PROBLEMAS de SISTEMAS de ECUACIONES RESUELTOS

Justo Fernández

hace 2 años · Actualizado hace 2 meses

🔎 Índice de contenidos

📖 ¿Qué son los Problemas de Sistemas de Ecuaciones?
🎯 Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones
⚙ Métodos de Resolución: Repaso Rápido
🔢 Problemas de Números
👪 Problemas de Edades
💰 Problemas de Dinero y Precios
🧪 Problemas de Mezclas
🚗 Problemas de Movimiento
📈 Problemas de Geometría
🎯 Ejercicios Interactivos con Solución

🔢 Problemas de Sistemas de Ecuaciones

Aprende a plantear y resolver los 6 tipos de problemas con sistemas de ecuaciones. Ejemplos y 12 fichas interactivas

📚 3.º y 4.º ESO · 1.º Bachillerato
🅾 Álgebra

📖 ¿Qué son los Problemas de Sistemas de Ecuaciones?

Los problemas de sistemas de ecuaciones son más sencillos de lo que parecen. ¡Hay otros problemas más complejos en esta vida! En esta entrada tienes muchos desafíos para mejorar tu comprensión lectora y tus habilidades matemáticas. Para resolverlos necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas. 🌟

📖 Definición

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas incógnitas. La solución del sistema son los valores de esas incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

💡

¿Cuándo uso un sistema? Cuando el problema tiene dos datos desconocidos y puedes encontrar dos relaciones entre ellos. Por ejemplo: "la suma de dos números es 80 y su diferencia es 20" → dos incógnitas, dos relaciones → sistema 2×2.

🔢

Números

Dos números con suma, diferencia, producto...

👪

Edades

Relaciones entre edades actuales y pasadas/futuras

💰

Dinero y precios

Costes, ventas, monedas, billetes

🧪

Mezclas

Mezclas de líquidos, aleaciones, precios medios

🚗

Movimiento

Velocidad, tiempo y distancia; corrientes

📈

Geometría

Perímetros, áreas, ángulos de figuras

🎯 Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones

📌 Método universal en 5 pasos

En matemáticas, además de la creatividad, siempre es bueno seguir un plan para resolver problemas. Te recomiendo que sigas estos pasos:

Lee el problema con atención. Identifica qué datos tienes y qué te piden.
Define las incógnitas. Asigna una letra a cada cantidad desconocida: \(x\) e \(y\) (o las que necesites). Escribe qué representa cada una.
Plantea las ecuaciones. Traduce cada relación del enunciado a una ecuación matemática. Deben salirte tantas ecuaciones como incógnitas.
Resuelve el sistema. Usa el método que prefieras: sustitución, reducción o igualación.
Interpreta y verifica. Comprueba que la solución tiene sentido en el contexto del problema y que satisface todas las ecuaciones.

⚠ Los errores más frecuentes

No definir claramente las incógnitas antes de plantear las ecuaciones.
Olvidar responder a lo que pide el enunciado (puede pedir la suma, no cada número por separado).
No verificar que la solución cumple todas las condiciones del problema.
Dar respuestas sin sentido (edades negativas, longitudes negativas, etc.).

⚙ Métodos de Resolución: Repaso Rápido

🔵 Método de Sustitución

Despeja una incógnita en una ecuación y sustitúyela en la otra.

\( 2x + y = 7 \)
\( x + 3y = 8 \)

De la 1.ª: \(y=7-2x\). Sustitúye en la 2.ª: \(x+3(7-2x)=8\).

🟢 Método de Reducción

Multiplica las ecuaciones para que un coeficiente se cancele al sumar o restar.

\( 2x + y = 7 \)
\( x + 3y = 8 \)

Multiplica la 2.ª por 2: \(2x+6y=16\). Resta a la 1.ª para eliminar \(x\).

🟠 Método de Igualación

Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones e iguala las expresiones.

\( 2x + y = 7 \)
\( x + 3y = 8 \)

De ambas: \(y=7-2x\) y \(y=\frac{8-x}{3}\). Iguala: \(7-2x=\frac{8-x}{3}\).

💡 ¿Qué método usar?

Los tres métodos dan el mismo resultado. Elige el que te sea más cómodo según el sistema. En general: sustitución va bien cuando una ecuación ya tiene una incógnita despejada; reducción es muy rápida cuando los coeficientes son múltiplos entre sí.

🔢 Problemas de Números

Los problemas de números son los más directos. Buscan dos (o más) números que cumplen una o varias condiciones: suma, diferencia, producto, cociente o una combinación de ellas.

✏ Ejemplo: La suma y la diferencia

"La suma de dos números es 80 y su diferencia es 20. Encuentra los dos números."

Incógnitas: \(x\) = número mayor, \(y\) = número menor.
Sistema:
\( x + y = 80 \)
\( x - y = 20 \)
Resolvemos por reducción: sumamos las dos ecuaciones:
\(2x = 100 \Rightarrow x = 50\). Sustituimos: \(50 + y = 80 \Rightarrow y = 30\).
Verificación: \(50+30=80\) ✔ \(50-30=20\) ✔

✅ Los dos números son 50 y 30.

✏ Ejemplo: Número de dos cifras

"La suma de las cifras de un número de dos cifras es 7. Si se invierten las cifras, el nuevo número es 27 más que el original. ¿Cuál es el número?"

Incógnitas: \(x\) = cifra de las decenas, \(y\) = cifra de las unidades.
Número original = \(10x + y\), número invertido = \(10y + x\).
Sistema:
\( x + y = 7 \)
\( (10y+x) - (10x+y) = 27 \)
Simplificando la 2.ª: \(9y - 9x = 27 \Rightarrow y - x = 3\)
Sumamos: \((x+y)+(y-x)=7+3 \Rightarrow 2y=10 \Rightarrow y=5,\; x=2\).
Verificación: Número = 25. Invertido = 52. \(52-25=27\) ✔

✅ El número es 25.

👪 Problemas de Edades

En los problemas de edades, la clave es representar bien las edades en el momento actual, en el pasado o en el futuro. Si ahora alguien tiene \(x\) años, hace 5 años tenía \(x-5\) y en 10 años tendrá \(x+10\).

📌 Regla fundamental

Si alguien tiene \(x\) años ahora:

→ Hace \(n\) años tenía \(x - n\) años
→ Dentro de \(n\) años tendrá \(x + n\) años

✏ Ejemplo: Padre e hijo

"Un padre tiene 4 veces la edad de su hijo. Dentro de 6 años, tendrá el doble. ¿Qué edades tienen ahora?"

Incógnitas: \(p\) = edad actual del padre, \(h\) = edad actual del hijo.
Sistema:
\( p = 4h \)
\( p + 6 = 2(h + 6) \)
Resolvemos por sustitución:
Sustituimos \(p=4h\) en la 2.ª: \(4h+6=2h+12 \Rightarrow 2h=6 \Rightarrow h=3\)
Por tanto: \(p = 4\times3 = 12\)
Verificación: \(12=4\times3\) ✔ Dentro de 6 años: padre = 18, hijo = 9. ¿18=2×9? ✔

✅ El hijo tiene 3 años y el padre 12 años.

💰 Problemas de Dinero y Precios

Estos problemas implican artículos con precios distintos, monedas de diferentes valores o cuentas bancarias con distintos tipos de interés.

✏ Ejemplo: Precio de artículos

"3 lápices y 2 gomas cuestan 3,60 €. 1 lápiz y 4 gomas cuestan 3,20 €. ¿Cuánto cuesta cada artículo?"

Incógnitas: \(x\) = precio del lápiz (€), \(y\) = precio de la goma (€).
Sistema:
\( 3x + 2y = 3{,}60 \)
\( x + 4y = 3{,}20 \)
Por sustitución: De la 2.ª: \(x = 3{,}20 - 4y\).
Sustituimos: \(3(3{,}20-4y)+2y=3{,}60 \Rightarrow 9{,}60-12y+2y=3{,}60\)
\(-10y = -6 \Rightarrow y = 0{,}60\text{ €}\)
\(x = 3{,}20 - 4(0{,}60) = 3{,}20 - 2{,}40 = 0{,}80\text{ €}\)
Verificación: \(3(0{,}80)+2(0{,}60)=2{,}40+1{,}20=3{,}60\) ✔ \(0{,}80+4(0{,}60)=3{,}20\) ✔

✅ El lápiz cuesta 0,80 € y la goma 0,60 €.

✏ Ejemplo: Monedas

"Juan tiene 17 monedas de 1€ y de 2€. En total tiene 24€. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo?"

Incógnitas: \(x\) = monedas de 1€, \(y\) = monedas de 2€.
Sistema:
\( x + y = 17 \)
\( x + 2y = 24 \)
Por reducción: Restamos la 1.ª a la 2.ª: \(y = 7\). Sustituimos: \(x = 10\).
Verificación: \(10+7=17\) ✔ \(10+14=24\) ✔

✅ 10 monedas de 1 € y 7 monedas de 2 €.

🧪 Problemas de Mezclas

En los problemas de mezclas se combinan dos sustancias (líquidos, sólidos, productos a diferentes precios) para obtener una mezcla con características intermedias.

📌 Esquema de las mezclas

Si mezclamos \(x\) kg de A (precio/concentración \(c_1\)) con \(y\) kg de B (precio/concentración \(c_2\)) y obtenemos \(x+y\) kg de mezcla a \(c_m\):

\(c_1 \cdot x + c_2 \cdot y = c_m \cdot (x+y)\)

✏ Ejemplo: Mezcla de cafés

"Se mezclan dos tipos de café: uno a 8 €/kg y otro a 12 €/kg. Se obtienen 50 kg de mezcla al precio de 9,60 €/kg. ¿Cuántos kg se usan de cada tipo?"

Incógnitas: \(x\) = kg de café a 8€, \(y\) = kg de café a 12€.
Sistema:
\( x + y = 50 \)
\( 8x + 12y = 9{,}60 \times 50 = 480 \)
Por sustitución: \(x = 50-y\) → \(8(50-y)+12y=480\)
\(400-8y+12y=480 \Rightarrow 4y=80 \Rightarrow y=20\), \(x=30\)
Verificación: \(30+20=50\) ✔ \(8(30)+12(20)=240+240=480\) ✔

✅ Se usan 30 kg del café a 8€ y 20 kg del café a 12€.

🚗 Problemas de Movimiento

Estos problemas usan la relación fundamental: \(\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}\). Los más comunes son los de corrientes de agua o viento y los de encuentro o alcance.

📌 Fórmula clave y relaciones frecuentes

\(d = v \cdot t\) → \(v = \dfrac{d}{t}\) → \(t = \dfrac{d}{v}\)

Con corriente: \(v_{\text{favor}} = v_{\text{propio}} + v_{\text{corriente}}\)
Contra corriente: \(v_{\text{contra}} = v_{\text{propio}} - v_{\text{corriente}}\)

✏ Ejemplo: Piragüista con corriente

"Un piragüista tarda 2 horas en recorrer 16 km a favor de la corriente y 4 horas en recorrer los mismos 16 km en contra. ¿Cuál es su velocidad en aguas tranquilas y cuál es la velocidad de la corriente?"

Incógnitas: \(v\) = velocidad en aguas tranquilas, \(c\) = velocidad de la corriente.
Sistema: (usando \(v = d/t\))
\( v + c = 16 \div 2 = 8 \text{ km/h} \)
\( v - c = 16 \div 4 = 4 \text{ km/h} \)
Por reducción (sumamos): \(2v = 12 \Rightarrow v = 6\text{ km/h}\), \(c = 2\text{ km/h}\)
Verificación: \((6+2)\times2=16\) ✔ \((6-2)\times4=16\) ✔

✅ Velocidad propia: 6 km/h. Velocidad de la corriente: 2 km/h.

📈 Problemas de Geometría

Los problemas de geometría con sistemas suelen involucrar figuras con condiciones sobre sus lados, perímetros, áreas o ángulos.

✏ Ejemplo: Rectángulo

"El perímetro de un rectángulo es 34 cm. El largo es 5 cm más que el ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?"

Incógnitas: \(l\) = largo, \(a\) = ancho.
Sistema:
\( 2l + 2a = 34 \) → \( l + a = 17 \)
\( l = a + 5 \)
Por sustitución: \((a+5)+a=17 \Rightarrow 2a=12 \Rightarrow a=6\text{ cm}\), \(l=11\text{ cm}\)
Verificación: \(2(11)+2(6)=22+12=34\) ✔ \(11-6=5\) ✔

✅ Dimensiones: 11 cm × 6 cm.

✏ Ejemplo: Ángulos de un triángulo

"En un triángulo, el ángulo mayor es el doble del menor. El tercero es 30° más que el menor. Halla los tres ángulos."

Incógnitas: \(a\) = mayor, \(b\) = tercero, \(c\) = menor.
Ecuaciones: \(a+b+c=180°\), \(a=2c\), \(b=c+30°\).
Sustituimos: \(2c+(c+30)+c=180 \Rightarrow 4c+30=180 \Rightarrow 4c=150 \Rightarrow c=37{,}5°\)
\(a=75°\), \(b=67{,}5°\)
Verificación: \(75+67{,}5+37{,}5=180°\) ✔

✅ Ángulos: 75°, 67,5° y 37,5°.

🎯 Ejercicios Interactivos con Solución

Intenta resolver cada problema antes de pulsar Ver solución. 💪

🔵 Fichas Básicas

Dificultad:

Básica

🔢 La suma de dos números es 56 y uno de ellos es el doble del otro. Encuéntralos.

Dificultad:

Básica

👪 La edad de Ana es el triple de la de su hermano Luis. Dentro de 8 años, Ana tendrá el doble que Luis. ¿Qué edades tienen ahora?

Dificultad:

Básica

🏈 Un equipo de baloncesto marcó 75 puntos entre triples (3 pts) y dobles (2 pts). Si encestó 32 canastas en total, ¿cuántos triples y cuántos dobles anotó?

🟠 Fichas Medias

Dificultad:

Media

🔢 La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Al invertir los dígitos, el nuevo número es 9 mayor que el original. Halla el número.

Dificultad:

Media

📈 El perímetro de un triángulo isósceles es 44 cm. Cada uno de los lados iguales mide 4 cm más que la base. Halla las longitudes de sus lados.

Dificultad:

Media

🧪 Un frutero mezcla manzanas a 1,20 €/kg con peras a 1,80 €/kg para obtener 30 kg de mezcla a 1,50 €/kg. ¿Cuántos kg de cada fruta usa?

Dificultad:

Media

👪 María tiene ahora el triple de años que su sobrino. Hace 4 años, tenía 5 veces más. ¿Qué edades tienen ahora?

🔴 Fichas Avanzadas

Dificultad:

Alta

🚗 Un barco tarda 3 horas en recorrer 90 km a favor de la corriente y 5 horas en recorrer los mismos 90 km en contra. Halla la velocidad del barco y la de la corriente.

Dificultad:

Alta

💰 Un comerciante compra 80 artículos entre dos tipos. Los del Tipo A cuestan 15 € cada uno y los del Tipo B, 25 €. En total pagó 1.400 €. ¿Cuántos compró de cada tipo?

Dificultad:

Alta

🏫 En un colegio, el número de alumnos de primaria es el doble que el de secundaria. Si 50 alumnos de primaria pasan a secundaria, el número de primaria y el de secundaria quedan igualados. ¿Cuántos alumnos hay en cada etapa?

Dificultad:

Avanzada

💰 Dos amigos tienen dinero. Si Marcos le diera 30 € a Elena, ambos tendrían la misma cantidad. Si Elena le diera 20 € a Marcos, él tendría el doble que ella. ¿Cuánto tiene cada uno?

Dificultad:

Avanzada

📈 Se invierten 10.000 € en dos fondos: uno al 4% anual y otro al 6% anual. Los intereses totales del primer año son 520 €. ¿Cuánto se invirtió en cada fondo?

📊 Resumen: Guía para Plantear Problemas con Sistemas

Tipo	Incógnitas típicas	Ecuaciones frecuentes
🔢 Números	\(x\) e \(y\): los dos números	Suma, diferencia, cociente, producto
👪 Edades	Edades actuales	Relación actual + relación pasada/futura
💰 Precios	Precio de cada artículo	Cantidad × precio = total
🧪 Mezclas	Cantidades de cada componente	Suma de cantidades + suma de valores
🚗 Movimiento	Velocidades o tiempos	\(d = v \cdot t\), favor y contra corriente
📈 Geometría	Longitudes, ángulos	Perímetro, suma de ángulos = 180°

❓ Preguntas Frecuentes

¿Cómo sé cuántas incógnitas necesito definir? ▼

¿Qué hago si la solución sale negativa o con decimales? ▼

¿Cuál es el método más fácil para resolver sistemas en un examen? ▼

¿Siempre tiene solución un sistema de dos ecuaciones? ▼

¿Salen problemas de sistemas de ecuaciones en la EBAU/Selectividad? ▼

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...