Conjeturas matemáticas. La conjetura de Collatz

¿Qué es una conjetura en matemáticas?

Sin ser demasiado rigurosos, como definición de conjetura matemática, podemos decir que es una afirmación que se supone cierta, un problema que todavía no se ha podido demostrar. Muchas conjeturas tienen un enunciado elemental y fácil de comprender, y resultan adecuadas para aprender y debatir en clase.

Juegan un papel importante dentro de las matemáticas. Podemos decir que son las semillas de las cuales germinan los teoremas (aunque es posible que nunca se conviertan en un teorema, es decir, en una verdad para siempre).

¿Qué son conjeturas? En la siguiente imagen aparecen algunos sinónimos de conjetura.

La conjetura de Collatz

En 1937, ha llovido desde entonces,  el matemático alemán Lothar Collatz propusó un problema que hasta la fecha no se ha podido demostrar. Lo bonito y sorprendente de este problema es que a partir de cualquier número natural, siempre se obtenemos la unidad,

Elige cualquier número natural (n) y realiza los siguientes cálculos:

• Si n es par divide entre 2 (Es decir n/2)
• Si n es impar multiplica por 3 y suma 1 al resultado (Es decir 3n+1)

Con el número que hayas obtenido tienes que repetir el proceso. Así sucesivamente. Siempre llegarás al número 1 (como tú)

Ejemplos:

Si empezamos por el número 4 , obtenemos esta secuencia:  4,2,1

Si n=5, obtenemos esta serie   5,16,8,4,2,1

Si n = 6  →→ → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Si n=13 →→ → 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

Ten cuidado que la secuencia crece muy rápido. Para una número pequeño como el 27 (3·3·3), se obtiene una secuencia muy grande, de 111 pasos. Asciende más alto que el Everest, hasta 9232 metros, para caer vertiginosamente a ras de tierra.

Actualmente, con los ordenadores, todos los cálculos son mucho más rápidos y fáciles de realizar. Imagínate las secuencias tan largas que se pueden obtener con números grandes.

Casi 80 años después nadie ha demostrado su veracidad, aunque gracias a las computadoras se ha podido comprobar que para números hasta 2 elevado a 58,  la secuencia acaba siempre en 1. Esto significa que esta conjetura es cierta para un “mogollón” de números, pero esto no nos sirve como demostración. Evidentemente, la intuición nos lleva a pensar que debería ser cierto, pero recuerda que sólo un teorema es para siempre, aunque se acabe el mundo …

Curiosamente esta conjetura se llama de muchas maneras: 3n +1, algoritmo de Hasse, problema de Ulam o algoritmo de Siracusa (entre otras)

Muchos matemáticos inquietos se encuentran concentrados en el intento de demostrar la famosa conjetura de Collatz respecto del algoritmo 3n +1. Realmente las conjeturas hacen avanzar a las matemáticas. 

Veamos brevemente algunos ejemplos de conjeturas famosas, que fueron planteadas hace mucho tiempo. Son fáciles de entender.

Conjetura de Goldbach (1742)

Fue planteada en 1742 por Christian Goldbach. Establece que:
"Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos" La conjetura nos permite repetir el mismo número primo.
Ejemplos:   4=2+2     6=3+3    12=5+7   20=13+7

Nadie ha podido demostrarla.

El problema de los cuatro colores (1852)

Lo planteó Francis Guthrie. Afirma que en cualquier mapa, solo hacen falta cuatro colores para colorearlo, de tal forma que cada país tenga un solo color y que países vecinos lleven colores distintos.  Parece inofensivo, verdad? Nada más lejos de la realidad.

Fue resuelto el año 1976 cuando Appel y Haken , publicaron la demostración. Podemos decir que fue el primer ejemplo de un problema largamente buscado que logró resolverse gracias al uso de los ordenadores.

 

El último teorema de Fermat (1637)

Tal vez sea la conjetura más famosa de todas. El gran Pierre de Fermat estableció que si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

\({ x }^{ n }+{ y }^{ n }={ z }^{ n }\)

Este teorema tuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos. Finalmente fue resuelta por Andrew Wiles en 1994, utilizando los recursos más sofisticados de la matemática moderna. Pese a su simple enunciado la demostración resultó enormemente complicada.

Otras conjeturas matemáticas que no han podido ser resueltas hasta ahora

• Dos números primos que difieren en dos unidades se llaman primos gemelos. Se desconoce si el número de primos gemelos es infinito. 
• Los primos que son de la forma  \(2^{p}-1\), donde p es otro número primo, se llaman primos de Mersenne. No se sabe si hay infinitos números de Mersenne.
• Los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores, se llaman números perfectos.

Por ejemplo, los números 6, 28 y 496 son perfectos.           6=1+2+3            28=1+2+4+7+14.

Nadie ha podido demostrar si hay infinitos números perfectos, ni tampoco si existe algún número perfecto impar.

Ejemplos de conjeturas

Las conjeturas matemáticas son afirmaciones o suposiciones que aún no han sido demostradas o refutadas. Estas conjeturas son de gran interés en el campo de las matemáticas, ya que pueden conducir a nuevos descubrimientos y teorías. A continuación, se presentan algunos ejemplos de conjeturas que han intrigado a los matemáticos durante siglos:

• Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos.
• Conjetura de Riemann: Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real igual a 1/2.
• Conjetura de Poincaré: Toda variedad tridimensional simplemente conexa sin frontera es homeomorfa a la esfera tridimensional.
• Conjetura de los números primos gemelos: Existen infinitos pares de números primos consecutivos con una diferencia de 2.
• Conjetura de Euler: No existen enteros positivos que cumplan la ecuación  \(a^{n}+b^{n}=c^{n}\) para n>2.

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