El infinito♾️: Definición de infinito y ejemplos de números infinitos
infinito

En este post te quiero hablar del número infinito. ¿Qué significa infinito?

Te lo cuento…

Noche cerrada… mis hijas tienen sueño… caricias y besos antes de dormir.

— Papá, te quiero un montón.

— Y yo a tí más cariño, hasta el infinito.

— Yo hasta el infinito y uno más …

Mientras sus sueños se pierden en el inmensidad, yo me quedo aquí, escribiendo para ti un pequeño ensayo de algo que no tiene fin.

¿Qué es el infinito en matemáticas?

Espero que te quede mucho más clara la definición de infinito. El infinito:

No es grande …

No es enorme …

No es colosal …

Es asombrosamente inconcebible …

… Es infinito!

 

Infinito es la idea de algo que no tiene fin

En nuestro mundo no tenemos nada igual. Puedes imaginarte viajando a un lugar muy lejano, a otro planeta quizás, tratando de llegar allí, pero eso no es realmente infinito.

Es posible que nuestro cerebro no lo pueda concebir. Podemos simplificarlo pensando en algo “sin fin”, o “sin límites”. La mayoría de las cosas que conocemos tienen un fin, el infinito no.

Interminable

Numerosoel infinito

Fantástico

Inconmensurable

No contable

Incalculable

Todopoderoso

Omnipresente

El Infinito no crece

El infinito no es “cada vez más grande”, ya está completamente formado.

A veces la gente piensa que “sigue y sigue”, como si estuviese creciendo de alguna manera. Pero el infinito no hace nada, simplemente es.

Infinito no es un número real. No se puede medir

Nuestro protagonista no es un número real, es una idea de que nunca termina.Por ejemplo, la secuencia de los números naturales {1, 2, 3,4,5, …}  nunca termina, es infinita.

Incluso esas galaxias lejanas que se pierden en la inmensidad no pueden competir con el infinito.

numeros infinitos ejemplos

 

Números infinitos. Ejemplos

¿Es el infinito simple?

¡Sí! Es una paradoja, pero posiblemente es más sencillo que las cosas que sí tienen un fin. Porque cuando algo tiene un final, tenemos que definir dónde está ese fin.

Por ejemplo, en geometría, por definición decimos que una línea recta tiene longitud infinita en sus dos extremos, es decir, que se dirige en ambas direcciones sin fin.

que es el infinito

Cuando una línea recta tiene marcado un origen, constituye una semirrecta.En un segmento sus dos extremos son fijos, pero necesitas información extra para definir donde están los extremos.

Pero esto es más complicado de lo que parece, porque hay infinitos puntos en cualquier línea y también en un pequeño segmento.

el infinito en matematicas

Podemos aceptar que 1/3 es un número finito. Pero si se te ocurre expresar este número como un número decimal, comprobarás que el 3 se repite indefinidamente. No hay ninguna razón por la cual los treses deban parar.

que es infinito

Todos los números decimales periódicos son infinitos, porque tienen una serie infinita de números que nunca se acaban, así que ahí tienes muchos ejemplos de números infinitos.

Números gigantescos

Hay algunos números que impresionan por su grandeza. Para empezar te describiré el que para muchos es el Dios del siglo XXI, el que todo lo sabe.

Sí, lo has adivinado, el “señor Google”.

Un Googol es un 1 seguido de cien ceros. Nos ocuparía más de dos líneas. Mejor expresarlo en notación científica:

numero del infinito
simbolo matematico del infinitoGoogle, el buscador de internet mundialmente más utilizado, fue llamado así debido a este número. Los fundadores iban a llamarlo Googol, pero debido a un error de ortografía terminaron llamándole Google.

Este número lo inventó en 1938 Milton Sirotta, un chaval de 9 años, sobrino del matemático Edward Kasner. Hoy resulta curiosa la frase que acuñó Isaac Asimov  en una ocasión  «Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé».

Este grandullón también puede servirnos para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito. Un Googol ya es más grande que el número de átomos de hidrógeno que existen en el universo conocido. Pero este número es un cero a la izquierda comparado con el siguiente …

Un Googolplex. Es 10 elevado a googol

definicion de infinito

 Sólo se puede escribir en notación científica. Resulta imposible escribir este número con todos sus ceros. ¿Por qué? Porque sencillamente no cabría en nuestro universo expresado linealmente.

Pero aun así, un googolplex es un número finito, porque está definido y “podríamos llegar allí”

Tu mismo podrías crear  fácilmente números más enormes que estos! Y seguirías estando lejos del infinito …

El uso del infinito en matemáticas

A  veces podemos utilizar el infinito como si fuese un número; pero el infinito no se comporta como un número real. Para ayudarte a entenderlo, cada vez que veas el símbolo infinito “∞”,  puedes pensar en “sin fin”

Por ejemplo: ∞ + 1 = ∞  Es lo mismo que decir que infinito más uno sigue siendo igual a infinito. Si algo es interminable, aunque le añadamos 1 unidad, seguirá siendo interminable.

Lo más importante acerca de la infinidad es que siendo x cualquier número real, siempre se cumple que:

-∞ < x < ∞

Es decir, menos infinito es menor que cualquier número real. Y  el infinito es mayor que cualquier número real.

 Nuestro querido ocho tumbado también tiene sus propiedades. Te muestro aquí algunas. También cumple la regla de los signos.

∞ + ∞ = ∞       -∞ – ∞ =- ∞

∞ · ∞ = ∞        -∞ · ∞ = -∞

x- (-∞) = ∞      x · (-∞) =- ∞

Operaciones indeterminadas o no definidas

Se utilizan principalmente en el cálculo de límites. Si los resultados que se obtienen, no tienen sentido en el campo de los números reales, entonces se dice que le límite está indeterminado. Puedes encontrarte con estos 5 casos.

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Ejemplo: ¿Por qué  ∞ / ∞ no es igual a 1?

Porque realmente no sabemos cuán grande es el infinito; así que no podemos decir que dos infinitos son los mismos. Por ejemplo, si dices  que  ∞ + ∞ = ∞,  puedes llegar a concluir que 1=2. De esta forma:

infinitos

Y eso no tiene sentido! Esta es la explicación de porqué  ∞/∞  es una indeterminación.

Por otro lado, infinito entre un número, sigue siendo infinito

¿Hay el mismo número de números enteros que de números pares?

Es posible que la intuición te lleve a pensar que no. Argumentando que el conjunto de los números naturales (N) tiene el doble de números que el conjunto de números pares (P) por sí solo.

Pero esta idea se vuelve borrosa cuando jugamos con conjuntos de un número indefinido de elementos. Puedes ver que sorprendentemente, hay una correspondencia de uno a uno entre N y el conjunto de los números pares P:

numero infinito

Seguramente has llegado a esta asombrosa conclusión: hay el “mismo número” de números enteros que de números pares!. Termino con otra pregunta. ¿Es el todo mayor que una parte? No siempre … Parece que cuando trabajamos con conjuntos infinitos, no.

Ya sabes. Si alguien te dice “hasta el infinito y más allá”, dile que se equivoca, que se ha pasado tres pueblos ;-))

Y tú, ¿que expresiones utilizas para hablar del infinito?

 

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12 comentarios en “El infinito: Definición de infinito y ejemplos de números infinitos”

  1. El conjunto de los números naturales es infinito numerable pero el de los números reales es infinito no numerable. Parece que hay infinitos más grandes o inacabables que otros?

    1. Justo Fernández

      Hola Alberto!

      Bajo mi punto de vista son cosas diferentes. El zenit es un término astronómico, pero no llega albergar el infinito. Saludos 😉

    2. Héctor Pabón

      Un conjunto es contable si es finito o enumerable.
      Existen conjuntos no enumerables como el conjunto de los números reales, o un intervalo de este.
      No se debe confundir el infinito matemático de otros “supuestos” infinitos como el espacio, el tiempo, la materia. En este caso no se podría hablar de infinito matemático.
      No olvidar que en matemáticas existen “épsilon” que puede ser tan pequeño como se quiera.

  2. El infinito y los golpes de mazo a la intuición: infinitos más grandes que otros infinitos e infinitos de distinta naturaleza. Toda una belleza. Bonita entrada, saludos.

    1. Justo Fernández

      Gracias por tu comentario J.Armando. Me alegro que te haya gustado.
      Si, a veces la intuición nos falla …
      Saludos!

      1. Justo Fernández

        Me viene a la mente la frase que dice que las ideas nunca mueren. ¿Podríamos decir entonces que somos infinitos? Es una pregunta filosófica …
        Saldudos!

    1. Justo Fernández

      Gracias Alejandra. Otro dato: se atribuye a John Wallis el mérito de ser el primero en usar el símbolo del “nudo del amor” ∞ para el infinito. Hasta pronto.

      1. Ayleen Araujo

        Se me abrió el panorama, no volveré a ver el infinito de la misma manera, me encantó este post. Gracias!

      2. Justo Fernández

        Muchas gracias por tus palabras. Que bien sienta leer estos comentarios.
        Un abrazo

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