Siempre he pensado que es importante enlazar la historia de las matemáticas con su enseñanza, de tal forma que los alumnos puedan ver como han ido avanzando las mates según las necesidades de la humanidad. ¿Conoces la historia de los historia de los números? ¿cuando surgió el cero? ¿y las funciones? ¿podríamos vivir sin matemáticas?  …

Y contar historias también motiva a los chavales. El tema de sucesiones y progresiones geométricas de 3º de secundaria suele dar mucho juego. ¡Hay que aprovecharlo! En este artículo te cuento cuatro bonitas historias.

 

Progresiones geométricas. El inventor del ajedrez

Dicen y cuentan que hace ya mucho tiempo hubo un rey absorto y maravillado con el fascinante juego del ajedrez. Tan encantado estaba que ofreció a su inventor concederle lo que pidiera.

«Sólo te pido 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente. En cada una el doble que la anterior hasta llegar a la última, la casilla número 64.»

Al rey le pareció algo insignificante y pensó que el inventor era muy humilde. Pero estaba muy equivocado.

¿A cuántos granos de trigo asciende la deuda que el rey contrajo con el inventor del ajedrez?

 La sucesión sería esta:

\(a_{n}=1,2,4,8,16,32,64,…\)

Se trata de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 2. Por tanto, el último término, que correspondería a la última casilla es 2 elevado a 63, es decir una cantidad gigantesca; la cantidad total la tienes aquí abajo. El rey no pudo conceder su promesa, al no haber suficiente trigo en toda la tierra para satisfacer los deseos del inventor del ajedrez.

ejemplo de progresión geométrica en el ajedrez

Para que te hagas una idea, con tal cantidad de volumen de trigo, se podría cubrir toda la ciudad de Nueva York llegando a una altura de 1500 metros.

 

Las Torres de Hanói

Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor.

El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.

Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo » Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo».

El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es

\(a_{n}=2^{n}-1\)

Los primeros términos de esta progresión geométrica son: 1, 3, 7, 15, 31, 63,  …

¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos?  Nos harían falta 2^(64-1) movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo). Realmente las progresiones geométricas son espectaculares.

Si quieres jugar a este juego (con menos discos claro …), puedes hacerlo aquí.

 

Otra progresión geométrica sorprendente. Doblando papel

Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuantas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.

Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?. El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm. y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a1=0,28 y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:

\(a_{n}=0,28\cdot 2^{n-1}\)

siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.

¿Puedes coger la calculadora y comprobar esto?

  • Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
  • Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros!)

El gran divulgador Eduardo Sáenz de Cabezón te lo explica muy bien en este vídeo:

Aquiles y la tortuga

Es posible que hayas oído hablar de esta paradoja, una de las más clásicas y famosas. La describía así el filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C.

«Aquiles, el atleta más veloz, corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un trecho. Cuando Aquiles recorre ese tramo, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.»

Por supuesto, sabes que alcanzará a la tortuga. Pero, ¿cómo puedes desmontar el argumento de Zenón, que asegura que la tortuga siempre llevará alguna ventaja?

Aquiles y la tortuga

 

Esta es una forma: La tortuga tiene una ventaja de 100 metros. Imagina que Aquiles (lo conocerás por su talón) es capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, y la tortuga es 10 veces más lenta que él.

Es decir,cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0’1 m. Y así indefinidamente.

Parece una tontería, pero se tardaron 24 siglos en desvelar por completo esta paradoja, gracias a la Teoría de Límites. La suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.

Ejemplo de progresiones geométricas

En la tabla de arriba puedes ver que Aquiles, según las condiciones iniciales, tardará 11,111 … segundos en alcanzar a la tortuga.

Se trata de una progresión geométrica de razón 1/10. La suma de todos los infinitos tiempos es:

\(10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+…=11’111…\)

Acabas de ver que aunque la suma tenga infinitos sumandos, el resultado puede ser finito. Lo mismo que dividir 100 entre 9.

Si estás ayudando a tu hijo con las mates, no te olvides de contarle historias y curiosidades para reforzar su aprendizaje y para hacerle más llevadero el camino. Me gustaría que tuviera una buena progresión …  😉

 

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¿Te imaginas que tu hijo no tuviera problemas con las matemáticas?

Tengo muchos años de experiencia y puedo resolverle cualquier duda. Podrá entender todas las matemáticas de secundaria. 

15 comentarios en “Progresiones geométricas sorprendentes”

  1. Pingback: Lo que no sabíamos de las progresiones – Ma3maticas

  2. Hola!! Muy buenas tardes, muy bueno el artículo siempre he opinado que las matemáticas estan en todo y que son la explicación a muchos fenómenos, esta es una prueba de ello.

    Que tengan linda tardes.

    SALUDOS CORDIALES

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias por tu comentario. 😉
      Cierto, el mismísimo Pitágoras ya nos decía que todo es número.
      Un abrazo

  3. Que buena!!! Me conocía la historia del ajedrez pero nunca me había dado el tiempo para calcular el total del trigo.
    También recuerdo que el humorista Pepe Carrol le pidió a una persona de público que doblara sucesivamente una hoja de periódico por la mitad. Y sólo pudo doblarla 9 veces, más de eso es imposible.

    Saludos!

    1. Justo Fernández

      Hola Omer,
      Me alegro que te haya gustado. Sí, se puede disfrutar con las matemáticas. 😉
      Un abrazo.

  4. Muy bueno el artículo y gracias por el aporte. Un pequeño detallecito, en la historia del ajedrez, faltó el 8 entre el 4 y el 16. Pero gracias de nuevo. Felicitaciones

  5. Que interesante eso de las progresiones. Están importante eso de la historia de la matemática para la motivación del aprendizaje en está area encuentro que se deja lado, sin embargo el entender que motivó su investigación puede facilitar arto el aprendizaje.
    Son muy interesantes tus post. Sería interesante que alguna vez puedas escribir sobre series.
    Un saludo desde de Chile

    1. Justo Fernández

      Cierto, se le debería dar más importancia para motivar a los chavales y hacer las clases más amenas. Gracias por tus palabras Javier. Me apunto lo de las series, también es un tema apasionante (Euler bien lo sabía).
      Saludos a esa hermosa tierra chilena.

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias Magoz.
      Hubiera estado mucho mejor con tus ilustraciones … 😉 Ya me gustaría poder escribir más,pero tengo bastante trabajo en el instituto.
      Os recomiendo visitar a este pedazo de artista en http://www.magoz.is/
      Saludos crack

  6. Muy buenas historias, aunque algunas las conocia pero otras me sorprendieron. Gracias por el artículo por hacerme distraer un rato.

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias Luis. Esa es la intención, que pueda ser útil para el aprendizaje de los chicos. Un abrazo

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