Ecuaciones logarítmicas: ejercicios interactivos resueltos

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

🔎 Índice de contenidos

¿Qué son las ecuaciones logarítmicas? 🤔
Relación entre logaritmos y potencias 🔁
Cómo resolver ecuaciones logarítmicas paso a paso 🧠
Tipos de ecuaciones logarítmicas más frecuentes 📚
Fichas interactivas de ecuaciones logarítmicas resueltas 🎓
Ejercicios propuestos para practicar por tu cuenta 📝

Ecuaciones logarítmicas: qué son, cómo resolverlas y ejercicios resueltos paso a paso 📘

Las ecuaciones logarítmicas parecen difíciles. Tranquilo, aquí las vas a entender bien. En esta guía aprenderás lo más importante, qué propiedades usar, cómo resolverlas paso a paso y cómo evitar errores.

Encontrarás ejemplos resueltos con todos los pasos, fichas interactivas y una explicación clara y visual ✨

Lo esencial en 30 segundos ⏱️

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo.
Para resolverla, normalmente usamos propiedades de los logaritmos o pasamos a forma exponencial.
Siempre hay que comprobar que los argumentos de los logaritmos sean positivos.
No toda solución algebraica es válida: a veces aparece una solución falsa.

¿Qué son las ecuaciones logarítmicas? 🤔

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece dentro del argumento de uno o varios logaritmos. Por ejemplo:

\[
\log_2(x+3)=4
\]\[
\log(x-1)+\log(x+2)=1
\]

Este tipo de ecuaciones aparecen mucho en álgebra.

🔹 Logaritmos

Hay que dominar sus propiedades y su relación con las potencias.

🔹 Restricciones

El argumento del logaritmo siempre debe ser positivo.

🔹 Comprobación

Después de resolver, hay que verificar si la solución es válida.

Relación entre logaritmos y potencias 🔁

Para resolver ecuaciones logarítmicas necesitas recordar esta equivalencia fundamental:

\[
\log_b(a)=c \Longleftrightarrow b^c=a
\]

Esto significa que si
\[
\log_b(a)=c
\]entonces también se cumple que
\[
a=b^c
\]

Esta idea es la base de muchos ejercicios. Si la entiendes bien, una gran parte del tema se vuelve mucho más sencilla.

Condición indispensable: el argumento debe ser positivo ⚠️

Antes de resolver cualquier ecuación logarítmica, debes recordar una regla de oro:

\[
\text{Si } \log_b(A) \text{ existe, entonces } A>0
\]

Eso significa que:

\(\log(x-2)\) solo existe si \(x-2>0\), es decir, si \(x>2\).
\(\log(3x+1)\) solo existe si \(3x+1>0\).

La mayoría de fallos vienen de ignorar esta condición. Puedes resolver bien la ecuación y, aun así, quedarte con una respuesta incorrecta si no compruebas el dominio.

Propiedades de los logaritmos que más se usan ✅

Estas son las propiedades más útiles para resolver ecuaciones logarítmicas:

Producto

\[
\log_b(M)+\log_b(N)=\log_b(MN)
\]

Cociente

\[
\log_b(M)-\log_b(N)=\log_b\left(\frac{M}{N}\right)
\]

Potencia

\[
k\log_b(M)=\log_b(M^k)
\]

Atención 👀

El logaritmo no se reparte en sumas ni restas de esta forma:

\[
\log(a+b)\neq \log a+\log b
\]

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas paso a paso 🧠

Comprueba las restricciones del dominio: cada argumento debe ser positivo.
Intenta simplificar usando propiedades de los logaritmos.
Si es posible, pasa la expresión a forma exponencial.
Resuelve la ecuación algebraica resultante.
Comprueba si las soluciones hacen positivos todos los argumentos.

Esquema rápido 🚀

Dominio → propiedades → forma exponencial/algebraica → resolver → comprobar

Tipos de ecuaciones logarítmicas más frecuentes 📚

1. Con un solo logaritmo

Ejemplo:
\[
\log_3(x+1)=2
\]

2. Con suma o resta de logaritmos

Ejemplo:
\[
\log(x)+\log(x-9)=1
\]

3. Con logaritmos en ambos miembros

Ejemplo:
\[
\log_2(x+4)=\log_2(10-x)
\]

4. Con cambio de base o reducción

Ejemplo:
\[
\log_4(x)=\frac{1}{2}
\]

Ejemplo resuelto 1: ecuación logarítmica simple ✍️

Resolvamos:

\[
\log_2(x+3)=4
\]

Paso 1. Pasamos a forma exponencial

\[
x+3=2^4
\]

Paso 2. Calculamos la potencia

\[
x+3=16
\]

Paso 3. Despejamos

\[
x=13
\]

Paso 4. Comprobamos el dominio

\[
x+3>0 \Longrightarrow 13+3>0
\]

Solución: \(\boxed{x=13}\) ✅

Ejemplo resuelto 2: suma de logaritmos 📏

Resolvamos:

\[
\log(x)+\log(x-9)=1
\]

Paso 1. Estudiamos el dominio

\[
x>0 \quad \text{y} \quad x-9>0 \Longrightarrow x>9
\]

Paso 2. Aplicamos la propiedad del producto

\[
\log\big(x(x-9)\big)=1
\]

Paso 3. Pasamos a forma exponencial

\[
x(x-9)=10^1
\]\[
x^2-9x=10
\]

Paso 4. Llevamos todo a un lado

\[
x^2-9x-10=0
\]

Paso 5. Resolvemos la cuadrática

\[
(x-10)(x+1)=0
\]\[
x=10 \quad \text{o} \quad x=-1
\]

Paso 6. Comprobamos el dominio

Solo vale \(x=10\), porque \(x>9\).

Solución: \(\boxed{x=10}\) ✅

Ejemplo resuelto 3: resta de logaritmos 🔍

Resolvamos:

\[
\log_5(x+4)-\log_5(x-1)=1
\]

Paso 1. Dominio

\[
x+4>0 \quad \text{y} \quad x-1>0 \Longrightarrow x>1
\]

Paso 2. Aplicamos la propiedad del cociente

\[
\log_5\left(\frac{x+4}{x-1}\right)=1
\]

Paso 3. Pasamos a forma exponencial

\[
\frac{x+4}{x-1}=5
\]

Paso 4. Resolvemos

\[
x+4=5(x-1)
\]\[
x+4=5x-5
\]\[
9=4x
\]\[
x=\frac{9}{4}
\]

Paso 5. Comprobamos el dominio

\[
\frac{9}{4}>1
\]

Solución: \(\boxed{x=\frac{9}{4}}\) ✅

Ejemplo resuelto 4: logaritmos iguales en ambos miembros 🎯

Resolvamos:

\[
\log_3(2x-1)=\log_3(x+5)
\]

Paso 1. Condiciones de existencia

\[
2x-1>0 \Longrightarrow x>\frac{1}{2}
\]\[
x+5>0 \Longrightarrow x>-5
\]

Paso 2. Igualamos los argumentos

Como los logaritmos tienen la misma base y la función logarítmica es inyectiva:

\[
2x-1=x+5
\]

Paso 3. Resolvemos

\[
x=6
\]

Paso 4. Comprobamos el dominio

\(x=6\) cumple todas las condiciones.

Solución: \(\boxed{x=6}\) ✅

Ejemplo resuelto 5: aparece una solución intrusa 🚫

Resolvamos:

\[
\log(x-2)=\log(5-x)
\]

Paso 1. Dominio

\[
x-2>0 \Longrightarrow x>2
\]\[
5-x>0 \Longrightarrow x<5
\]

Paso 2. Igualamos argumentos

\[
x-2=5-x
\]\[
2x=7
\]\[
x=\frac{7}{2}
\]

Paso 3. Comprobamos

\(\frac{7}{2}=3{,}5\), y cumple que \(2<3{,}5<5\).

Solución válida: \(\boxed{x=\frac{7}{2}}\)

Ahora imagina que al resolver una ecuación te sale \(x=1\). Aunque algebraicamente parezca correcto, si hace que algún argumento sea cero o negativo, esa solución no vale.

Fichas interactivas de ecuaciones logarítmicas resueltas 🎓

Haz clic en cada ficha para ver la solución paso a paso. Son ideales para practicar y comprobar si ya dominas el método.

Ficha 1. Resuelve \(\log_4(x-1)=2\)

Paso 1. Pasamos a forma exponencial:

\[
x-1=4^2
\]

Paso 2.

\[
x-1=16
\]

Paso 3.

\[
x=17
\]

Paso 4. Comprobamos el dominio:

\[
x-1>0 \Longrightarrow 17-1>0
\]

Solución: \(\boxed{x=17}\) ✅

Ficha 2. Resuelve \(\log(x)+\log(x-1)=\log 12\)

Paso 1. Dominio

\[
x>0,\quad x-1>0 \Longrightarrow x>1
\]

Paso 2. Propiedad del producto

\[
\log(x(x-1))=\log 12
\]

Paso 3. Igualamos argumentos

\[
x(x-1)=12
\]\[
x^2-x-12=0
\]

Paso 4. Factorizamos

\[
(x-4)(x+3)=0
\]\[
x=4 \quad \text{o} \quad x=-3
\]

Paso 5. Comprobamos el dominio

Solo vale \(x=4\).

Solución: \(\boxed{x=4}\) ✅

Ficha 3. Resuelve \(\log_2(x+1)+\log_2(x-3)=3\)

Paso 1. Dominio

\[
x+1>0,\quad x-3>0 \Longrightarrow x>3
\]

Paso 2. Unimos los logaritmos

\[
\log_2\big((x+1)(x-3)\big)=3
\]

Paso 3. Forma exponencial

\[
(x+1)(x-3)=2^3
\]\[
(x+1)(x-3)=8
\]

Paso 4. Desarrollamos

\[
x^2-2x-3=8
\]\[
x^2-2x-11=0
\]

Paso 5. Resolvemos

\[
x=\frac{2\pm\sqrt{4+44}}{2}
=\frac{2\pm\sqrt{48}}{2}
=1\pm 2\sqrt{3}
\]

Paso 6. Comprobamos el dominio

Solo vale \(x=1+2\sqrt{3}\), porque debe cumplirse \(x>3\).

Solución: \(\boxed{x=1+2\sqrt{3}}\) ✅

Ficha 4. Resuelve \(\log_3(2x-5)=\log_3(7)\)

Paso 1. Igualamos argumentos:

\[
2x-5=7
\]\[
2x=12
\]\[
x=6
\]

Paso 2. Comprobamos el dominio:

\[
2x-5>0 \Longrightarrow 12-5>0
\]

Solución: \(\boxed{x=6}\) ✅

Ficha 5. Resuelve \(\log(x-1)-\log(2)=0\)

Paso 1. Usamos la propiedad del cociente:

\[
\log\left(\frac{x-1}{2}\right)=0
\]

Paso 2. Pasamos a forma exponencial:

\[
\frac{x-1}{2}=10^0
\]\[
\frac{x-1}{2}=1
\]

Paso 3. Despejamos:

\[
x-1=2
\]\[
x=3
\]

Paso 4. Comprobamos:

\[
x-1>0 \Longrightarrow 3-1>0
\]

Solución: \(\boxed{x=3}\) ✅

Ejercicios propuestos para practicar por tu cuenta 📝

Intenta resolverlos antes de ver la respuesta. Ahí es donde de verdad se aprende.

\(\log_5(x+2)=3\)
\(\log(x)+\log(x-4)=2\)
\(\log_2(x-1)=\log_2(7)\)
\(\log_3(x+4)-\log_3(x-2)=1\)
\(\log(x-5)+\log(x+1)=\log 36\)

Ver respuestas rápidas 👀

\(x=123\)
\(x=10\)
\(x=8\)
\(x=5\)
\(x=\frac{-1+\sqrt{145}}{2}\) no vale; la válida es \(\frac{-1+ \sqrt{145}}{2}\) solo si cumple el dominio, y como debe ser \(x>5\), sí es válida. Aproximadamente \(x\approx 5{,}52\).

Errores comunes al resolver ecuaciones logarítmicas ❌

Error 1

Olvidar que el argumento del logaritmo debe ser positivo.

Error 2

Aplicar mal las propiedades, por ejemplo repartir \(\log(a+b)\).

Error 3

Resolver la ecuación algebraica y no comprobar después la solución.

Error 4

Confundir la base del logaritmo o pasar mal a forma exponencial.

Truco para no fallar 🧡
Repite esta secuencia mental: dominio → propiedades → resolver → comprobar.

¿Cuándo conviene usar cada método? 🛠️

Usa forma exponencial

Cuando tienes un solo logaritmo igualado a un número.

\[
\log_b(A)=k
\]

Usa propiedades

Cuando aparecen sumas, restas o coeficientes delante del logaritmo.

\[
\log A+\log B,\quad \log A-\log B,\quad 2\log A
\]

Iguala argumentos

Cuando ambos miembros tienen logaritmos de la misma base.

\[
\log_b(M)=\log_b(N)
\]

Aplicaciones reales de los logaritmos 🌍

Aunque en clase se trabajen sobre todo como ejercicios de álgebra, los logaritmos aparecen en muchos contextos reales:

escala de pH en química,
medición de sonido en decibelios,
crecimiento o decrecimiento exponencial,
modelos de población, finanzas o radiactividad,
problemas de ciencias donde conviene “deshacer” una potencia.

Entender las ecuaciones logarítmicas te ayuda a ver cómo pasar de una expresión exponencial a una forma que se pueda despejar.

Resumen final 🚀

Una ecuación logarítmica tiene la incógnita dentro de un logaritmo.
La equivalencia básica es:
\[
\log_b(a)=c \Longleftrightarrow b^c=a
\]
El argumento de todo logaritmo debe ser positivo.
Las propiedades del producto, cociente y potencia son esenciales.
Siempre hay que comprobar la solución al final.

Preguntas frecuentes❓

¿Qué es una ecuación logarítmica?

Es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo, como por ejemplo:
\[
\log(x+1)=2
\]

¿Cómo se resuelven las ecuaciones logarítmicas?

Se resuelven usando propiedades de los logaritmos, pasando a forma exponencial o igualando argumentos cuando los logaritmos tienen la misma base. Siempre se debe comprobar el dominio.

¿Por qué hay que comprobar la solución?

Porque una solución puede salir correcta al resolver la ecuación algebraica, pero ser inválida si hace que algún logaritmo tenga argumento cero o negativo.

¿Se pueden sumar logaritmos?

Sí, pero usando la propiedad correcta:
\[
\log_b(M)+\log_b(N)=\log_b(MN)
\]Lo que no se puede hacer es repartir un logaritmo sobre una suma:
\[
\log(a+b)\neq \log a+\log b
\]

¿Qué nivel de dificultad tienen?

Al principio parecen complicadas, pero si dominas las propiedades y sigues siempre el mismo método, se vuelven bastante mecánicas.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Ecuaciones logarítmicas: ejemplos y ejercicios interactivos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...