Ejemplo visual de progresión aritmética

Progresión aritmética: fórmulas, diferencia y ejemplos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 19 horas · Actualizado hace 19 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es una progresión aritmética?
  2. La diferencia d: cómo calcularla
  3. Término general de una progresión aritmética
  4. ➕ Suma de n términos: fórmula y truco de Gauss
  5. Tipos según la diferencia
  6. Interpolación de medios aritméticos
  7. Progresión aritmética vs geométrica
  8. 🌍 Aplicaciones en la vida real
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios resueltos paso a paso

¿Necesitas entender la progresión aritmética de una vez? En esta guía para ESO y Bachillerato aprenderás a reconocer una sucesión aritmética, calcular su diferencia, usar el término general, sumar sus términos e interpolar medios aritméticos.

⚡ Progresión aritmética en 30 segundos
Es una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre constante. Esa diferencia se llama d. Sus dos fórmulas clave son:

aₙ = a₁ + (n − 1)·d
Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2
Ejemplo visual de progresión aritmética

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética (o sucesión aritmética) es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando la misma cantidad al anterior. A esa cantidad fija la llamamos diferencia y la representamos con la letra d.

d = aₙ₊₁ − aₙ
La diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma.

Por ejemplo, 5, 9, 13, 17, … es aritmética porque 9−5 = 13−9 = 17−13 = 4. En cambio, 2, 4, 8, 16, … no lo es: las diferencias son 2, 4 y 8.

💡 Idea clave: piensa en una escalera cuyos peldaños están separados siempre por la misma distancia. Cada peldaño es un término y la distancia constante es d.

La diferencia d: cómo calcularla

Si conoces dos términos consecutivos, resta el anterior al siguiente. Si conoces dos términos no consecutivos, divide la diferencia de sus valores entre la diferencia de sus posiciones:

d = (aₘ − aₙ)/(m − n)
Ejemplo: si a₄ = 17 y a₉ = 37, entonces hay 5 saltos: d = (37−17)/(9−4) = 20/5 = 4.

Término general de una progresión aritmética

El término general permite calcular el término que ocupa la posición n sin escribir toda la sucesión:

aₙ = a₁ + (n − 1)·d
Ejemplo paso a paso: en 6, 10, 14, 18, … calcula a₁₂.
  1. Identifica los datos: a₁ = 6, d = 10−6 = 4 y n = 12.
  2. Sustituye: a₁₂ = 6 + (12−1)·4.
  3. Calcula: a₁₂ = 6 + 44 = 50.

➕ Suma de n términos: fórmula y truco de Gauss

La suma de los n primeros términos se calcula con:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2
Ejemplo: suma 4 + 7 + 10 + … + 31. Hay d = 3 y n = (31−4)/3 + 1 = 10. Por tanto, S₁₀ = (4+31)·10/2 = 175.

La famosa anécdota de Gauss consiste en sumar del 1 al 100 agrupando extremos: 1+100 = 101, 2+99 = 101, … Hay 50 parejas, así que S₁₀₀ = 101·50 = 5050.

Tipos según la diferencia

Valor de dTipoEjemplo
d > 0Creciente2, 5, 8, 11, …
d < 0Decreciente20, 16, 12, 8, …
d = 0Constante7, 7, 7, 7, …

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar medios aritméticos significa insertar varios términos entre dos números para formar una progresión aritmética. Si insertamos k medios entre A y B, habrá k+1 saltos:

d = (B − A)/(k + 1)

Entre 10 y 30 queremos insertar 3 medios: d = (30−10)/4 = 5. La progresión es 10, 15, 20, 25, 30.

Progresión aritmética vs geométrica

AritméticaGeométrica
ReglaSe suma la diferencia dSe multiplica por la razón r
Fórmulaaₙ = a₁+(n−1)daₙ = a₁·rⁿ⁻¹
Ejemplo3, 7, 11, 153, 6, 12, 24

Consulta también nuestra guía sobre progresiones geométricas y repasa los números reales.

🌍 Aplicaciones en la vida real

💰 AhorroCuotas que aumentan 5 € cada mes.
🏟️ AsientosFilas con 20, 24, 28… localidades.
🏗️ EscalerasAlturas que crecen con un desnivel constante.
📅 CalendarioPatrones de fechas y turnos periódicos.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

¿Qué es d?La diferencia constante entre términos consecutivos.
¿Término general?aₙ = a₁ + (n−1)d.
¿Suma?Sₙ = (a₁+aₙ)n/2.
Si d > 0La sucesión es creciente.
Si d < 0La sucesión es decreciente.
Si d = 0La sucesión es constante.

⭐ Ejercicios resueltos paso a paso

Intenta resolver cada ejercicio antes de abrir su solución. Puedes desplegar las soluciones .

EJERCICIO 1Calcular un término
📝 EnunciadoEn la progresión 7, 11, 15, 19, … calcula a₁₀.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La diferencia es d = 11 − 7 = 4.
  2. Paso 2. Aplicamos el término general: a₁₀ = 7 + (10 − 1)·4 = 7 + 36.
  3. Paso 3. Comprobación: la sucesión aumenta 4 nueve veces desde 7.
✅ Resultado: a₁₀ = 43.
EJERCICIO 2Hallar la diferencia y el término general
📝 EnunciadoUna sucesión tiene a₃ = 14 y a₈ = 34. Calcula d, a₁ y aₙ.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Entre a₃ y a₈ hay 8 − 3 = 5 saltos: d = (34 − 14)/5 = 4.
  2. Paso 2. Despejamos a₁ en a₃ = a₁ + 2d: a₁ = 14 − 8 = 6.
  3. Paso 3. Por tanto, aₙ = 6 + (n − 1)·4 = 4n + 2.
✅ Resultado: d = 4, a₁ = 6 y aₙ = 4n + 2.
EJERCICIO 3Sumar los primeros términos
📝 EnunciadoCalcula la suma de los 20 primeros términos de 3, 8, 13, 18, …
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La diferencia es d = 5 y a₂₀ = 3 + 19·5 = 98.
  2. Paso 2. Usamos S₂₀ = (a₁ + a₂₀)·20/2.
  3. Paso 3. S₂₀ = (3 + 98)·10 = 1010.
✅ Resultado: S₂₀ = 1010.
EJERCICIO 4Resolver una situación real
📝 EnunciadoUna alumna ahorra 12 € la primera semana y aumenta su ahorro semanal en 3 €. ¿Cuánto ahorra en la semana 10 y en total durante 10 semanas?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Identificamos a₁ = 12, d = 3 y n = 10.
  2. Paso 2. A₁₀ = 12 + 9·3 = 39 €.
  3. Paso 3. S₁₀ = (12 + 39)·10/2 = 255 €.
✅ Resultado: En la semana 10 ahorra 39 € y en las 10 semanas, 255 €.
EJERCICIO 5Interpolar medios aritméticos
📝 EnunciadoInserta tres medios aritméticos entre 4 y 20.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Hay cinco términos: 4, __, __, __, 20; por tanto, hay 4 intervalos iguales.
  2. Paso 2. d = (20 − 4)/4 = 4.
  3. Paso 3. Los términos intermedios son 4 + 4 = 8, 12 y 16.
✅ Resultado: 4, 8, 12, 16, 20.
EJERCICIO 6Encontrar el número de términos
📝 Enunciado¿Cuántos términos tiene la progresión 5, 9, 13, …, 81?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Identificamos a₁ = 5, d = 4 y aₙ = 81.
  2. Paso 2. 81 = 5 + (n − 1)·4; entonces 76 = 4(n − 1).
  3. Paso 3. n − 1 = 19, así que n = 20.
✅ Resultado: La progresión tiene 20 términos.

❓ Preguntas frecuentes sobre progresiones aritméticas

🤔 ¿Qué es una progresión aritmética?
Es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando siempre la misma cantidad, llamada diferencia d, al término anterior.
🤔 ¿Cómo se calcula la diferencia de una progresión aritmética?
Se resta un término menos el anterior: d = a₂ − a₁. También puede calcularse como d = (aₙ − a₁)/(n − 1) si se conocen dos términos y sus posiciones.
🤔 ¿Cuál es el término general de una progresión aritmética?
El término general es aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Permite calcular cualquier término sin escribir todos los anteriores.
🤔 ¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética?
La suma de los n primeros términos es Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Equivale a multiplicar el número de términos por la media del primero y el último.
🤔 ¿Qué diferencia hay entre una progresión aritmética y una geométrica?
En la aritmética se suma o resta una diferencia constante; en la geométrica se multiplica o divide por una razón constante.
🤔 ¿Una progresión aritmética puede tener diferencia negativa?
Sí. Si d < 0 es decreciente; si d = 0 es constante; si d > 0 es creciente.
🤔 ¿Dónde se aplican las progresiones aritméticas?
En situaciones financieras y técnicas donde una cantidad aumenta o disminuye regularmente, sumando o restando un valor fijo.
📚 Resumen final
  • Una sucesión aritmética mantiene constante la diferencia d.
  • El término general es aₙ = a₁ + (n−1)d.
  • La suma es Sₙ = (a₁+aₙ)n/2.
  • El signo de d indica si es creciente, decreciente o constante.

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Consulta también:La leyenda del ajedrez yProgresión aritmética.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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