Sistemas de ecuaciones: Métodos, ejemplos y cómo resolverlos fácilmente

¿Se te complican los sistemas de ecuaciones? No te preocupes, no es tan complicado como parece. En este artículo te enseñaré paso a paso cómo resolver sistemas de ecuaciones de manera fácil y clara, usando varios métodos.

¿Qué es un de sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen varias incógnitas (generalmente dos o tres). La solución de un sistema de ecuaciones es el valor o conjunto de valores que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Por ejemplo, si tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (normalmente \(x\) y \(y\)), encontrar la solución significa encontrar los valores de \(x\) y \(y\) que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.

Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales:
\(
\begin{aligned}
2x + y &= 4 \\
3x - y &= 5
\end{aligned}
\)
Aquí tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (\(x\) y \(y\)). Resolver este sistema significa encontrar los valores de \(x\) y \(y\) que hacen que ambas ecuaciones se cumplan.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. A continuación, describiremos tres de los métodos más comunes: Método de sustitución, Método de igualación, y Método de reducción (o eliminación). Supongo que ya sabrás resolver ecuaciones de primer grado.

Método de sustitución

Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir ese valor en la otra ecuación. Veamos los pasos con detalle:

1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones. Elige una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas. Por ejemplo, en el sistema:
   \(
   \begin{aligned}
   2x + y &= 4 \\
   3x - y &= 5
   \end{aligned}
   \)
   Puedes despejar \(y\) en la primera ecuación:
   \(y = 4 - 2x\)
2. Sustituir el valor despejado en la otra ecuación. Ahora, sustituye \(y = 4 - 2x\) en la segunda ecuación:
   \(3x - (4 - 2x) = 5\)
3. Resolver la ecuación resultante. Resuelve esta nueva ecuación con una sola incógnita \(x\):
   \(
   3x - 4 + 2x = 5 \\
   5x - 4 = 5 \\
   5x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5}
   \)
4. Sustituir el valor de la incógnita encontrada en una de las ecuaciones originales. Ahora que tenemos \(x = \frac{9}{5}\), lo sustituimos en la ecuación donde despejamos \(y\):
   \(
   y = 4 - 2\left(\frac{9}{5}\right) \\
   y = 4 - \frac{18}{5} = \frac{20}{5} - \frac{18}{5} = \frac{2}{5}
   \)
5. Escribir la solución. La solución del sistema es \(x = \frac{9}{5}\) y \(y = \frac{2}{5}\).

Método de igualación

Este método consiste en despejar una incógnita en ambas ecuaciones y luego igualarlas entre sí. Debes seguir estos pasos:

1. Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Por ejemplo, en el mismo sistema:
   \(
   \begin{aligned}
   2x + y &= 4 \\
   3x - y &= 5
   \end{aligned}
   \)
   Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones:
   \(
   y = 4 - 2x \\
   y = 3x - 5
   \)
2. Igualar las dos expresiones. Ahora que tenemos dos expresiones para \(y\), las igualamos:
   \(4 - 2x = 3x - 5\)
3. Resolver la ecuación resultante. Resolvemos la ecuación para \(x\):
   \(
   4 + 5 = 3x + 2x \\
   9 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5}
   \)
4. Sustituir el valor de la incógnita en una de las ecuaciones originales. Sustituimos \(x = \frac{9}{5}\) en una de las ecuaciones para encontrar \(y\):
   \(
   y = 4 - 2\left(\frac{9}{5}\right) \\
   y = \frac{2}{5}
   \)
5. Escribir la solución. La solución es \(x = \frac{9}{5}\) y \(y = \frac{2}{5}\).

Método de reducción o eliminación

Este método es el más rápido, pero hay que entenderlo bien. Consiste en sumar o restar las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego resolver la ecuación resultante. Veamos:

1.  Multiplicar las ecuaciones si es necesario para igualar los coeficientes de una incógnita. Por ejemplo, en el mismo sistema:
   \(
   \begin{aligned}
   2x + y &= 4 \\
   3x - y &= 5
   \end{aligned}
   \)
   Notamos que los coeficientes de \(y\) ya son opuestos (\(+1\) y \(-1\)), por lo que no necesitamos multiplicar.
2. Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita. Sumamos las ecuaciones:
   \(
   (2x + y) + (3x - y) = 4 + 5 \\
   5x = 9 \\
   x = \frac{9}{5}
   \)
3. Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales. Ahora sustituimos \(x = \frac{9}{5}\) en una de las ecuaciones originales:
   \(
   2x + y = 4 \\
   2\left(\frac{9}{5}\right) + y = 4 \\
   \frac{18}{5} + y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4 - \frac{18}{5} = \frac{2}{5}
   \)
4. Escribir la solución. La solución es \(x = \frac{9}{5}\) y \(y = \frac{2}{5}\).

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

Método de Sustitución. Ejercicio Fácil

\(
\begin{aligned}
x + y &= 6 \\
2x + y &= 8
\end{aligned}
\)

Paso 1:Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones. Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\(y = 6 - x\)

Paso 2:Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\(
2x + (6 - x) = 8
\)

Paso 3:Resolvemos la ecuación resultante:
\(
2x + 6 - x = 8 \\
x + 6 = 8 \\
x = 2
\)

Paso 4:Sustituimos \(x = 2\) en la ecuación despejada:
\(
y = 6 - 2 \\
y = 4
\)

Solución: \(x = 2\), \(y = 4\).

Método de Sustitución. Ejercicio intermedio

\(
\begin{aligned}
3x - 2y &= 4 \\
x + y &= 5
\end{aligned}
\)

Paso 1:Despejamos \(x\) en la segunda ecuación:
\(x = 5 - y\)

Paso 2:Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:
\(
3(5 - y) - 2y = 4
\)

Paso 3:Resolvemos la ecuación:
\(
15 - 3y - 2y = 4 \\
15 - 5y = 4 \\
-5y = 4 - 15 \\
-5y = -11 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{5}
\)

Paso 4:Sustituimos \(y = \frac{11}{5}\) en la ecuación despejada:
\(
x = 5 - \frac{11}{5} = \frac{25}{5} - \frac{11}{5} = \frac{14}{5}
\)

Solución:\(x = \frac{14}{5}\), \(y = \frac{11}{5}\).

Método de Sustitución. Ejercicio difícil

\(
\begin{aligned}
4x - 3y &= 1 \\
5x + 2y &= 7
\end{aligned}
\)

Paso 1:Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\(x = \frac{1 + 3y}{4}\)

Paso 2:Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\(
5\left(\frac{1 + 3y}{4}\right) + 2y = 7
\)

Paso 3:Multiplicamos para eliminar denominadores:
\(
\frac{5(1 + 3y)}{4} + 2y = 7 \\
\frac{5 + 15y}{4} + 2y = 7
\)
Multiplicamos todo por 4:
\(
5 + 15y + 8y = 28 \\
23y = 28 - 5 \\
23y = 23 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\)

Paso 4:Sustituimos \(y = 1\) en la ecuación despejada:
\(
x = \frac{1 + 3(1)}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1
\)

Solución:\(x = 1\), \(y = 1\).

Método de Igualación. Ejercicio fácil

\(
\begin{aligned}
x - y &= 2 \\
x + y &= 6
\end{aligned}
\)

Paso 1:Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\(
x = y + 2 \\
x = 6 - y
\)

Paso 2:Igualamos ambas expresiones:
\(
y + 2 = 6 - y
\)

Paso 3:Resolvemos para \(y\):
\(
2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2
\)

Paso 4:Sustituimos \(y = 2\) en una de las ecuaciones originales:
\(
x = 2 + 2 = 4
\)

Solución:\(x = 4\), \(y = 2\).

Método de Igualación. Ejercicio intermedio

\(
\begin{aligned}
2x + 3y &= 7 \\
x - y &= 1
\end{aligned}
\)

Despejamos \(x\) en la segunda ecuación:
\(x = y + 1\)

Sustituimos en la primera ecuación:
\(
2(y + 1) + 3y = 7
\)

Resolvemos para \(y\):
\(
2y + 2 + 3y = 7 \\
5y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\)

Sustituimos \(y = 1\) en la ecuación despejada:
\(
x = 1 + 1 = 2
\)

Solución:\(x = 2\), \(y = 1\).

Método de Igualación. Ejercicio difícil
\(
\begin{aligned}
3x + 5y &= 11 \\
4x - y &= 7
\end{aligned}
\)

Despejamos \(x\) en ambas ecuaciones:
\(
x = \frac{11 - 5y}{3} \\
x = \frac{7 + y}{4}
\)

Igualamos ambas expresiones:
\(
\frac{11 - 5y}{3} = \frac{7 + y}{4}
\)

Multiplicamos en cruz:
\(
4(11 - 5y) = 3(7 + y) \\
44 - 20y = 21 + 3y
\)

Resolvemos para \(y\):
\(
44 - 21 = 20y + 3y \\
23y = 23 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\)

Sustituimos \(y = 1\) en la ecuación despejada:
\(
x = \frac{7 + 1}{4} = 2
\)

Solución:\(x = 2\), \(y = 1\).

Método de Reducción. Ejercicio fácil

Si lo practicas mucho, es el método más rápido y eficaz de resolver sistemas de ecuaciones.

\(
\begin{aligned}
2x + y &= 8 \\
3x - y &= 7
\end{aligned}
\)

Paso 1:Sumamos ambas ecuaciones para eliminar \(y\):
\(
(2x + y) + (3x - y) = 8 + 7 \\
5x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\)

Paso 2:Sustituimos \(x = 3\) en una de las ecuaciones originales:
\(
2(3) + y = 8 \quad \Rightarrow \quad 6 + y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2
\)

Solución:\(x = 3\), \(y = 2\).

Método de Reducción. Ejercicio intermedio

\[
\begin{aligned}
3x + 2y &= 12 \\
4x - 3y &= -2
\end{aligned}
\]

Paso 1: Igualar los coeficientes de una incógnita
Vamos a intentar eliminar una de las incógnitas. Para esto, multiplicaremos las dos ecuaciones de manera que los coeficientes de \(y\) queden iguales.

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, para que ambos términos en \(y\) tengan coeficientes iguales pero con signos opuestos:

\[
\begin{aligned}
3(3x + 2y) &= 3(12) \\
2(4x - 3y) &= 2(-2)
\end{aligned}
\]

Esto da:

\[
\begin{aligned}
9x + 6y &= 36 \\
8x - 6y &= -4
\end{aligned}
\]

Paso 2: Sumar las ecuaciones
Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la variable \(y\):

\[
(9x + 6y) + (8x - 6y) = 36 + (-4)
\]

Lo que resulta en:

\[
9x + 8x = 36 - 4 \\
17x = 32
\]

Paso 3: Resolver para \(x\)

Dividimos ambos lados entre 17:

\[
x = \frac{32}{17}
\]

Paso 4: Sustituir \(x\) en una de las ecuaciones originales

Sustituimos \(x = \frac{32}{17}\) en una de las ecuaciones originales. Vamos a utilizar la primera ecuación:

\[
3x + 2y = 12
\]

Sustituimos \(x = \frac{32}{17}\):

\[
3\left(\frac{32}{17}\right) + 2y = 12
\]

Multiplicamos:

\[
\frac{96}{17} + 2y = 12
\]

Restamos \(\frac{96}{17}\) de ambos lados:

\[
2y = 12 - \frac{96}{17}
\]

Hacemos la resta, convirtiendo el 12 a fracción con denominador 17:

\[
2y = \frac{204}{17} - \frac{96}{17} = \frac{108}{17}
\]

Paso 5: Resolver para \(y\)

Dividimos entre 2:

\[
y = \frac{108}{17 \cdot 2} = \frac{108}{34} = \frac{54}{17}
\]

La solución del sistema es:

\[
x = \frac{32}{17}, \quad y = \frac{54}{17}
\]

Método de Reducción. Ejercicio difícil

\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}x + 3y &= 4 \\
7x - \frac{3}{2}y &= 1
\end{aligned}
\]

Paso 1: Eliminar fracciones
Para simplificar el proceso, multiplicamos ambas ecuaciones por un valor que elimine las fracciones.

Multiplicamos la primera ecuación por 2 para eliminar el denominador \(\frac{1}{2}\):

\[
2\left(\frac{1}{2}x + 3y = 4\right) \quad \Rightarrow \quad x + 6y = 8
\]

La primera ecuación queda:

\[
x + 6y = 8
\]

Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar el denominador \(\frac{3}{2}\):

\[
2\left(7x - \frac{3}{2}y = 1\right) \quad \Rightarrow \quad 14x - 3y = 2
\]

La segunda ecuación queda:

\[
14x - 3y = 2
\]

Paso 2: Método de sustitución o reducción

Vamos a resolver este sistema utilizando el **método de sustitución**. Primero despejamos \(x\) de la primera ecuación:

\[
x = 8 - 6y
\]

Paso 3: Sustituir \(x\) en la segunda ecuación

Sustituimos \(x = 8 - 6y\) en la segunda ecuación:

\[
14(8 - 6y) - 3y = 2
\]

Multiplicamos:

\[
112 - 84y - 3y = 2
\]

Simplificamos:

\[
112 - 87y = 2
\]

Paso 4: Resolver para \(y\)

Restamos 112 de ambos lados:

\[
-87y = 2 - 112 \quad \Rightarrow \quad -87y = -110
\]

Dividimos entre -87:

\[
y = \frac{-110}{-87} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{110}{87}
\]

Simplificamos la fracción:

\[
y = \frac{10}{7}
\]

Paso 5: Sustituir \(y\) en la ecuación despejada para \(x\)

Sustituimos \(y = \frac{10}{7}\) en la ecuación despejada \(x = 8 - 6y\):

\[
x = 8 - 6\left(\frac{10}{7}\right)
\]

Multiplicamos:

\[
x = 8 - \frac{60}{7}
\]

Convertimos 8 a fracción con denominador 7:

\[
x = \frac{56}{7} - \frac{60}{7} = \frac{-4}{7}
\]

La solución del sistema es:

\[
x = \frac{-4}{7}, \quad y = \frac{10}{7}
\]

Calculadora de sistemas de ecuaciones

Ejercicios de sistemas de ecuaciones en PDF

Has podido comprobar que resolver sistemas de ecuaciones involucra encontrar valores que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas simultáneamente. Sólo tienes que entender bien los conceptos y practicar mucho. Ánimo.

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