La conjetura de Collatz y otras conjeturas famosas

¿Qué es una conjetura matemática?

Sin ser demasiado rigurosos, como definición de conjetura, podemos decir que es una afirmación que se supone cierta, un problema que todavía no se ha podido demostrar. Muchas conjeturas tienen un enunciado elemental y fácil de comprender, y resultan adecuadas para aprender y debatir en clase.

Las conjeturas  juegan un papel importante dentro de las matemáticas. Podemos decir que son las semillas de las cuales germinan los teoremas (aunque es posible que nunca se conviertan en un teorema, es decir, en una verdad para siempre).

En la siguiente imagen aparecen algunos sinónimos de conjetura.

sinonimos de conjetura

La conjetura de Collatz

En 1937, ha llovido desde entonces,  el matemático alemán Lothar Collatz propusó un problema que hasta la fecha no se ha podido demostrar. Lo bonito y sorprendente de este problema es que a partir de cualquier número natural, siempre se obtenemos la unidad,

Elige cualquier número natural (n) y realiza los siguientes cálculos:

  • Si n es par divide entre 2 (Es decir n/2)
  • Si n es impar multiplica por 3 y suma 1 al resultado (Es decir 3n+1)

Con el número que hayas obtenido tienes que repetir el proceso. Así sucesivamente. Siempre llegarás al número 1 (como tú)

Ejemplos:

Si empezamos por el número 4 , obtenemos esta secuencia:  4,2,1

Si n=5, obtenemos esta serie   5,16,8,4,2,1

Si n = 6  →→ → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Si n=13 →→ → 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

 

ejemplo de la conjetura de Collatz

 

 

Ten cuidado que la secuencia crece muy rápido. Para una número pequeño como el 27 (3·3·3), se obtiene una secuencia muy grande, de 111 pasos. Asciende más alto que el Everest, hasta 9232 metros, para caer vertiginosamente a ras de tierra.

Actualmente, con los ordenadores, todos los cálculos son mucho más rápidos y fáciles de realizar.

Imagínate las secuencias tan largas que se pueden obtener con números grandes.

Casi 80 años después nadie ha demostrado su veracidad, aunque gracias a las computadoras se ha podido comprobar que para números hasta 2 elevado a 58,  la secuencia acaba siempre en 1. Esto significa que esta conjetura es cierta para un “mogollón” de números, pero esto no nos sirve como demostración. Evidentemente, la intuición nos lleva a pensar que debería ser cierto, pero recuerda que sólo un teorema es para siempre, aunque se acabe el mundo …

Curiosamente esta conjetura se llama de muchas maneras: 3n +1, algoritmo de Hasse, problema de Ulam o algoritmo de Siracusa (entre otras)

Muchos matemáticos inquietos se encuentran concentrados en el intento de demostrar la famosa conjetura de Collatz respecto del algoritmo 3n +1.

Realmente las conjeturas hacen avanzar a las matemáticas. 

Veamos brevemente otros ejemplos de conjeturas famosas, que fueron planteadas hace mucho tiempo. Son fáciles de entender.

Conjetura de Goldbach (1742)

Fue planteada en 1742 por Christian Goldbach. Establece que:
“Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos” La conjetura nos permite repetir el mismo número primo.
Ejemplos:   4=2+2     6=3+3    12=5+7   20=13+7

Nadie ha podido demostrarla.

 

El problema de los cuatro colores (1852)

Lo planteó Francis Guthrie. Afirma que en cualquier mapa, solo hacen falta cuatro colores para colorearlo, de tal forma que cada país tenga un solo color y que países vecinos lleven colores distintos.  Parece inofensivo, verdad? Nada más lejos de la realidad.

Fue resuelto el año 1976 cuando Appel y Haken , publicaron la demostración.

Podemos decir que fue el primer ejemplo de un problema largamente buscado que logró resolverse gracias al uso de los ordenadores.

 

El problema de los cuatro colores

 

El último teorema de Fermat (1637)

Tal vez sea la conjetura más famosa de todas. El gran Pierre de Fermat estableció que si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

\({ x }^{ n }+{ y }^{ n }={ z }^{ n }\)

Esta conjetura tuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos. Finalmente fue resuelta por Andrew Wiles en 1994, utilizando los recursos más sofisticados de la matemática moderna. Pese a su simple enunciado la demostración resultó enormemente complicada.

conjetura de fermat

Otras conjeturas matemáticas que no han podido ser resueltas hasta ahora

♠ Dos números primos que difieren en dos unidades se llaman primos gemelos. Se desconoce si el número de primos gemelos es infinito. 

♣ Los primos que son de la forma  \(2^{p}-1\), donde p es otro número primo, se llaman primos de Mersenne. No se sabe si hay infinitos números de Mersenne.

♦ Los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores, se llaman números perfectos.

Por ejemplo, los números 6, 28 y 496 son perfectos.           6=1+2+3            28=1+2+4+7+14.

Nadie ha podido demostrar si hay infinitos números perfectos, ni tampoco si existe algún número perfecto impar.

Espero que te haya resultado interesante el artículo. ¿Habláis de conjeturas en clase? Puedes comentar aquí.

Si te ha gustado, te agradecería mucho que compartieras el artículo. ¿Lo harás? Es una conjetura 😉

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17 comentarios en “¿Cómo puedo llegar a la unidad desde cualquier número? La conjetura de Collatz”

  1. Hola buenas noches! me llamo Victor, he visto el tema y me ha interesado… lo que puedo observar, es que a los números impares se les hace un “constante forzaje” para convertirlos en pares… de hecho, considerando “el forzaje”, se me ha ocurrido realizar el ejercicio reemplazando al 3 por un 7… es decir, si es impar: multiplico por 7 y le sumo 1… y, si bien el “paseo por los números” altera, pero finalmente también termina en 1. Pareciera que “no es un comportamiento “inexplicable” de los números en sí mismos” (como algunas personas lo afirman), sino “un comportamiento “caprichoso” nuestro”, imponiendo un forzaje sistemático hacia el número par”… aquí les dejo un ejemplo con el 3, y el mismo ejemplo con el 7. Elijo el número 9.. x3=27+1=28/2=14/2=7×3=21+1=22/2=11×3=33+1=34/2=17×3=51+1=52/2=26/2=13×3=39+1=40/2=20/2=10/2=5×3=15+1=16/2=8/2=4/2=2/2=1…. ahora 9×7=63+1=64/2=32/2=16/2=8/2=4/2=2/2=1…es decir, el “forzaje de la suma de 1 a cada número impar lo hace posible… he probado ambas “versiones” con tantos números como el tiempo de 10 horas (distribuidas en 5 dias, “ayudado” por la cuarentena !) me lo ha permitido. Y el resultado SIEMPRE ha sido el mismo. Simplemente, es sólo “una mirada” por mi parte… de ningún modo intento “determinar” nada. Me gustaría hicieran un comentario sobre esta “visión” mía. Gracias desde ya y attos saludos. Victor

    1. Justo Fernández

      Hola Víctor! Una observación muy interesante y bien detallada la que haces.
      Está claro que se impone una condición o como bien dices “un forzaje sistemático hacia el número par”, pero tras estas premisas, los numeros se ven abocados hacia el “abismo del 1”
      Se elige multiplicar por 3 para que no crezcan demasiado los números. Por ejemplo, volviendo a elegir el 9, si ahora en lugar de multiplicar por 3, lo hacemos por 9, la sere sería: 9-82-41-185-833-3749-1875- … y se hace muy largo.
      De todas formas estás en lo cierto y tu visión es muy enriquecedora. Realmente las conjeturas hacen avanzar a las matemáticas, y al aprendizaje …
      ¡Un abrazo!

  2. Juan carlos Tejada

    en mi criterio,
    la formula incluiría algo así…

    2 = {(“P”/2) (“I” x 3 +1 sobre 2)} N

    Donde “P” = numero par (o el numero 2 si no existe)
    Donde “I” = numero impar (o 1/3 si no existe)
    Donde “N = numero de veces requerido

    1. Justo Fernández

      Gracias por comentar Juan Carlos. Tienes buen criterio
      Aunque yo no lo tengo del todo claro. Debería revisarlo. Por eso a esta conjetura se llama también 3n +1
      Saludos!

  3. alexander villarroel

    donde puedo obtener protección intelectual para un trabajo sobre la conjetura de collatz. quisiera publicar mi trabajo, pero necesito contar con un marco legal que garantice el reconocimiento de lo hecho por mi. tengo ademas trabajos sobre numero perfecto impar y sobre longitud de la elipse e integrales elipticas completas e incompletas de primera y segunda especie. Agradecería información para poder primero registrar mi trbabjo y luego publicarlos con más seguridad.

    1. Justo Fernández

      Hola Alexander!
      La verdad es que lo desconozco. Tal vez te podrían ayudar en la Real Sociedad Matemática Española. Aquí tienes el enlace:
      Suerte. Saludos!

  4. Tengo una posible solucion a la conjetura de Collatz, la eleve a la universidad y la estan evaluando para luego publicarla, saludos para todos

    1. Justo Fernández

      Hola Miklos,
      Te deseo suerte en tu andadura, para dar con la solución.
      Ya nos informarás …
      Un abrazo

  5. AMANCIO PEREZ

    Le informo que la conjetura de Collatz la ha resuelto el matemático Andri Lopez. Demostrando la existencia de infinitos algoritmos en la forma (Xa +1)para el ciclo 4,2,1; siendo el primero de ellos: 3a + 1.
    segundo: 7a +1 ….

    pueden ver el articulo en:
    Universal Journal of Computational Matematic Vol 3 (2) 2015

  6. Darío Figueredo

    Debo corregir un error para que no se confunda alguien con muy pocos conocimientos : donde dice 2 elevado a (p-1) debe decir (2 elevado a p) -1 . Las potencias de 2 son números pares, no son primos.

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