ejercicios de funciones

Ejercicios de funciones resueltos paso a paso 📈

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 1 día · Actualizado hace 1 día

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es una función? 🤔
  2. Cómo saber si es una función 📜
  3. Tipos de funciones más frecuentes 🎯
  4. Método para resolver ejercicios de funciones 🪜
  5. Ejercicios de funciones resueltos 💪
  6. Tabla resumen 📋

Ejercicios de funciones: dominio, evaluación, gráficas y más

Desde evaluar f(a) hasta saber si una gráfica es realmente una función: aquí tienes la teoría justa y necesaria, y un montón de ejercicios resueltos paso a paso para entenderlo bien. 🚀

x = a
➜f(x)
f(a)

⚡ Respuesta rápida

Los ejercicios de funciones suelen pedir alguna de estas cuatro cosas: evaluar la función en un punto, hallar su dominio, comprobar si una relación es realmente una función, o representarla gráficamente. La notación clave es:

\[ y = f(x) \]

Donde \(x\) es el valor de entrada (independiente) e \(y=f(x)\) es el valor de salida (dependiente) que produce la función para esa \(x\).

¿Qué es una función? 🤔

Una función es una relación entre dos magnitudes, \(x\) e \(y\), en la que a cada valor de \(x\) le corresponde un único valor de \(y\). Se escribe \(y=f(x)\), y se lee "\(f\) de \(x\)": \(f\) es el nombre de la función, y \(f(x)\) es el valor que produce al aplicarla sobre \(x\).

Evaluar una función en un punto \(a\) significa sustituir la \(x\) por ese valor concreto y calcular el resultado, \(f(a)\). Es, con diferencia, la operación que más se repite en los ejercicios de funciones, así que conviene dominarla desde el principio.

Gráfica de una función con el punto (a, f(a)) marcado: se sube desde a en el eje x hasta la curva y se mira la altura f(a) en el eje y
💡 Piensa en la función como una máquina

Metes un número \(x\) por un lado, la función lo procesa según su fórmula, y sale un único número \(f(x)\) por el otro lado. Si por la misma entrada pudieran salir dos resultados distintos, ya no sería una función.

Cómo saber si es una función 📜

✔️A cada \(x\) le corresponde un único \(y\): nunca puede haber dos resultados distintos para la misma entrada.
✔️Criterio de la recta vertical: si dibujas la gráfica, cualquier recta vertical la corta como mucho en un punto.
✔️Dominio: el conjunto de valores de \(x\) para los que la función está definida.
✔️Recorrido (o imagen): el conjunto de valores de \(y\) que realmente toma la función.
✔️Puede venir dada por una fórmula, una tabla de valores, una gráfica o un enunciado.
Comparación del criterio de la recta vertical: una parábola donde la recta vertical la corta una sola vez (sí es función) frente a una circunferencia donde la corta dos veces (no es función)

Tipos de funciones más frecuentes 🎯

Cinco tipos de función representados gráficamente: lineal, cuadrática, racional, raíz cuadrada y exponencial, cada una con su fórmula general
TipoForma generalGráfica típica
Lineal / afín\(f(x)=mx+n\)una recta
Cuadrática\(f(x)=ax^2+bx+c\)una parábola
Racional\(f(x)=k/x\)una hipérbola
Raíz cuadrada\(f(x)=\sqrt{x}\)media parábola horizontal
Exponencial\(f(x)=a^x\)curva creciente o decreciente
A trozosdistinta fórmula según el intervalovarios tramos combinados
Ejercicios de funciones
⚠️ El dominio cambia según el tipo

Las funciones racionales excluyen del dominio los valores que anulan el denominador, y las funciones con raíz cuadrada exigen que el radicando no sea negativo. No todas las funciones tienen dominio \(\mathbb{R}\).

Método para resolver ejercicios de funciones 🪜

1

Identifica qué te piden: evaluar, hallar el dominio, comprobar si es función, o representarla.
2

Si es evaluar \(f(a)\): sustituye la \(x\) por \(a\) en la fórmula y opera con cuidado con los signos.
3

Si es hallar el dominio: busca los valores de \(x\) que causan problemas (dividir entre 0, raíz de un número negativo…) y exclúyelos.
4

Si es representar: calcula varios puntos con una tabla de valores y únelos según el tipo de función.
5

Comprueba el resultado sustituyendo de nuevo o verificando que tiene sentido dentro del contexto.
💡 Truco para no perderte con los signos

Al evaluar \(f(a)\) con \(a\) negativo, escribe siempre el valor entre paréntesis antes de sustituir: \(f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 1\). Así evitas el error clásico de olvidar un signo menos al operar.

Ejercicios de funciones resueltos 💪

Practica los cuatro tipos de tarea que más aparecen: evaluar, hallar el dominio, hallar la preimagen, y trabajar con funciones a trozos y compuestas.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Dada \(f(x) = 3x - 5\), halla \(f(4)\).

\[ f(x) = 3x - 5 \]
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Paso 1: Sustituimos \(x\) por 4 en la fórmula: \( f(4) = 3(4) - 5 \).
Paso 2: Operamos: \( f(4) = 12 - 5 = 7 \).
✅ Resultado: \( f(4) = 7 \)
🟢 Básico

Ejercicio 2. Dada \(g(x) = x^2 - 2x + 1\), halla \(g(-2)\).

\[ g(x) = x^2 - 2x + 1 \]
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Paso 1: Sustituimos \(x\) por \(-2\), con cuidado de escribirlo entre paréntesis: \( g(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 1 \).
Paso 2: Operamos cada término: \( (-2)^2=4 \), \( -2 \cdot (-2) = 4 \). Entonces \( g(-2) = 4 + 4 + 1 \).
Paso 3: Sumamos: \( g(-2) = 9 \).
✅ Resultado: \( g(-2) = 9 \)
🟡 Medio

Ejercicio 3. Halla el dominio de \( f(x) = \dfrac{1}{x-3} \).

\[ f(x) = \dfrac{1}{x-3} \]
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Paso 1: Como es una función racional, el denominador no puede valer 0.
Paso 2: Buscamos el valor prohibido: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
Paso 3: Excluimos ese único valor del dominio.
✅ Resultado: \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{3\} \)
🟡 Medio

Ejercicio 4. Halla el dominio de \( f(x) = \sqrt{x-2} \).

\[ f(x) = \sqrt{x-2} \]
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Paso 1: Como es una raíz cuadrada, el radicando no puede ser negativo.
Paso 2: Planteamos la condición: \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).
✅ Resultado: \( \text{Dom}(f) = [2, +\infty) \)
🟡 Medio

Ejercicio 5. Dada \(f(x) = 2x + 1\), ¿para qué valor de \(x\) se cumple \(f(x)=9\)?

\[ 2x + 1 = 9 \]
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Paso 1: Esto es hallar la preimagen de 9: buscamos qué \(x\) produce ese resultado.
Paso 2: Planteamos la ecuación: \( 2x + 1 = 9 \).
Paso 3: Despejamos: \( 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \).
✅ Resultado: \( x = 4 \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Dada la función a trozos \( f(x) = x+1 \) si \(x \lt 0\), y \( f(x) = x^2 \) si \(x \geq 0\), halla \(f(-3)\), \(f(0)\) y \(f(2)\).

f(x) =

\( x+1 \)  si \( x \lt 0 \)
\( x^2 \)  si \( x \geq 0 \)
Gráfica de una función a trozos: una recta x+1 para valores negativos de x, con un punto hueco en (0,1), y una parábola x al cuadrado para x mayor o igual que 0, con un punto relleno en (0,0)
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Paso 1: Para \(f(-3)\): como \(-3 \lt 0\), usamos el primer tramo: \( f(-3) = -3+1 = -2 \).
Paso 2: Para \(f(0)\): como \(0 \geq 0\), usamos el segundo tramo: \( f(0) = 0^2 = 0 \).
Paso 3: Para \(f(2)\): como \(2 \geq 0\), usamos el segundo tramo: \( f(2) = 2^2 = 4 \).
✅ Resultado: \( f(-3)=-2 \), \( f(0)=0 \), \( f(2)=4 \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 7. Dadas \(f(x) = x+2\) y \(g(x) = x^2\), halla \((g \circ f)(3)\) y \((f \circ g)(3)\).

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
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Paso 1: Para \((g \circ f)(3)\), primero calculamos \(f(3) = 3+2 = 5\), y después aplicamos \(g\): \( g(5) = 5^2 = 25 \).
Paso 2: Para \((f \circ g)(3)\), primero calculamos \(g(3) = 3^2 = 9\), y después aplicamos \(f\): \( f(9) = 9+2 = 11 \).
Paso 3: Fíjate en que los resultados son distintos: el orden de la composición importa.
✅ Resultado: \( (g \circ f)(3) = 25 \), \( (f \circ g)(3) = 11 \)

Errores más comunes ⚠️

❌ Confundir \(f(a)\) con \(a \cdot f(x)\)
Evaluar una función significa sustituir la \(x\) por el valor, no multiplicar la función por ese número.
❌ Olvidar excluir del dominio los valores que anulan un denominador
En una función racional, todo valor de \(x\) que haga el denominador igual a 0 queda fuera del dominio.
❌ Olvidar que el radicando de una raíz cuadrada no puede ser negativo
El dominio de una función con raíz cuadrada exige que la expresión de dentro sea mayor o igual que 0.
❌ Usar la fórmula equivocada en una función a trozos
Antes de sustituir, comprueba en qué tramo cae el valor de \(x\) que te piden: usar el trozo incorrecto es el fallo más frecuente.
❌ Invertir el orden en una composición de funciones
\((f \circ g)(x)\) es \(f(g(x))\), no \(g(f(x))\): se aplica primero la función de la derecha.

Comprobación numérica 🧮

Antes de dar por buena una solución, prueba valores cercanos y comprueba que el resultado coincide.

Verificación del Ejercicio 1 (\(f(x)=3x-5\))
x3x − 5
34
3,55,5
47 ✅
4,58,5
510

✅ El resultado buscado era 7, y se alcanza exactamente en \(x=4\).

Verificación del Ejercicio 3 (dominio de \(1/(x-3)\))
x1/(x−3)
2,5−2
2,9−10
2,99−100
3no existe ⚠️
3,01100
3,110

✅ Cuanto más se acerca x a 3, más crece el resultado en valor absoluto: en x=3 la función no está definida.

Verificación del Ejercicio 7 (\((g \circ f)(x) = (x+2)^2\))
x(x+2)²
19
216
325 ✅
436
549

✅ En x=3 se obtiene 25, confirmando el resultado de \((g \circ f)(3)\) del Ejercicio 7.

Tabla resumen 📋

ConceptoCómo se calcula
Evaluar en un puntosustituir \(x=a\) en la fórmula para obtener \(f(a)\)
Dominio de una función racionalexcluir los valores que anulan el denominador
Dominio de una raíz cuadradaexigir que el radicando sea \(\geq 0\)
Hallar la preimagen de un valorplantear \(f(x) = \text{valor}\) y despejar \(x\)
Composición de funciones\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Criterio de la recta verticaluna recta vertical corta la gráfica como mucho en un punto

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué significa evaluar una función en un punto?

Significa sustituir la variable \(x\) por ese valor concreto en la fórmula de la función y calcular el resultado. Por ejemplo, evaluar \(f(x)=2x\) en \(x=3\) da \(f(3)=6\).

¿Cómo se calcula el dominio de una función?

Depende del tipo de función: en las racionales se excluyen los valores que anulan el denominador, y en las que tienen raíz cuadrada se exige que el radicando no sea negativo. Si no hay restricciones, el dominio es todo \(\mathbb{R}\).

¿Qué diferencia hay entre dominio y recorrido?

El dominio son los valores de \(x\) para los que la función existe; el recorrido (o imagen) son los valores de \(y\) que la función realmente produce.

¿Cómo sé si una gráfica representa una función?

Aplicando el criterio de la recta vertical: si cualquier recta vertical corta la gráfica como mucho en un punto, es una función; si la corta en más de un punto en algún lugar, no lo es.

¿En qué orden se resuelve una composición de funciones?

En \((f \circ g)(x)\) se aplica primero \(g\) y después \(f\) sobre el resultado: es decir, \((f \circ g)(x) = f(g(x))\).

¿Por qué una función a trozos puede tener distinto dominio en cada tramo?

Porque cada tramo de la función solo está definido para los valores de \(x\) que indica su condición; fuera de esos rangos, ese trozo en concreto no se aplica.

🚀 ¿Quieres seguir con el estudio de funciones?

Consulta también:
Dominio de una función,
Funciones definidas a trozos
y
Funciones racionales.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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