódico puro con periodo de 1 cifra: $2$.

Número completo sin coma: $12$. Parte no periódica: $1$.

Numerador: $12-1=11$

Denominador: $9$ (un nueve por la cifra periódica)

$1{,}\overline{2}=\dfrac{11}{9}$

MedioCalcula $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}$

Multiplicamos numeradores: $2\times 3=6$

Multiplicamos denominadores: $5\times 4=20$

Resultado: $\dfrac{6}{20}$

Simplificamos: $\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10}$

🔴 Nivel Difícil

DifícilConvierte $2{,}1\overline{3}$ a fracción

Número completo sin coma: $213$. Parte no periódica: $21$.

Numerador: $213-21=192$

Denominador: un 9 (1 cifra periódica) y un 0 (1 cifra no periódica) → $90$

Simplificamos: $\dfrac{192}{90}=\dfrac{32}{15}$

$2{,}1\overline{3}=\dfrac{32}{15}$

DifícilCalcula $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\times\dfrac{5}{4}$

Invertimos por el exponente negativo: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}$

Multiplicamos: $\dfrac{25}{4}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{125}{16}$

$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{125}{16}$

DifícilCalcula $\dfrac{3}{5}\div\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{2}$

Primero: $\dfrac{3}{5}\div\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{7}{2}=\dfrac{21}{10}$

Luego: $\dfrac{21}{10}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{21}{10}-\dfrac{5}{10}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}$

$\dfrac{3}{5}\div\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{5}$

DifícilConvierte $0{,}2\overline{36}$ a fracción

Periódico mixto: parte no periódica = $2$, periodo = $36$

Número completo sin coma: $236$. Parte no periódica: $2$.

Numerador: $236-2=234$

Denominador: dos 9's (2 cifras periódicas) y un 0 (1 no periódica) → $990$

Simplificamos: $\dfrac{234}{990}=\dfrac{13}{55}$ (dividiendo por 18)

$0{,}2\overline{36}=\dfrac{13}{55}$

❓Preguntas frecuentes

¿Todo número entero es racional?

Sí, porque cualquier entero $n$ se puede escribir como $\dfrac{n}{1}$.

¿$\sqrt{4}$ es racional o irracional?

Es racional, porque $\sqrt{4}=2$, y $2$ es un número entero (que a su vez es racional). ¡Cuidado con las raíces que parecen irracionales pero no lo son! 🧠

¿Qué diferencia hay entre racional e irracional?

El racional se puede escribir como fracción de enteros (su forma decimal es exacta o periódica). El irracional no, y su desarrollo decimal es infinito y no periódico, como $\pi$ o $\sqrt{2}$.

¿$0$ es un número racional?

Sí, porque $0=\dfrac{0}{1}$, cumple perfectamente la definición.

🎯 Resumen exprés

Racional = se puede escribir como $\dfrac{a}{b}$ con $a,b$ enteros y $b\neq 0$.
Incluye enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos.
Para pasar de periódico a fracción: numerador = número completo menos parte no periódica; denominador = 9's (periodo) y 0's (no periódica).
Las operaciones básicas siguen las reglas clásicas de fracciones.

🚀 ¡Ya dominas los números racionales!

Practica cada día un poco y verás cómo mejoras. Si tienes dudas, vuelve a este artículo las veces que necesites. ¡Tú puedes! 💪✨

🚀 ¿Quieres aprender más?

Consulta también:
Pasar de decimal a fracción,
Números irracionales
y
Números reales.

Cómo representar funciones fácilmente

9 Errores de álgebra que debes evitar

Espero que te haya gustado este artículo sobre Números Racionales. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...