Cómo simplificar fracciones algebraicas y operarlas

Recuerda que antes de operar conviene simplificar:

• Factoriza numerador y denominador: por ejemplo \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
• Elimina factores comunes iguales en numerador y denominador.
• Comprueba que no queden más factores comunes para asegurar que está simplificada.

Encontrar un factor común
El primer paso en la simplificación de fracciones algebraicas es buscar un factor común en el numerador y el denominador. Esta técnica te permitirá reducir el tamaño de la fracción.
Factorizar numerador y denominador
Una vez se ha encontrado el factor común, el siguiente paso es factorizar el numerador y el denominador lo máximo posible. Debes tener en cuenta que el objetivo es obtener factores irreducibles y poner la fracción en su forma más simple posible.
Revisar la simplificación obtenida
Para asegurarte que no has cometido errores en el proceso. Una forma es multiplicar el numerador y el denominador de la fracción simplificada para comprobar si se obtiene la fracción original.

Ejemplo 1: Simplificar \(\frac{2x}{4x^2}\)

Ejemplo 2: Simplificar \(\frac{x^2-1}{x-1}\)

Ejemplo 1️⃣ Simplificar \(\frac{3x^2+6x}{x^2+5x+6}\)

Ejemplo 2️⃣ \(\frac{x^2-9}{x^2-3x}\)

Ejemplo 3️⃣ Suma \(\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}\)

Regla general

• • Si los denominadores son iguales, se suman los numeradores y se mantiene el denominador.

• • Si son distintos, se busca un denominador común (MCM de los polinomios) y se transforman las fracciones.

Ejemplo 1: denominador igual

\( \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{2+3}{x} = \dfrac{5}{x} \).

Ejemplo 2: denominador distinto

\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1} \).

MCM: \(x(x+1)\). Se obtiene \( \dfrac{x+1}{x(x+1)} + \dfrac{2x}{x(x+1)} = \dfrac{3x+1}{x(x+1)} \).

Regla general

• • Si los denominadores coinciden, se restan los numeradores.

• • Si no coinciden, se halla el denominador común igual que en la suma y luego se resta.

Ejemplo 3: mismo denominador

\( \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x-1}{x+1} \).

Regla general

• • Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.

• • Después se simplifica mediante factorización y eliminación de factores comunes.

Ejemplo 4: producto sencillo

\( \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x^2} \).

Ejemplo 5: simplificando factores

\( \dfrac{x}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{x}{2} \).

Regla general

• • Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa: \( \dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} \).

• • Luego se simplifica cancelando factores comunes.

Ejemplo 6: división

\( \dfrac{2}{x} : \dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} \).

Ejemplo 7: con variables

\( \dfrac{x+2}{x} : \dfrac{3}{x} = \dfrac{x+2}{x} \cdot \dfrac{x}{3} = \dfrac{x+2}{3} \).