Números enteros: definición, ejemplos y operaciones ✨

hace 2 meses · Actualizado hace 2 meses

🔎 Índice de contenidos

📖 ¿Qué son los Números Enteros?
📈 La Recta Numérica
📋 Ordenar y Comparar Números Enteros
🔢 Valor Absoluto y Número Opuesto
➕➖ Suma y Resta de Números Enteros
✖÷ Multiplicación y División: La Regla de los Signos
⚙ Operaciones combinadas con números enteros
★ Potencias de Números Enteros
🎯 Ejercicios interactivos de números enteros con solución

📖 ¿Qué son los Números Enteros?

¿Alguna vez has oído en el telediario que la temperatura es de −5ºC? ¿O has visto en un ascensor el botón de la planta −2 para el sótano? Esos números negativos forman parte del conjunto de los números enteros. 🌟

📖 Definición de números enteros

Los números enteros son todos los números sin parte decimal, tanto positivos como negativos, incluyendo el cero. Se representan con la letra \(\mathbb{Z}\) (del alemán Zahlen, que significa "números").

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots,\,-3,\,-2,\,-1,\;0,\;+1,\;+2,\;+3,\,\ldots\} \]

🔵 Naturales (\(\mathbb{N}\))

1, 2, 3…

Solo positivos y el cero. Son los números de contar.

🟢 Enteros (\(\mathbb{Z}\))

…−2, −1, 0, 1, 2…

Incluyen los naturales y los negativos. ¡Son más!

🟠 Racionales (\(\mathbb{Q}\))

…½, −¾…

Incluyen los enteros y las fracciones. Los verás más adelante.

💡 Dato clave

Todo número natural es un número entero, pero no al revés. Por ejemplo, −4 es entero pero no es natural. ¡Los enteros son una familia más grande!

🔺

Enteros positivos

+1, +2, +3, +4… (se puede omitir el +)

⚊

El cero

Ni positivo ni negativo. Separa los dos grupos.

🔻

Enteros negativos

−1, −2, −3, −4… (el − es obligatorio)

📈 La Recta Numérica

La recta numérica es la herramienta visual más potente para entender los números enteros. Es una línea horizontal infinita donde cada entero ocupa un punto fijo. ¡Vamos a verla!

−5

−4

−3

−2

−1

⬤ Negativos |
⬤ Cero |
⬤ Positivos

📌 Las 3 reglas de la recta numérica

Los números aumentan de izquierda a derecha: −3 < −1 < 0 < 2 < 5
El cero está justo en el centro, separando positivos y negativos.
Cuanto más a la izquierda está un número, más pequeño es: −7 < −2

📋 Ordenar y Comparar Números Enteros

Para comparar dos enteros solo necesitas recordar una cosa: los positivos siempre son mayores que los negativos. Y entre dos negativos, el que tiene mayor valor absoluto es el más pequeño. Suena raro, ¡pero es lógico si lo piensas en la recta!

⚠ ¡Trampa frecuente!

Muchos alumnos piensan que −8 > −3 porque "8 es mayor que 3". ¡Error! En la recta numérica, −8 está más a la izquierda que −3, así que −8 < −3. Piensa en la temperatura: −8ºC hace más frío que −3ºC.

✏ Ejemplo: ordenar de menor a mayor

Ordena: \( -5,\; 3,\; -1,\; 0,\; -8,\; 2 \)

Coloca todos en la recta numérica mentalmente.
Lee de izquierda a derecha (de menor a mayor).
Resultado: \( -8 < -5 < -1 < 0 < 2 < 3 \)

✅ Orden: \( -8,\;-5,\;-1,\;0,\;2,\;3 \)

🔢 Valor Absoluto y Número Opuesto

🔵 Valor Absoluto

📖 Definición

El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica. Se escribe entre barras: \( |a| \). El resultado siempre es positivo o cero.

\[ |5| = 5 \qquad |-5| = 5 \qquad |0| = 0 \]

✏ Ejemplos de valor absoluto

🟢 \( |-7| = 7 \) → La distancia de −7 al cero es 7.

🟢 \( |+4| = 4 \) → La distancia de +4 al cero es 4.

🟢 \( |-12| = 12 \)

🟢 \( |0| = 0 \) → El cero está a distancia 0 de sí mismo.

🔵 Número Opuesto

📌 ¿Qué es el opuesto?

El opuesto (o contrario) de un número es el número que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario. Sumados, dan cero: \( a + (-a) = 0 \).

\[ \text{Opuesto de } 7 = -7 \qquad \text{Opuesto de } -5 = +5 \qquad \text{Opuesto de } 0 = 0 \]

➕➖ Suma y Resta de Números Enteros

🔵 Suma de enteros

📌 Dos casos en la suma

Caso 1 — Mismo signo: Suma los valores absolutos y pon el signo común.

\( (+5)+(+3) = +8 \) → mismo signo (+), sumamos: 5+3=8 → resultado: +8

\( (-5)+(-3) = -8 \) → mismo signo (-), sumamos: 5+3=8 → resultado: -8

Caso 2 — Distinto signo: Resta los valores absolutos y pon el signo del mayor.

\( (+7)+(-4) = +3 \) → distinto signo, restamos: 7-4=3 → signo del mayor (7): resultado +3

\( (-7)+(+4) = -3 \) → distinto signo, restamos: 7-4=3 → signo del mayor (7): resultado -3

🔵 Resta de enteros

📌 El truco de la resta

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto:

\[ a - b = a + (-b) \]

Ejemplos:

→ \( 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \) (restar un negativo = sumar positivo)

→ \( -4 - (+2) = -4 + (-2) = -6 \)

→ \( -3 - (-7) = -3 + 7 = +4 \)

💡 Regla fácil: dos signos juntos

Cuando aparecen dos signos juntos en una resta, aplica:

\( +\;(+) = + \)
\( +\;(-) = - \)
\( -\;(+) = - \)
\( -\;(-) = + \)

📝 Dos signos iguales = positivo | Dos signos distintos = negativo

✏ Ejemplo completo de suma y resta

Calcula: \( 3 - 8 + (-5) - (-4) + 2 \)

Aplicamos la regla de los signos: \( 3 - 8 + (-5) - (-4) + 2 = 3 - 8 - 5 + 4 + 2 \)
Agrupamos positivos: \( 3 + 4 + 2 = +9 \)
Agrupamos negativos: \( -8 - 5 = -13 \)
Resultado: \( 9 - 13 = -4 \)

✅ \( 3-8+(-5)-(-4)+2 = -4 \)

✖÷ Multiplicación y División: La Regla de los Signos

En la multiplicación y la división, lo que decide el signo del resultado es la regla de los signos. ¡Esta regla es la que más aparece en los exámenes!

+ × +

= +

Pos × Pos = Positivo

\( (+3)\times(+4)=+12 \)

− × −

= +

Neg × Neg = Positivo

\( (-3)\times(-4)=+12 \)

+ × −

= −

Pos × Neg = Negativo

\( (+3)\times(-4)=-12 \)

− × +

= −

Neg × Pos = Negativo

\( (-3)\times(+4)=-12 \)

📌 Resumen ultra fácil

Signos IGUALES → Resultado +

Signos DISTINTOS → Resultado −

Esta regla vale igual para la división.

✏ Ejemplos de multiplicación y división

🟢 \( (-5)\times(-6) = +30 \) (−×− = +)

🟢 \( (+7)\times(-3) = -21 \) (+×− = −)

🟢 \( (-4)\times(-2)\times(-3) = (-4)\times(-2)\times(-3) \)

Primero: \( (-4)\times(-2) = +8 \) luego: \( (+8)\times(-3) = -24 \)

🟢 \( (-20)\div(+4) = -5 \) (distinto signo = −)

🟢 \( (-18)\div(-3) = +6 \) (mismo signo = +)

⚙ Operaciones combinadas con números enteros

Las operaciones combinadas mezclan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis. El secreto está en respetar la jerarquía de las operaciones.

📌 Orden de prioridad (¡muy importante!)

Paréntesis (y corchetes): de los más internos a los más externos.
Potencias y raíces.
Multiplicaciones y divisiones: de izquierda a derecha.
Sumas y restas: de izquierda a derecha.

✏ Ejemplo 1: con paréntesis

Calcula: \( 4 + 3\times(-2) - (5-8) \)

Paréntesis primero: \( (5-8) = -3 \) → \( 4+3\times(-2)-(-3) \)
Multiplicación: \( 3\times(-2) = -6 \) → \( 4+(-6)-(-3) \)
Signos: \( 4-6+3 \)
Suma/resta de izq. a der.: \( 4-6 = -2 \) → \( -2+3=1 \)

✅ Resultado: \( 1 \)

✏ Ejemplo 2: con corchetes

Calcula: \( -2\times[3-(4+(-1))]+5 \)

Paréntesis interior: \( 4+(-1)=3 \) → \( -2\times[3-3]+5 \)
Corchetes: \( 3-3=0 \) → \( -2\times0+5 \)
Multiplicación: \( -2\times0=0 \) → \( 0+5 \)
Suma: \( 5 \)

✅ Resultado: \( 5 \)

★ Potencias de Números Enteros

Las potencias de enteros funcionan igual que las de naturales, pero hay que tener cuidado con el signo de la base.

📌 Regla del signo en potencias

Si la base es negativa:

🟢 Exponente par → resultado positivo
\( (-3)^2 = (-3)\times(-3) = +9 \)

🔴 Exponente impar → resultado negativo
\( (-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = +9\times(-3) = -27 \)

⚠ ¡Cuidado con los paréntesis!

\( (-2)^2 = +4 \) ≠ \( -2^2 = -4 \)

Sin paréntesis, el signo negativo NO forma parte de la base: \( -2^2 = -(2^2) = -4 \).

Con paréntesis, el signo negativo SÍ es parte de la base: \( (-2)^2 = (-2)\times(-2) = +4 \).

✏ Ejemplos de potencias

🟢 \( (-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = 16 \) (exp. par → +)

🟢 \( (-2)^3 = (-2)\times(-2)\times(-2) = -8 \) (exp. impar → −)

🟢 \( (-1)^{100} = +1 \) (exp. par → +)

🟢 \( (-1)^{101} = -1 \) (exp. impar → −)

🟢 \( (-5)^2 = 25 \) pero \( -5^2 = -25 \)

🌎 Los Enteros en la Vida Cotidiana

Los números negativos no son solo matemáticas: ¡los usamos todos los días sin darnos cuenta! 🌟

🌡

Temperatura

−8ºC es más frío que −2ºC. En invierno, las temperaturas negativas son habituales.

💰

Deudas y dinero

Si debes 50€, tienes −50€. Si ganas 100€, tienes +100€. El saldo total: +50€.

🏠

Plantas de un edificio

Planta −2 = 2.º sótano. Planta 0 = planta baja. Planta +5 = 5.º piso.

🌿

Altitud y profundidad

+3.478 m = Teide. −11.034 m = Fosa de las Marianas. El nivel del mar = 0.

📅

Años a. C. y d. C.

El año −200 = 200 a.C. El año +400 = 400 d.C. El año 0 = inicio de nuestra era.

✏ Problema de temperatura

La temperatura a las 8:00 es de −3ºC. A lo largo del día sube 11º y por la noche baja 7º. ¿Cuál es la temperatura final?

Temperatura inicial: \( -3 \)ºC
Sube 11º: \( -3 + 11 = +8 \)ºC
Baja 7º: \( +8 - 7 = +1 \)ºC

✅ La temperatura final es +1ºC.

🎯 Ejercicios interactivos de números enteros con solución

Intenta cada ejercicio antes de pulsar Ver solución. ¡Todos los pasos están explicados! 💪

🔵 Fichas Básicas

Dificultad:

Básica

Ordena de menor a mayor:
\( -4,\;\;7,\;\;-1,\;\;0,\;\;-9,\;\;3 \)

Dificultad:

Básica

Calcula el valor absoluto y el opuesto de:
a) \( -6 \) b) \( +9 \) c) \( -15 \) d) \( 0 \)

Dificultad:

Básica

Calcula:
a) \( (-5)+(-8) \)
b) \( (-9)+(+4) \)
c) \( (+6)+(-6) \)

🟠 Fichas Medias

Dificultad:

Media

Calcula:
a) \( 5-(-3) \)
b) \( -7-(-4) \)
c) \( -2-(+8) \)

Dificultad:

Media

Calcula:
a) \( (-4)\times(+7) \)
b) \( (-5)\times(-6) \)
c) \( (-24)\div(+8) \)
d) \( (-30)\div(-5) \)

Dificultad:

Media

Calcula las potencias:
a) \( (-3)^2 \)
b) \( (-2)^3 \)
c) \( (-1)^{50} \)
d) \( -4^2 \)

Dificultad:

Media

Calcula la operación combinada:
\( 3\times(-2)+5-(-4) \)

🔴 Fichas Avanzadas

Dificultad:

Alta

Calcula:
\( (-2)^3 - 4\times(-3) + (5-9) \)

Dificultad:

Alta

Calcula:
\( 2\times[(-3+1)^2 - 5] + (-4) \)

Dificultad:

Media-Alta

🌡 Problema real:
El lunes la temperatura era −5ºC. El martes subió 8ºC, el miércoles bajó 3ºC y el jueves volvió a bajar 6ºC. ¿Qué temperatura hacía el jueves?

Dificultad:

Alta

💰 Problema de dinero:
Carlos tenía 20€. Gastó 35€ en ropa, recibió 50€ de regalo y pagó una deuda de 15€. ¿Cuánto tiene al final?

Dificultad:

Avanzada

Calcula la operación compleja:
\( \dfrac{(-2)^3 + 4\times(-3)}{(-1)^5 - 2} + (-3)^2 \)

📊 Resumen: Todo sobre los Números Enteros

Concepto	Definición / Regla	Ejemplo
📖 Enteros \(\mathbb{Z}\)	Positivos, negativos y cero. Sin decimales.	\(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\)
📈 Recta numérica	Mayor = más a la derecha	\(-5 < -1 < 0 < 3\)
▮ Valor absoluto	Distancia al cero. Siempre \(\geq0\)	\(\|-7\|=7\)
⇄ Opuesto	Mismo valor absoluto, signo contrario	Opuesto de \(-5\) es \(+5\)
➕ Suma	Mismo signo: suma y pon el signo. Distinto: resta y pon el del mayor.	\((-3)+(-4)=-7\)
➖ Resta	Transforma en suma del opuesto: \(a-b=a+(-b)\)	\(5-(-3)=5+3=8\)
✖ Multiplicación	Signos iguales: +. Signos distintos: −.	\((-4)\times(-3)=+12\)
÷ División	Misma regla de los signos que la multiplicación.	\((-20)\div(+4)=-5\)
★ Potencia	Base negativa: exp. par→+, exp. impar→−	\((-2)^4=16\)

❓ Preguntas Frecuentes sobre Números Enteros

¿Es el 0 un número entero? ▼

¿Por qué "menos por menos es más"? ▼

¿Cuál es la diferencia entre \( (-2)^2 \) y \( -2^2 \)? ▼

¿Por qué −8 es menor que −3 si 8 > 3? ▼

¿Cómo sé en qué orden resolver una operación combinada? ▼

🚀 ¿Quieres seguir practicando matemáticas?

Consulta también:
Problemas con números enteros,
Cálculo mental
y
Trucos para multiplicar rápido.

¡Ya dominas los números enteros! Practica con las 12 fichas y, si fallas alguna, vuelve a leer la regla correspondiente. Recuerda el truco: ¡visualiza siempre la recta numérica! ¿Tienes dudas? Déjalas en los comentarios.

Ángulos complementarios 📐: qué son y cómo ca...

Problemas de porcentajes. Paso a paso

Espero que te haya gustado este artículo sobre Números enteros: definición, ejemplos y ejercicios ✨. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...