🔎 Índice de contenidos
- 🔢 ¿Qué son los Números Primos? Definición
- 🔍 Números Primos vs Números Compuestos
- ⚙️ Propiedades fundamentales de los números primos
- 🔎 ¿Cómo identificar si un número es primo?
- 🔐 Aplicaciones de los números primos
- 📚 Historia de los números primos
- ❓ Preguntas Frecuentes sobre Números Primos
- 📊 Resumen visual
Los números primos son los bloques fundamentales de la aritmética. Todo número entero mayor que 1 puede descomponerse de forma única en un producto de números primos. Por eso son tan especiales: son los "átomos" de las matemáticas.
En esta guía completa aprenderás qué son los números primos, cómo identificarlos, sus propiedades, su historia, aplicaciones en criptografía y mucho más.
🔢 ¿Qué son los Números Primos? Definición
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. En otras palabras, no puede dividirse de forma exacta por ningún otro número.
\[ p \in \mathbb{P} \iff p > 1 \text{ y sus únicos divisores son } 1 \text{ y } p \]
Los primeros números primos son: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, \ldots\)
💡
¿Por qué el 1 no es primo? Aunque solo tiene dos divisores (el 1 y él mismo, que son lo mismo), los matemáticos excluyeron el 1 de los primos para que se cumpliera el Teorema Fundamental de la Aritmética sin excepciones. Si 1 fuera primo, la factorización única no funcionaría: \(6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3\), etc.
🔍 Números Primos vs Números Compuestos
Todo número natural mayor que 1 es o primo o compuesto. La diferencia es fundamental:
Números Primos \(\mathbb{P}\)
Exactamente 2 divisores
Ejemplos:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\)
\(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53\)
No pueden factorizarse más
Números Compuestos
3 o más divisores
Ejemplos:
\(4 = 2 \times 2\)
\(6 = 2 \times 3\)
\(15 = 3 \times 5\)
Siempre se descomponen en primos
El 1 (caso especial)
Ni primo ni compuesto
Tiene solo 1 divisor (él mismo)
Se excluye por convención matemática
Números primos del 1 al 100
¿Por qué es importante conocer los números primos hasta 100? Porque estos son los números fundamentales que aparecen en la mayoría de problemas matemáticos escolares y cotidianos. Memorizarlos o reconocerlos rápidamente te ayuda a factorizar números, resolver ecuaciones, entender patrones numéricos y aplicarlos en criptografía básica. Además, el 100 es un punto de referencia natural que permite ver cómo se distribuyen los primos: hay exactamente 25 números primos del 1 al 100, lo que muestra que su densidad disminuye conforme aumentan los números.
🔢 Los 25 números primos del 1 al 100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
⚙️ Propiedades fundamentales de los números primos
📌 Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número natural mayor que 1 se puede descomponer de forma única en un producto de números primos (sin contar el orden).
Todo número natural mayor que 1 se puede descomponer de forma única en un producto de números primos (sin contar el orden).
Ejemplos:
\[ 12 = 2^2 \times 3 \]\[ 30 = 2 \times 3 \times 5 \]\[ 97 = 97 \text{ (es primo, no se descompone)} \]
Propiedades clave
Infinitud de primos
Existen infinitos números primos. Euclides lo demostró hace 2.300 años: siempre hay un primo mayor que cualquiera que des.
El 2 es el único par
\(2\) es el único número primo par. Todos los demás primos son impares.
Primos gemelos
Dos primos son gemelos si se diferencian en 2. Ej: \((3,5), (5,7), (11,13), (17,19)\)
Densidad decreciente
A medida que los números crecen, los primos se vuelven más escasos, pero nunca desaparecen.
🔎 ¿Cómo identificar si un número es primo?
Método 1: Divisiones sucesivas (prueba de división)
Algoritmo simple
Para saber si \(n\) es primo:
1. Si \(n \leq 1\), no es primo
2. Si \(n = 2\), es primo
3. Si \(n\) es par, no es primo
4. **Divide \(n\) por todos los números impares desde 3 hasta \(\sqrt{n}\)**
5. Si ninguno divide exactamente a \(n\), entonces es primo
Ejemplo: ¿Es 97 primo?
\(\sqrt{97} \approx 9.8\), así que comprobamos divisibilidad con: 3, 5, 7, 9
- \(97 \div 3 = 32{,}33...\) (no es exacto)
- \(97 \div 5 = 19{,}4\) (no es exacto)
- \(97 \div 7 = 13{,}86...\) (no es exacto)
- \(97 \div 9 = 10{,}78...\) (no es exacto)
**Conclusión: 97 es primo** ✓
Método 2: Criba de Eratóstenes (para listas de primos)
💡
La Criba de Eratóstenes es un algoritmo eficiente (inventado en el s. III a.C.) para encontrar todos los primos hasta un número \(n\):
1. Escribe los números del 2 al n
2. Rodea el 2 (es primo)
3. Tacha todos los múltiplos de 2 (4, 6, 8, 10...)
4. Rodea el siguiente número sin tachar (3)
5. Tacha todos sus múltiplos (9, 15, 21...)
6. Repite hasta \(\sqrt{n}\)
7. Los números rodeados son todos los primos
Ejemplo hasta 30: Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
🔐 Aplicaciones de los números primos
Criptografía RSA
Los números primos son la base de la seguridad de internet
El cifrado RSA funciona así:
- Se eligen dos números primos grandes p y q (con cientos de dígitos)
- Se calcula n = p × q
- Es fácil calcular n conociendo p y q
- Pero es prácticamente imposible factorizar n para encontrar p y q
Por eso tus datos bancarios, contraseñas y conexiones HTTPS están seguros. Un atacante necesitaría años de computación para factorizar n.
Otras aplicaciones
Códigos correctores
Para detectar errores en transmisiones de datos
Hashing
Funciones hash usan primos para distribuir datos
Números aleatorios
Generadores de números pseudoaleatorios
Computación cuántica
Algoritmo de Shor amenaza el cifrado RSA
📚 Historia de los números primos
Primeras menciones (3.000-2.000 a.C.)
Los antiguos babilonios y egipcios ya conocían los números primos, aunque no tenían una teoría formal. En tablillas cuneiformes babilónicas se encuentran listas de números con propiedades especiales.
Euclides de Alejandría (300 a.C.)
En sus "Elementos" (Libro IX, Proposición 20), Euclides demostró que existen infinitos números primos. Su demostración es elegante y sigue siendo válida:
Si hubiera una cantidad finita de primos \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), entonces el número \(N = (p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n) + 1\) no sería divisible por ninguno de ellos, lo que contradiría que eran todos. Por tanto, existen infinitos primos.
Mersenne y Fermat (siglos XVI-XVII)
Marin Mersenne estudió los números de la forma \(2^p - 1\) (números de Mersenne). Pierre de Fermat conjeturó que \(2^{2^n} + 1\) siempre eran primos (resultó ser falso). Estos matemáticos acercaron los números primos a la era moderna.
Era moderna (siglo XIX en adelante)
Con el desarrollo del análisis matemático, surgió la teoría analítica de números. Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann y otros matemáticos estudiaron la distribución de los números primos y conjeturaron la Hipótesis de Riemann (aún sin demostrar, uno de los 7 Problemas del Milenio).
Era digital (siglo XX-XXI)
Con las computadoras, se descubrieron primos cada vez más grandes. El Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ha encontrado decenas de números de Mersenne primos con millones de dígitos. El mayor conocido (a 2024) es \(2^{136279841} - 1\), con más de 41 millones de dígitos.
❓ Preguntas Frecuentes sobre Números Primos
¿Cuál es el mayor número primo?
No existe un "mayor" número primo porque hay infinitos. Sin embargo, el mayor número primo conocido (hasta ahora) es \(2^{136279841} - 1\), descubierto en octubre de 2024. Tiene 41.024.320 dígitos.
¿Es 1 un número primo?
No. Por definición moderna, un número primo debe ser mayor que 1. Aunque 1 solo tiene dos divisores (1 y 1), matemáticos decidieron excluirlo para que el Teorema Fundamental de la Aritmética funcione sin excepciones.
¿Por qué son importantes los números primos?
Los números primos son los "átomos" de las matemáticas. Cualquier número entero puede descomponerse de forma única en un producto de primos. Además, son fundamentales para la criptografía moderna, los códigos correctores de errores y muchas otras aplicaciones en tecnología.
¿Hay una fórmula para calcular números primos?
No existe una fórmula simple que genere solo números primos. Sin embargo, hay:
- Fórmulas aproximadas como la del Teorema de los Números Primos
- Tests de primalidad (Miller-Rabin, Lucas-Lehmer) para verificar si un número es primo
- Heurísticas que funcionan bien en práctica pero no son garantizadas
- Fórmulas aproximadas como la del Teorema de los Números Primos
- Tests de primalidad (Miller-Rabin, Lucas-Lehmer) para verificar si un número es primo
- Heurísticas que funcionan bien en práctica pero no son garantizadas
¿Qué son los números primos gemelos?
Dos números primos se llaman gemelos si se diferencian exactamente en 2. Ejemplos: \((3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43)\). Se desconoce si existen infinitos pares de primos gemelos (Conjetura de los Primos Gemelos, otro de los grandes misterios de las matemáticas.
¿Existe una fórmula para generar números primos?
No existe una fórmula simple que genere solo números primos. Sin embargo, existen métodos prácticos como la Criba de Eratóstenes, tests de primalidad (Miller-Rabin, Lucas-Lehmer) para verificar si un número es primo, y fórmulas aproximadas como el Teorema de los Números Primos que predicen su distribución.
📊 Resumen visual
✓ Conceptos clave sobre números primos
- Definición: Número natural > 1 con exactamente dos divisores (1 y él mismo)
- Primeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
- Teorema Fundamental: Todo entero > 1 se factoriza uniquamente en primos
- El 2 es especial: Único número primo par
- Infinitud: Existen infinitos números primos (Euclides)
- Aplicaciones: Criptografía RSA, códigos correctores, hashing, generadores aleatorios
- Prueba: Test de división hasta √n es el método más simple
- Misterios abiertos: Hipótesis de Riemann, Conjetura de Goldbach, Primos gemelos infinitos
Espero que te haya gustado este artículo sobre Números primos: qué son, lista y cómo identificarlos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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-
José Alberto Díaz Reyes dice:
Un cordial saludo Profesor. Con respecto al importante tema de las matemáticas relacionado con "determinar definitivamente si los números primos responden a un patrón de distribución riguroso o si por el contrario su distribución es aleatoria", y teniendo en cuenta el reconocimiento académico que vienen obteniendo algunos programas de i.a. que se usan actualmente en consultas sobre esta ciencia exacta incluso a nivel universitario, entonces quizás le resulte interés profesional "evaluar" los resultados emitidos por varios de estos programas en el análisis de un "enfoque" acerca del cual concluyen que "efectivamente, existe un Patrón de Distribución riguroso de estos números" (!?) Si le resulta de interés darle un "vistazo" a estos resultados, hacérmelo saber para enviarle la respuestas de estos programas.
★★★★★
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Muchas gracias por su aportación José Alberto.
No tengo constancia de que exista un patrón de distribución.
Me gustaría conocer las respuestas de estos programas. Puedes enviarmelo a info@soymatematicas.com
Un abrazo. Saludos!
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Ardly Crespo dice:
Existes seis conjuntos infinitos de números primos, diferenciados uno del otro y con características propias. Cada conjunto presenta un característica inequívoca que los diferencia de los otros cinco conjuntos de números primos. La forma en que se analizan y se clasifican éstos seis conjuntos infinitos de números primos, muestran que hay una forma de organizarlos que entrega un patrón característico en cada conjunto.
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Justo Fernández dice:
Buenos días Ardly,
Tengo dudas en referencia a tu interesante argumentación. ¿A qué seis conjuntos te refieres?
Gracias. Saludos-
Buenas noches Justo,
Los seis grupos de números primos a que me refiero, son aquellos con raíz digital 1, 2, 4, 5, 7 y 8. En mis investigaciones anteriores, presenté demostraciones que indican que dentro de la raíz digital, e, 6 y9 no existen números primos, a excepción del número 3.
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Hola Justo buenas noches,
Disculpa el tiempo en darte respuesta. Fíjate, conocemos que los números enteros pueden incluirse entre la definición de raíz digital. Osea, si aplicamos ese concepto, veremos que tenemos un conjunto de nueve (9) grupos de números entre los cuales, hay 6 grupos dentro de los cuales vamos a encontrar a los números primos. Esos seis grupos son, aquellos que tienen raíz digital 1, 2, 4, 5, 7 y 8. Quedan tres grupos con raíz digital 3, 6 y 9, y el número primo 3, es el único número primo dentro del grupo con raíz digital 3. Sacando el número primo 3, no existen números primos dentro de éstos tres infinitos grupos de números con raíz digital 3, 6 y 9.
Cualquier otra duda con gusto podemos compartir criterios.
- Justo Fernández dice:
Buenas tardes Ardly! Es muy interesante ver la relación entre raíces digitales, divisibilidad y números primos.
Lo estudiaré con calma. Muchas gracias por tu comentario.
Saludos!
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Enrique Ferres dice:
¡Muy interesante, Justo! Hay un tipo de números primos muy interesante, los primos de Mersenne, que son números primos de la forma $Latex 2^{n}-1$, donde n es un número natural. Por ejemplo, el primer primo de Mersenne es el 3, y se obtiene cuando n=2. No se conocen demasiados de estos, pero todavía no se sabe si hay una cantidad finita o infinita.
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¡Muchas gracias Enrique!
Cierto. Otro día que tenga tiempo, incluiré los números primos de Mersenne y haré una breve explicación sobre ellos.
Un abrazo!
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El subconjunto de los números primos es tan grande como el conjunto que lo contiene, o sea, el conjunto de números reales. En informática los números primos han permitido la seguridad en las transacciones bancarias.
Comparto un link con el programa en matlab para determinar los primeros números primos: https://tutorias.co/ciclo-for-matlab-primeros-numeros-primos/
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Disculpa, Carlos Alberto. Supongo que te refieres a que el cardinal del conjunto de números primos es igual al cardinal de los números naturales. Es un hecho bien conocido que los números naturales tienen un cardinal estrictamente inferior al de los números reales.
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Ginés Corbalán Clemént dice:
Para mi los números primos son en realidad la sincronización de mi vida, con los números 2-7 y 19, que corresponden a las afinidades gemelas del todo que es el 1.
Ningún primo multiplicado por si mismo o de su familia centesimal es primo, ni encaja
en la sincronización atómica de los cerones.
Me han encantado conocer tu bloc minimalista atómico descriptivo Ginesitivo, de tu 2 Joyas,
Soy un payaso creativo artístivo.-
Me alegro que te haya gustado el blog.
Me gusta tu creatividad Ginés, aunque me pierdo en lo que dices de la sincronización atómica de los cerones ...
Un abrazo!
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Soledad Campos dice:
Tus artículos siempre son geniales, los leo y vuelvo a leer y pongo en marcha las neuronas que con el paso de los años se me van oxidando, también se los reenvío a mis nietos, están terminando Primaria y empezando la Eso, porque es una divertida forma de ampliar conocimientos. Muchas gracias por tu generosidad.
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Hola Soledad!
Como me gusta leer tus comentarios. Haces bien en engrasar el cerebro, hay que ejercitarlo como los músculos, y también es importante inculcar a los niños la cara agradable de las matemáticas.
Gracias a ti. Un abrazo
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eliza dice:
Muy buen artículo, me ha gustado, solo quiero aportar que una manera de justificar que 1 no es primo, que no sea por conveniencia, es que si definimos a los primos como aquellos números que tienen exactamente 4 divisores en Z el número 1 por definición no es primo.(ejemplo: el número 2 tiene cuatro divisores +2,-2,+1,-1 mientras que el 1 solo tiene dos divisores: +1 y -1).
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Cierto, es una buena justificación Eliza. Gracias por la aportación. Saludos!
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Samuel Roeder dice:
Excelente artículo. Muchas gracias por tomarte el tiempo de escribirlo. De vez en cuando un poco de matemáticas no ha matado a nadie. Al contrario un poquito de aceite para el cerebro que tiende en algunos a tratar de esquivar todo lo "difícil" y complicado....
Gracias...-
Muchas gracias Samuel.
Cuanta razón tienes. Es muy bueno "engrasar" el cerebro de vez en cuando. Un sudoku, o una partida de ajedrez (aunque te maten) no va nada mal.
Un abrazo!
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Juan dice:
Excelente manera de aprender. Además, tienes muy buena pluma para mantener el gusto por leer.
Saludos cordiales y feliz cumpleaños.
Juan-
Muchas gracias Juan. Todavía falta un poco. Nací un mes primo de verano. ¿Qué día? El séptimo número primo ;-)) Saludos!
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Carlos Presumido dice:
Desde que entramos en contacto atraves de tu pagina estoy disfrutando aun con mi desconocimiento,de los libros,articulos y detalles de tu pagina.Mi mas sincera enhorabuena por ello.
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jorge dice:
Muy buen articulo , Un libro del tema que lo recomiendo ampliamente " EL TIO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH " de APOSTOLOS DOXIADIS .Voy a tratar de conseguir el que recomiendan.
Saludos-
Gracias Jorge. Cierto, excelente libro. Hablé sobre el y puedes descargarlo en este artículo https://soymatematicas.com/5-lecturas-para-aprender-matematicas/
Saludos.
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Jarods dice:
Muy interesante y ameno como siempre. Pero hay algo que lei que me parecio contradictorio con un teorema que mencionas.
“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.”
Por ejemplo 4 = 1+3
Pero segun lei más arriba el 1 no es considerado primo ya que no pertenece al club de los no homeros hehehe, lo siento no pude resistirlo ya que me acordo a ese episodio.
Saludos y sigue con estos articulos muy buenos que reflejan que las matemáticas son divertidas.-
Gracias Jarods. Sí, las matemáticas pueden ser muy divertidas 😉
Si, pero sólo hay una forma de expresar cada número como suma de 2 primos, en este caso 4=2+2. Cómo bien dices, el 1 no puede participar aquí. Un abrazo!
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Ignacio dice:
Buenas tardes, Justo
Gracias, gracias. Me encanta aprender contigo. Y los libros un regalazo!!
Por cierto, eres del 73 seguro. El dato que nos faltaba está en tu currículum: si eres profesor de secundaria tienes que ser mayor de edad (ni 3, ni 11 ni 17 años) y no puedes estar jubilado (83). Cumples 42 un día de estos.
Muchas Felicidades!-
Gracias a tí Ignacio. Me alegro que te hayan gustado los libros. Sí, soy de una buena generación ;-)) Un abrazo!
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H. Américo Vallenas Boza dice:
Justo
Excelente tus artículos
Espero que este desarrollo del resultado sirva
Año actual: 2015
Nacido en abril y tiene un número primo de años (nn): implica que en abril 2015 tendrá nn+1 (Ojo: es par)
La posible edad actual es: 37, 41, 43, 47, 51 (todos primos)
Los años posibles: 2015 - (37+1) = 1977 (no es primo)
2015 - (41+1) = 1973 (primo)
2015 - (47 + 1) = 1967 (no es primo)
2015 - (51 + 1) = 1963 (no es primo)
Suponiendo que no pasas de los 50 años, la edad factible 41 y cumples 42 en abrilOJO: De no establecer la condición de “cumpleaños es en abril”, el problema no tendría solución, dado que en el 2015 su edad sería un número primo, el cual es impar, por ende, la diferencia entre un año impar y edad impar da como resultado un año par (no primo)
Saludos
HAVB-
Muchas gracias. Muy buen planteamiento, aunque no cumplo años en abril, sino un mes primo de verano. ¿Qué día? El séptimo número primo ;-)) Saludos! Un abrazo!
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fernando perez dice:
Muy interesante como siempre. Muchas gracias por el regalo de los libros. Me tomaré el tiempo para leerlos
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Lord X. dice:
Hola.
Enhorabuena por tu artículo, has conseguido que me suscriba al blog. Continúa así.
Por cierto, en cuanto al enigma del final, mis posibles soluciones (al sistema de de ecuaciones) son las que siguen:
Has podido nacer en: 1931, 1973, 1997, 2003 y 2011, en cuyos casos, tu edad sería de, respectivamente, 83, 41, 17, 11 y 3 años. Me inclino más por 1973. Y por cierto, tu cumpleaños aún no ha pasado este año.Un saludo.
L.X.-
Gracias Lord. Bienvenido! Has resuelto muy bien el enigma. Todavía no, nací en un mes primo, en verano ;-)) Saludos!
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Lord X. dice:
Hola Justo. Finalmente naciste el día de Santa Carlota (según el santoral cristiano), martes, de 1973. Desconozco si naciste a una hora y minutos primos entre sí o no...
Lo cierto es que yo nací también en el único mes primo de verano, aunque un poco después que tú. Además, si sumas el día primo de tu nacimiento a otro día primo obtienes la fecha de mi cumpleaños (el día), que no es un número primo.
Por cierto, me gustó mucho el planteamiento necesario para resolver el problema. Mi primera idea fue aislar los números primos comprendidos entre 1900 y 2015 (para cubrir todo el abanico de la longevidad), pero eso era un trabajo muy costoso.
Así pues, lo que hice fue buscar, con la criba de Eratóstenes, los números primos encerrados entre el 1 y el 100. Restaría, sucesivamente, estos resultados a 2015 en busca de obtener tus potenciales años de nacimiento, y luego cribarlos yo. Sé que podía haber delimitado más el rango acotando tu edad (entre treinta y cincuenta años calculaba yo), pero finalmente no lo hice por ver qué soluciones obtenía.
Llegados a este punto me encontré con un problema: si a 2015, número impar, le restas números impares (como son todos los primos, excluido el 2 - cuyo resultado hacía pensar que habías nacido en 2013...) obtienes números pares, es decir, no primos.
Me hiciste pensar un momento, y eso me gusta. Ahí fue cuando llegué a la conclusión de que tal vez tu cumpleaños no había pasado aún. Mi trabajo no había sido en vano: resté uno a todos los años y obtuve una nueva tanda de resultados, impares esta vez. Cribar ya era el último paso, y me valí de una aplicación para adelantar trabajo.
Muy buen problema, me ha gustado mucho.
Por cierto, por si te interesa, yo, como tú, también vivo en una ciudad con un número primo de letras y número primo de sílabas al ser pronunciada. ¿Sabes cuál es? Envíame un mensaje privado si lo averiguas.
Un saludo,
L.X.
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41 lectores opinan:
Andrés Edo 
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