algunos números primos

Probablemente cuando oí hablar por primera vez ellos, no les hice mucho caso. Pero son tremendamente importantes en esto de las mates.

Puede que te resulten familiares. Su nombre proviene del latín primus (“primero”), porque los números primos se consideran fundamentales. A partir de estos se obtienen los demás números por medio de la multiplicación.

La importancia de los números primos

Las matemáticas son una materia tan inmensa que muchas veces pueden parecer abrumadoras. En bastantes ocasiones tenemos que regresar a lo básico, a lo esencial, pero a la vez tremendamente importante.

Los números primos son los átomos de la aritmética, tal vez por eso los matemáticos están obsesionados con ellos. Tal y como sugiere el origen griego de la palabra “átomo”, los números primos son “a-tómicos”, es decir, indivisibles.

De la misma forma que todo está compuesto por átomos, cualquier número está compuesto por números primos. Por ejemplo, 30 es igual a 2· 3 ·5. Decimos que 30 es un número compuesto por los factores primos de 2,3 y 5. Son números compuestos porque se construyen a partir de los más básicos 2,3,5,7,…

Los números que no se pueden descomponer son los números primos: 2,3,5,7,11,13,17,…Por definición, un número primo es aquel que sólo es divisible por 1 y por él mismo.

La soledad de los números primos

Hace ya algunos años leí esta preciosa novela. Te la recomiendo. Su autor, Paolo Giordano cuenta una historia de amor de dos inadaptados, dos números primos llamados Alice y Mattia. Giordano escribió:

Libro. La soledad de los números primos

Los números primos solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Son números sospechosos, solitarios y es por lo que Mattia los consideraba maravillosos. Alguna vez pensó que habían quedado atrapados, como perlas ensartadas en un collar. […] A medida que incrementan los números, los primos se van quedando más aislados, perdidos en ese espacio medido y silencioso.

[…]Mattia pensó que tanto él como Alice eran así, primos gemelos, solos y perdidos, pero no lo suficientemente cerca para verdaderamente tocarse.

 En este libro aparecen ideas hermosas, que son importantes en la teoría de números.

 

¿Qué es la teoría de números? ¿Cómo influyen los números primos?

Es la parte más pura de las matemáticas. Se ocupa del estudio de los números enteros y sus propiedades. La teoría de números proporciona la base de los algoritmos encriptados que se utilizan millones de veces al día para asegurar transacciones con la tarjeta de crédito por internet y para codificar comunicados secretos.

Estos algoritmos  dependen de la dificultad de descomponer un número enorme en sus factores principales.

¿Qué me dices del 1? ¿Es un número primo?

No, no lo es.  Durante siglos ha habido discusiones al respecto. En el pasado decían que no merecía ser excluido, al ser divisible solo por 1 y por sí mismo. Pero los matemáticos modernos han decidido excluirlo, simplemente por conveniencia.  Esto permite exponer algunos teoremas con elegancia.

El teorema de descomposición de los números primos dice que cualquier número puede ser factorizado en números fundamentales de manera única. De tal forma que 6 = 2 · 3

Si consideramos al 1 cómo un número primo, 6= 1 · 2 ·3, pero también sería válido decir que 6= 1 · 1· 2 · 3, etc. ¡Y el caos está servido! Tendríamos que aceptar diferentes maneras de factorización de los números primos,  y eso no mola. Te prohibimos la entrada a nuestro club, aunque seas el origen de todos los números.

Sólo hay una única manera de descomponer el año en que estamos en pequeños números. ¿Quién ha dicho que 2015 no es capicúa?  2015= 13 · 5 · 31

Números primos, números solitarios

No me negarás que estas cifras son misteriosas e inescrutables. ¡Menuda palabreja! Nadie ha encontrado jamás una fórmula exacta para los números primos, no siguen ningún patrón simple.

Tal vez el primer método para encontrarlos fue la famosa criba de Eratóstenes (230 a.C.). En la siguiente imagen puedes ver los números primos que hay del 1 al 100.

los primeros num primos

 

Es importante recordar los primeros diez números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Las cosas empiezan mal con ese 2. Menudo friki! El único primo con la vergüenza de ser par, un inadaptado entre inadaptados. Aparte del 2, el resto son todos impares, pero muy peculiares. Observa los huecos que hay entre ellos. Sus parientes, los números impares, son mucho más ordenados. Siempre tienen un solo espacio entre ellos. Cualquier número impar obedece a la fórmula 2n-1.

Dadas las irregularidades en la ubicación de estas cifras, los teóricos de los números han recurrido a mirarlos estadísticamente. ¿Cuántos números primos hay entre los 100 primeros números enteros? ¿y entre 1.000? ¿Y entre un número arbitrario N? Es un concepto estadístico de distribución acumulativa.

A medida que se avanza en la línea o escala numérica, nuestros protagonistas son cada vez menos comunes. Están más aislados. En esta tabla puedes verlo.

Ejemplo de porcentajes de numeros primos

La disminución sigue aumentando. En los primeros mil millones de números enteros, solo hay un 5% de números primos.

Podría decirse que los números primarios son una especie en extinción. Aunque sabemos que son infinitos y nunca mueren del todo. Pero me gusta pensar que se desvanecen en la inmensidad del espacio.

¿Cómo decidimos si un número determinado es primo o no?

Está claro que salvo el 2 y el 5, cualquier número primo debe acabar en 1,3,7 ó 9. Pero no es un requisito suficiente! Por ejemplo 19.073 es un número solitario, pero 19.071 es compuesto, porque  \(19.071=13·163·{ 3 }^{ 2 }\)

Los números primos se extienden hasta el infinito. Hoy en día hay potentes ordenadores que se afanan en buscar el mayor número primo que se conozca.

Dos numeros primos gemelos

Mis niñas mellizas
Mis hijas cuando eran pequeñas

Aquí tengo una experiencia cercana, mis dos hija pequeñas son mellizas, no gemelas. Aquí están, cuando estaban para comérselas …

La intuición nos lleva a pensar que también hay un número infinito de primos gemelos, pero hasta la fecha nadie ha sido capaz de demostrarlo.

Los números primos gemelos están cerca, son casi vecinos, aunque entre ellos siempre hay un número par que les impide tocarse. Son pares de primos consecutivos, como 3 y 5, 11 y13, 17 y 19. ¿Quieres buscar más? Verás que estas parejas son cada vez más escasas.

Otro dato interesante es que a partir del par (5, 7), el número intermedio siempre es múltiplo de 6. Compruébalo!!

La conjetura de Goldbach y su relación con los números primos 

En 1742 Christian Goldbach hizo la siguiente afirmación:

“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos numeros primos.”

Nunca se ha demostrado. Algunos lo califican como el problema más difícil en la historia de las matemáticas.

El gran teórico de los números Pierre de Fermat demostró que los primos que tienen la forma 4n+1 pueden expresarse como la suma de dos cuadrados exactamente de una manera. Por ejemplo \(17=1^{2}\cdot 4^{2}\) mientras que aquellos que tienen forma 4n+3 (como 19) no pueden escribirse de ningún modo como la suma de dos cuadrados.

El número de la bestia

El número de culto 666, el “número de la bestia”, tiene algunas propiedades inesperadas. Es igual a la suma de los cuadrados de los primeros 7 primos:

\(666=2^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+11^{2}+13^{2}+17^{2}\)

Por si eso te parece poco, también “le gustan” los cubos, formando una curiosa suma capicúa. En su centro aparece 6 elevado al cubo = 6·6·6

\(666=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+5^{3}+4^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}\)

(no tiene absolutamente nada que ver con los primos, pero me apetecía contarlo ;- )

Nací en un año primo y tengo un número primo de años. ¿Qué edad tengo este mes de abril?

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¿Te imaginas que tu hijo no tuviera problemas con las matemáticas?

Tengo muchos años de experiencia y puedo resolverle cualquier duda. Podrá entender todas las matemáticas de secundaria. 

34 comentarios en “Números primos, los átomos de las matemáticas”

  1. ¡Muy interesante, Justo! Hay un tipo de números primos muy interesante, los primos de Mersenne, que son números primos de la forma $Latex 2^{n}-1$, donde n es un número natural. Por ejemplo, el primer primo de Mersenne es el 3, y se obtiene cuando n=2. No se conocen demasiados de estos, pero todavía no se sabe si hay una cantidad finita o infinita.

    1. Justo Fernández

      ¡Muchas gracias Enrique!
      Cierto. Otro día que tenga tiempo, incluiré los números primos de Mersenne y haré una breve explicación sobre ellos.
      Un abrazo!

    1. Disculpa, Carlos Alberto. Supongo que te refieres a que el cardinal del conjunto de números primos es igual al cardinal de los números naturales. Es un hecho bien conocido que los números naturales tienen un cardinal estrictamente inferior al de los números reales.

  2. Ginés Corbalán Clemént

    Para mi los números primos son en realidad la sincronización de mi vida, con los números 2-7 y 19, que corresponden a las afinidades gemelas del todo que es el 1.
    Ningún primo multiplicado por si mismo o de su familia centesimal es primo, ni encaja
    en la sincronización atómica de los cerones.
    Me han encantado conocer tu bloc minimalista atómico descriptivo Ginesitivo, de tu 2 Joyas,
    Soy un payaso creativo artístivo.

    1. Justo Fernández

      Me alegro que te haya gustado el blog.

      Me gusta tu creatividad Ginés, aunque me pierdo en lo que dices de la sincronización atómica de los cerones …

      Un abrazo!

  3. Soledad Campos

    Tus artículos siempre son geniales, los leo y vuelvo a leer y pongo en marcha las neuronas que con el paso de los años se me van oxidando, también se los reenvío a mis nietos, están terminando Primaria y empezando la Eso, porque es una divertida forma de ampliar conocimientos. Muchas gracias por tu generosidad.

    1. Justo Fernández

      Hola Soledad!
      Como me gusta leer tus comentarios. Haces bien en engrasar el cerebro, hay que ejercitarlo como los músculos, y también es importante inculcar a los niños la cara agradable de las matemáticas.
      Gracias a ti. Un abrazo

  4. Muy buen artículo, me ha gustado, solo quiero aportar que una manera de justificar que 1 no es primo, que no sea por conveniencia, es que si definimos a los primos como aquellos números que tienen exactamente 4 divisores en Z el número 1 por definición no es primo.(ejemplo: el número 2 tiene cuatro divisores +2,-2,+1,-1 mientras que el 1 solo tiene dos divisores: +1 y -1).

    1. Samuel Roeder

      Excelente artículo. Muchas gracias por tomarte el tiempo de escribirlo. De vez en cuando un poco de matemáticas no ha matado a nadie. Al contrario un poquito de aceite para el cerebro que tiende en algunos a tratar de esquivar todo lo “difícil” y complicado….
      Gracias…

      1. Justo Fernández

        Muchas gracias Samuel.
        Cuanta razón tienes. Es muy bueno “engrasar” el cerebro de vez en cuando. Un sudoku, o una partida de ajedrez (aunque te maten) no va nada mal.
        Un abrazo!

  5. Excelente manera de aprender. Además, tienes muy buena pluma para mantener el gusto por leer.
    Saludos cordiales y feliz cumpleaños.
    Juan

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias Juan. Todavía falta un poco. Nací un mes primo de verano. ¿Qué día? El séptimo número primo ;-)) Saludos!

  6. Carlos Presumido

    Desde que entramos en contacto atraves de tu pagina estoy disfrutando aun con mi desconocimiento,de los libros,articulos y detalles de tu pagina.Mi mas sincera enhorabuena por ello.

  7. Muy buen articulo , Un libro del tema que lo recomiendo ampliamente ” EL TIO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH ” de APOSTOLOS DOXIADIS .Voy a tratar de conseguir el que recomiendan.
    Saludos

  8. Muy interesante y ameno como siempre. Pero hay algo que lei que me parecio contradictorio con un teorema que mencionas.
    “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.”
    Por ejemplo 4 = 1+3
    Pero segun lei más arriba el 1 no es considerado primo ya que no pertenece al club de los no homeros hehehe, lo siento no pude resistirlo ya que me acordo a ese episodio.
    Saludos y sigue con estos articulos muy buenos que reflejan que las matemáticas son divertidas.

    1. Justo Fernández

      Gracias Jarods. Sí, las matemáticas pueden ser muy divertidas 😉
      Si, pero sólo hay una forma de expresar cada número como suma de 2 primos, en este caso 4=2+2. Cómo bien dices, el 1 no puede participar aquí. Un abrazo!

  9. Buenas tardes, Justo
    Gracias, gracias. Me encanta aprender contigo. Y los libros un regalazo!!
    Por cierto, eres del 73 seguro. El dato que nos faltaba está en tu currículum: si eres profesor de secundaria tienes que ser mayor de edad (ni 3, ni 11 ni 17 años) y no puedes estar jubilado (83). Cumples 42 un día de estos.
    Muchas Felicidades!

    1. Justo Fernández

      Gracias a tí Ignacio. Me alegro que te hayan gustado los libros. Sí, soy de una buena generación ;-)) Un abrazo!

  10. H. Américo Vallenas Boza

    Justo

    Excelente tus artículos

    Espero que este desarrollo del resultado sirva

    Año actual: 2015
    Nacido en abril y tiene un número primo de años (nn): implica que en abril 2015 tendrá nn+1 (Ojo: es par)
    La posible edad actual es: 37, 41, 43, 47, 51 (todos primos)
    Los años posibles: 2015 – (37+1) = 1977 (no es primo)
    2015 – (41+1) = 1973 (primo)
    2015 – (47 + 1) = 1967 (no es primo)
    2015 – (51 + 1) = 1963 (no es primo)
    Suponiendo que no pasas de los 50 años, la edad factible 41 y cumples 42 en abril

    OJO: De no establecer la condición de “cumpleaños es en abril”, el problema no tendría solución, dado que en el 2015 su edad sería un número primo, el cual es impar, por ende, la diferencia entre un año impar y edad impar da como resultado un año par (no primo)

    Saludos
    HAVB

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias. Muy buen planteamiento, aunque no cumplo años en abril, sino un mes primo de verano. ¿Qué día? El séptimo número primo ;-)) Saludos! Un abrazo!

  11. fernando perez

    Muy interesante como siempre. Muchas gracias por el regalo de los libros. Me tomaré el tiempo para leerlos

  12. Hola.

    Enhorabuena por tu artículo, has conseguido que me suscriba al blog. Continúa así.

    Por cierto, en cuanto al enigma del final, mis posibles soluciones (al sistema de de ecuaciones) son las que siguen:
    Has podido nacer en: 1931, 1973, 1997, 2003 y 2011, en cuyos casos, tu edad sería de, respectivamente, 83, 41, 17, 11 y 3 años. Me inclino más por 1973. Y por cierto, tu cumpleaños aún no ha pasado este año.

    Un saludo.
    L.X.

    1. Justo Fernández

      Gracias Lord. Bienvenido! Has resuelto muy bien el enigma. Todavía no, nací en un mes primo, en verano ;-)) Saludos!

      1. Hola Justo. Finalmente naciste el día de Santa Carlota (según el santoral cristiano), martes, de 1973. Desconozco si naciste a una hora y minutos primos entre sí o no…

        Lo cierto es que yo nací también en el único mes primo de verano, aunque un poco después que tú. Además, si sumas el día primo de tu nacimiento a otro día primo obtienes la fecha de mi cumpleaños (el día), que no es un número primo.

        Por cierto, me gustó mucho el planteamiento necesario para resolver el problema. Mi primera idea fue aislar los números primos comprendidos entre 1900 y 2015 (para cubrir todo el abanico de la longevidad), pero eso era un trabajo muy costoso.

        Así pues, lo que hice fue buscar, con la criba de Eratóstenes, los números primos encerrados entre el 1 y el 100. Restaría, sucesivamente, estos resultados a 2015 en busca de obtener tus potenciales años de nacimiento, y luego cribarlos yo. Sé que podía haber delimitado más el rango acotando tu edad (entre treinta y cincuenta años calculaba yo), pero finalmente no lo hice por ver qué soluciones obtenía.

        Llegados a este punto me encontré con un problema: si a 2015, número impar, le restas números impares (como son todos los primos, excluido el 2 – cuyo resultado hacía pensar que habías nacido en 2013…) obtienes números pares, es decir, no primos.

        Me hiciste pensar un momento, y eso me gusta. Ahí fue cuando llegué a la conclusión de que tal vez tu cumpleaños no había pasado aún. Mi trabajo no había sido en vano: resté uno a todos los años y obtuve una nueva tanda de resultados, impares esta vez. Cribar ya era el último paso, y me valí de una aplicación para adelantar trabajo.

        Muy buen problema, me ha gustado mucho.

        Por cierto, por si te interesa, yo, como tú, también vivo en una ciudad con un número primo de letras y número primo de sílabas al ser pronunciada. ¿Sabes cuál es? Envíame un mensaje privado si lo averiguas.

        Un saludo,
        L.X.

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