División de polinomios. Ejercicios resueltos

¿Para qué me sirve la división de polinomios en la vida cotidiana?

Aunque te parezca mentira, la división de polinomios se utiliza mucho para pronosticar el clima, en geología, astronomía, química, ingeniería, economía, etc.

Debes tener en cuenta que cuando ves el último modelo de teléfono móvil, o una película con grandes animaciones en 3D, para su desarrollo se han utilizado polinomios, y que los ingenieros que las fabrican los utilizan para hacerlas.

Es posible (por no decir seguro) que las divisiones de polinomios no te sean útiles en tu vida diaria, al igual que la suma o la multiplicación, sin embargo su estudio está permitiendo el desarrollo de las matemáticas y por ende, el desarrollo de la tecnología, la industria, y todos los avances tecnológicos que ves a tu alrededor.

En definitiva, el lenguaje algebraico es mucho más importante de lo que parece.

Pero vamos al lío, a repartir monomios …

División de un polinomio por un número

Siempre es mejor empezar por el caso más sencillo. Vamos allá.

Al dividir un polinomio por un número, el resultado será otro polinomio del mismo grado.

Lo único que debes hacer es dividir los coeficientes de cada monomio entre el número que divide al polinomio. Las partes literales se mantienen.

Lo verás mejor con  este ejemplo:

Comprueba que lo has entendido resolviendo estas divisiones. Ehhh,  sin mirar la solución pillín …

Cómo resolver divisiones de polinomios entre monomios

Vamos a complicarlo un poco. En la división de un polinomio por un monomio tienes que dividir cada uno de los términos del polinomio por el monomio (fíjate también en los signos). En otras palabras, debes ir realizando divisiones entre monomios.

No te asustes, sólo tienes que ir poco a poco. En este caso tienes que hacer tres divisiones entre monomios. Lo más práctico es hagas las divisiones siguiendo los siguientes pasos:

1º) Poner el signo        2º) Calcular el coeficiente        3º) Operar la parte literal

Para ello debes tener muy claro las propiedades de las potencias. Recuerda que al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes. Dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el monomio 2xy, resulta que:

Por tanto el resultado será   

Al final del artículo tienes ejercicios de divisiones de polinomios con soluciones. Ya sabes. Lo mejor es practicar.

División de un polinomio por otro polinomio

Ahora  te voy a enseñar cómo dividir un polinomio entre otro polinomio, usando el método general. La división de polinomios suele generar bastantes problemas a los alumnos porque hay que tener muchos conceptos claros y los errores suelen ser habituales. Por eso es importante practicar con ejemplos de divisiones con polinomios.

Pero antes de aprender a dividir polinomios, debes tener claro lo siguiente:

Propiedades de la división de polinomios

Cualquier división está formada por el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. De igual forma, estas partes, pueden ser polinomios, y el proceso de cálculo y las propiedades son semejantes.Al dividir polinomios, siempre se cumplen estas propiedades, que deberás tener en cuenta:

1. El grado del dividendo D(x) es mayor o igual que el grado del divisor d(x): 
2. El grado del resto R(x) es menor que el grado del divisor d(x):
3. El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto:

El último punto es equivalente a la prueba de la división de números, también se cumple aquí, porque los polinomios no dejan de ser números, eso sí, algunos llevan un disfraz (las incógnitas).

Vamos a ver un ejemplo paso a paso, para que lo entiendas.

       Para hacer esta división, primero tienes que «colocarla con la cajita». Fíjate que he dejado un hueco después del término 8×2.El primer paso que debes hacer es dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor . En este caso, el resultado es 4x. Después tienes que multiplicar este cociente (4x) por cada uno de los términos del divisor, y los resultados los debes poner debajo de la línea del dividendo, pero con el signo cambiado

Recuerda que cuando te enseñaron a dividir con números, tambien hacías esta resta, luego ya con el paso del tiempo lo hacías mentalmente.

El siguiente paso es hacer una línea y sumar. Si lo haces bien, se anulará el primer término (a mí me gusta tacharlo).  Después es como si tuvieras otra división de polinomios más sencilla. Y debes repetir el proceso hasta que el grado de dividendo sea más pequeño que el divisor.Una vez ocurre esto, ya no puedo dividir. En este caso, el resto es 6. ¿Puedo comprobar que está bien la división? Sí. Cómo vimos antes, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto:

En este caso puedes comprobar que   

Para que tre quede mucho más claro, aquí tienes otro ejercicio de división de polinomios resuelto:

Espero que hayas aprendido bien la división de polinomios. Creo que lo mejor es practicar, por eso al final te dejo cinco divisiones de polinomios resueltas. Te recomiendo que lo intentes y después compruebes la solución.

Si lo prefieres, puedes ver las explicaciones en este vídeo, que forma parte del curso de secundaria con soporte personalizado.

Ejercicios de división de polinomios 

Lo mejor para comprobar si lo has entendido, es que dediques un tiempo a practicar. Aquí tienes 5 divisiones de polinomios resueltas. Espero que te haya quedado muy claro cómo dividir polinomios. ¿Cuántos serás capaz de acertar? Te leo en los comentarios …

1) \(\mathbf{\frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{x+1}}=\)

2) \(\mathbf{\frac{6x^{4}+5x^{3}+x^{2}-2}{3x+1}}=\)

3) \(\mathbf{\frac{6x^{2}+7x}{3x+2}}=\)

4) \(\mathbf{\frac{4x^{3}+9x^{2}+2x}{4x^{2}+x}}=\)

5) \(\mathbf{\frac{2x^{3}+8x^{2}+12x+5}{2x+4}}=\)

SOLUCIONES

1) \(C={ x }^{ 2 }+x,R=-1\)

2) \(C={ 2x }^{ 3 }+x^{ 3 },R=-2\)

3) \(C=2x+1,R=-2\)

4) \(C=x+2,R=0\)

5) \(C={ x }^{ 2 }+2x+2,R=-3\)

Siempre es bueno acabar con un poco de humor. Cuando me preguntan si me gustan los polinomios, respondo:

— Sólo hasta cierto grado 😉