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📘 3º y 4º de ESO / Bachillerato
Progresión geométrica: qué es, fórmulas y ejercicios resueltos
¿Sabías que una hoja de papel doblada 42 veces alcanzaría la Luna? Eso es una progresión geométrica en acción: crecimiento que se multiplica, no que se suma. Te voy a enseñar a dominarla con fórmulas claras y ejemplos que vas a recordar siempre 🚀
a₁
×r
a₂
×r
a₃...
⚡ Respuesta rápida
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (\(r\)). Su término general es:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]
Y la suma de sus \(n\) primeros términos se calcula con \( S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1} \) (si \(r\neq 1\)).
¿Qué es una progresión geométrica? 🤔
Yo siempre distingo las progresiones geométricas de las aritméticas con una sola pregunta: ¿se suma o se multiplica? En una progresión aritmética, sumas siempre la misma cantidad. En una progresión geométrica, en cambio, multiplicas siempre por el mismo número, al que llamamos razón (\(r\)).
Fíjate en esta sucesión: \(3, 6, 12, 24, 48\dots\) Cada término es el doble del anterior, así que la razón es \(r=2\).
💡 Cómo hallar la razón
La razón se calcula dividiendo cualquier término entre el anterior: \( r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \). En el ejemplo anterior: \( 6/3=2 \), \( 12/6=2 \), y así con cualquier par consecutivo.
El término general: la fórmula que lo resuelve todo
Lo mejor de las progresiones geométricas es que no necesitas calcular todos los términos anteriores para conocer uno concreto. Con la fórmula del término general, saltas directamente a donde quieras:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]
Vamos a aplicarla: si \(a_1=3\) y \(r=2\), ¿cuánto vale \(a_5\)?
1
Sustituimos en la fórmula: \( a_5=3\times 2^{5-1}=3\times 2^4 \).
2
Calculamos la potencia: \( 2^4=16 \).
3
Multiplicamos: \( 3\times 16=48 \).
💡 Ojo con el exponente: es n-1, no n
Es el error que más veces corrijo: el primer término \(a_1\) tiene exponente 0 (\( r^0=1 \)), no exponente 1. Por eso siempre resto 1 al índice del término que buscas.
La suma de los n primeros términos ➕
Sumar término a término una progresión larga sería un suplicio. Por suerte, existe una fórmula directa:
\[ S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \quad (\text{si } r\neq 1) \]
Con la misma progresión (\(a_1=3\), \(r=2\)), calculemos la suma de los 6 primeros términos:
\[ S_6=\frac{3(2^6-1)}{2-1}=\frac{3\times 63}{1}=189 \]
⚠️ Si r=1, la fórmula no funciona
Con \(r=1\), todos los términos son iguales a \(a_1\) (no hay progresión geométrica real), y la suma es simplemente \( S_n=a_1\times n \).
La suma infinita: cuando los términos se hacen minúsculos 🌀
Aquí viene la parte que a mí me pareció más sorprendente de todo el tema: si la razón cumple \(|r|<1\) (los términos se van haciendo cada vez más pequeños), puedes sumar infinitos términos y obtener un resultado finito.
\[ S_\infty = \frac{a_1}{1-r} \quad (\text{solo si } |r|<1) \]
Con \(a_1=8\) y \(r=0{,}5\): \( S_\infty=\dfrac{8}{1-0{,}5}=\dfrac{8}{0{,}5}=16 \). Aunque sumes infinitos términos (cada vez más pequeños), nunca superarás el valor 16, y te acercas tanto a él como quieras.
Ejercicios resueltos de progresiones geométricas 💪
Practica conmigo. Lee cada enunciado, aplica la fórmula correspondiente y comprueba tu resultado antes de hacer clic.
🟢 Básico
Ejercicio 1. Calcula el quinto término de la progresión geométrica con \(a_1=3\) y \(r=2\).
a1 = 3, r = 2
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Paso 1: Aplicamos \( a_5=a_1\cdot r^{5-1}=3\times 2^4 \).
Paso 2: \( 2^4=16 \), y \( 3\times16 \).
✅ Resultado: a5 = 48
🟢 Básico
Ejercicio 2. Una colonia de bacterias empieza con 100 individuos y se duplica cada hora. ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas?
a1 = 100, r = 2, n = 6 (hora 0 a hora 5)
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Paso 1: Tras 5 horas, ha habido 5 duplicaciones: \( 100\times 2^5 \).
Paso 2: \( 2^5=32 \), y \( 100\times 32 \).
✅ Resultado: 3.200 bacterias
🟡 Medio
Ejercicio 3. Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión con \(a_1=3\) y \(r=2\) (la misma del Ejercicio 1).
a1 = 3, r = 2, n = 6
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Paso 1: Aplicamos \( S_6=\dfrac{a_1(r^6-1)}{r-1}=\dfrac{3(2^6-1)}{2-1} \).
Paso 2: \( 2^6=64 \), así que \( 3\times(64-1)=3\times 63 \).
✅ Resultado: S6 = 189
🟡 Medio
Ejercicio 4. Una pelota se deja caer desde 2 m de altura. Tras cada bote, alcanza el 60% de la altura anterior. ¿A qué altura llegará después del cuarto bote?
a1 = 2, r = 0,6, n = 5 (altura inicial + 4 botes)
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Paso 1: Tras 4 botes, aplicamos \( 2\times 0{,}6^4 \).
Paso 2: \( 0{,}6^4=0{,}1296 \), y \( 2\times 0{,}1296 \).
✅ Resultado: aproximadamente 0,259 m
🔴 Avanzado
Ejercicio 5. En una progresión geométrica, \(a_1=5\) y \(a_4=135\). Halla la razón \(r\) y calcula la suma infinita si fuera aplicable.
a1 = 5, a4 = 135
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Paso 1: Aplicamos el término general: \( a_4=a_1\cdot r^3 \Rightarrow 135=5\cdot r^3 \).
Paso 2: Despejamos: \( r^3=135/5=27 \Rightarrow r=\sqrt[3]{27}=3 \).
Paso 3: Como \(|r|=3>1\), la suma infinita NO se puede aplicar (la fórmula solo funciona si \(|r|<1\)).
✅ Resultado: r = 3. La suma infinita no existe para esta progresión
Errores más comunes ⚠️
❌ Usar el exponente n en vez de n-1
La fórmula es \( a_n=a_1\cdot r^{n-1} \); usar \(r^n\) directamente da un resultado multiplicado de más por r.
La fórmula es \( a_n=a_1\cdot r^{n-1} \); usar \(r^n\) directamente da un resultado multiplicado de más por r.
❌ Confundir progresión geométrica con aritmética
En la aritmética se suma una cantidad fija; en la geométrica se multiplica por una razón fija. Aplicar la fórmula equivocada da resultados completamente distintos.
En la aritmética se suma una cantidad fija; en la geométrica se multiplica por una razón fija. Aplicar la fórmula equivocada da resultados completamente distintos.
❌ Aplicar la suma infinita con |r|≥1
La fórmula \( S_\infty=\frac{a_1}{1-r} \) solo tiene sentido si \(|r|<1\); con \(r=2\), por ejemplo, la suma de infinitos términos sería infinita, no un número finito.
La fórmula \( S_\infty=\frac{a_1}{1-r} \) solo tiene sentido si \(|r|<1\); con \(r=2\), por ejemplo, la suma de infinitos términos sería infinita, no un número finito.
❌ Olvidar que la razón puede ser negativa o decimal
Una razón negativa (como \(r=-2\)) hace que los términos alternen de signo; una razón decimal entre 0 y 1 hace que la progresión sea decreciente.
Una razón negativa (como \(r=-2\)) hace que los términos alternen de signo; una razón decimal entre 0 y 1 hace que la progresión sea decreciente.
❌ Calcular mal la raíz al hallar la razón
Si necesitas \( r^k=N \), hay que calcular la raíz k-ésima de N, no dividir N entre k.
Si necesitas \( r^k=N \), hay que calcular la raíz k-ésima de N, no dividir N entre k.
Comprobación numérica 🧮
Verifica los resultados anteriores sumando manualmente los términos:
Verificación del Ejercicio 3: suma manual vs. fórmula
| Término | Valor |
|---|---|
| a1 | 3 |
| a2 | 6 |
| a3 | 12 |
| a4 | 24 |
| a5 | 48 |
| a6 | 96 |
| Suma manual | 189 ✅ |
✅ Sumando los 6 términos uno a uno se obtiene 189, coincidiendo con la fórmula.
Verificación de la suma infinita (a1=8, r=0,5)
| Nº de términos sumados | Suma acumulada |
|---|---|
| 7 términos | 15,875 |
| 20 términos | 15,999984... |
| Suma infinita (fórmula) | 16 ✅ |
✅ Cuantos más términos se suman, más se acerca el resultado a 16, confirmando la fórmula de la suma infinita.
Tabla resumen de la progresión geométrica 📋
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Razón | \( r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \) |
| Término general | \( a_n=a_1\cdot r^{n-1} \) |
| Suma de n términos | \( S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1} \) (r≠1) |
| Suma infinita | \( S_\infty=\dfrac{a_1}{1-r} \) (solo si |r|<1) |
Preguntas frecuentes ❓
¿Cómo se diferencia una progresión geométrica de una aritmética?
En la aritmética, cada término se obtiene sumando una cantidad fija (diferencia); en la geométrica, se obtiene multiplicando por una cantidad fija (razón).
¿Puede la razón de una progresión geométrica ser negativa?
Sí, y en ese caso los términos alternan de signo (positivo, negativo, positivo...), aunque sus valores absolutos sigan la misma regla de multiplicación.
¿Cuándo se puede calcular la suma de infinitos términos?
Solo cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1 (\(|r|<1\)); en ese caso, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma total converge a un número finito.
¿Dónde se aplican las progresiones geométricas en la vida real?
En el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones (bacterias, virus), la desintegración radiactiva, la depreciación de un coche año tras año, y en fenómenos físicos como el rebote de una pelota.
¿Qué pasa si la razón es exactamente 1?
Todos los términos son iguales al primero, y aunque técnicamente es un caso límite, la suma de n términos se calcula simplemente como \( a_1\times n \), no con la fórmula general.
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El Perímetro de una Semicircunferencia: Cálculo ...Espero que te haya gustado este artículo sobre Progresión geométrica: fórmulas, razón y ejemplos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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