Ejercicios de fracciones algebraicas resueltos ✨

hace 2 días · Actualizado hace 2 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué son las fracciones algebraicas? 🤔
Reglas básicas para operar 📜
Cómo hallar el mínimo común múltiplo 🪜
Simplificación por factor común
Simplificación con factorización
Ejercicios de fracciones algebraicas. Multiplicación
División de fracciones algebraicas
Suma y resta con el mismo denominador
Suma y resta con distinto denominador
Suma y resta con denominadores factorizables
Fracciones algebraicas compuestas
Dominio de una fracción algebraica
Ecuaciones con fracciones algebraicas y repaso mixto
Tabla resumen 📋

📘 4º de ESO y 1º de Bachillerato

34 ejercicios de fracciones algebraicas:resueltos paso a paso

Simplificar, operar, resolver ecuaciones de fracciones algebraicas y hallar el dominio. Ejercicios interactivos organizados por tipo de operación. 🚀

P(x) / Q(x)

➜factorizar y simplificar

forma reducida

⚡ Respuesta rápida

Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios:

\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \neq 0 \]

Se manejan igual que las fracciones numéricas (simplificar, multiplicar, dividir, sumar, restar), con una diferencia clave: para simplificarlas u operar con ellas casi siempre hay que factorizar antes numerador y denominador. Este banco cubre las 34 variantes más frecuentes.

¿Qué son las fracciones algebraicas? 🤔

Una fracción algebraica es, simplemente, una fracción en la que el numerador y el denominador son polinomios en vez de números: $ \dfrac{P(x)}{Q(x)} $, con la condición de que $Q(x)$ no puede ser cero. Se comportan exactamente igual que las fracciones numéricas que ya conoces: se simplifican, se multiplican, se dividen, se suman y se restan siguiendo las mismas reglas.

La diferencia práctica es que,en vez de descomponer números en factores primos, aquí hay que factorizar polinomios (factor común, identidades notables, la fórmula de la ecuación de segundo grado…) para poder simplificar o encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

💡 Piensa en ellas como fracciones numéricas "disfrazadas"

$ \dfrac{x^2-4}{x-2} $ se comporta igual que $ \dfrac{6}{4} $: en ambos casos, factorizas numerador y denominador y cancelas lo que se repita. La única diferencia es que aquí factorizas polinomios en vez de números enteros.

Reglas básicas para operar 📜

✔️Simplificar: factoriza numerador y denominador, y cancela los factores completos que se repitan (nunca términos sueltos de una suma).

✔️Multiplicar: numerador por numerador, denominador por denominador; mejor factorizar y simplificar antes de multiplicar.

✔️Dividir: se multiplica por el inverso (se le da la vuelta) de la segunda fracción.

✔️Sumar o restar: hace falta el mismo denominador; si no coinciden, se halla su mínimo común múltiplo.

✔️El dominio excluye siempre los valores de $x$ que anulan cualquier denominador que aparezca en la expresión.

Cómo hallar el mínimo común múltiplo 🪜

Factoriza completamente cada uno de los denominadores.

Toma cada factor distinto que aparezca, elevado al mayor exponente con el que aparece en cualquiera de los denominadores.

Multiplica todos esos factores: ese producto es el mínimo común múltiplo.

Convierte cada fracción al nuevo denominador, multiplicando numerador y denominador por lo que falte.

Con el denominador ya común, suma o resta los numeradores y simplifica el resultado si es posible.

💡 Si no ves cómo factorizar, prueba el producto directo

Cuando dos denominadores no comparten ningún factor (por ejemplo, $x$ y $x+1$), su mcm es simplemente su producto. Factorizar antes solo importa para no arrastrar factores comunes de más.

Simplificación por factor común

El primer paso para simplificar cualquier fracción algebraica: saca factor común en el numerador y en el denominador, y cancela lo que se repita.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Simplifica $ \dfrac{4x^2+8x}{2x} $.

\[ \dfrac{4x^2+8x}{2x} \]

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Paso 1: Sacamos factor común $4x$ en el numerador: $ 4x^2+8x = 4x(x+2) $.

Paso 2: Simplificamos: $ \dfrac{4x(x+2)}{2x} = 2(x+2) $.

✅ Resultado: $ \dfrac{4x^2+8x}{2x} = 2x+4 $

🟢 Básico

Ejercicio 2. Simplifica $ \dfrac{3x^2y}{9xy^2} $.

\[ \dfrac{3x^2y}{9xy^2} \]

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Paso 1: Simplificamos los coeficientes numéricos: $ 3/9 = 1/3 $.

Paso 2: Simplificamos las potencias de $x$ y de $y$ por separado: $ x^2/x = x $, $ y/y^2 = 1/y $.

✅ Resultado: $ \dfrac{3x^2y}{9xy^2} = \dfrac{x}{3y} $

🟢 Básico

Ejercicio 3. Simplifica $ \dfrac{5x^3-10x^2}{5x^2} $.

\[ \dfrac{5x^3-10x^2}{5x^2} \]

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Paso 1: Sacamos factor común $5x^2$ en el numerador: $ 5x^3-10x^2 = 5x^2(x-2) $.

Paso 2: Simplificamos: $ \dfrac{5x^2(x-2)}{5x^2} = x-2 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{5x^3-10x^2}{5x^2} = x-2 $

$ejercicios de fracciones algebraicas$

Simplificación con factorización

Cuando el factor común no basta, hay que factorizar usando identidades notables (diferencia de cuadrados, cuadrado perfecto) o resolviendo la ecuación de segundo grado.

🟢 Básico

Ejercicio 4. Simplifica $ \dfrac{x^2-9}{x+3} $.

\[ \dfrac{x^2-9}{x+3} \]

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Paso 1: El numerador es una diferencia de cuadrados: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.

Paso 2: Simplificamos el factor común $(x+3)$: $ \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x-3 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-9}{x+3} = x-3 $

🟡 Medio

Ejercicio 5. Simplifica $ \dfrac{x^2-4x+4}{x-2} $.

\[ \dfrac{x^2-4x+4}{x-2} \]

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Paso 1: El numerador es un cuadrado perfecto: $ x^2-4x+4 = (x-2)^2 $.

Paso 2: Simplificamos: $ \dfrac{(x-2)^2}{x-2} = x-2 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-4x+4}{x-2} = x-2 $

🟡 Medio

Ejercicio 6. Simplifica $ \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} $.

\[ \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} \]

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Paso 1: Factorizamos el numerador resolviendo $x^2-5x+6=0$: raíces $x=2$ y $x=3$, así que $ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $.

Paso 2: Factorizamos el denominador como diferencia de cuadrados: $ x^2-4=(x-2)(x+2) $.

Paso 3: Simplificamos el factor común $(x-2)$: queda $ \dfrac{x-3}{x+2} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{x+2} $

Ejercicios de fracciones algebraicas. Multiplicación

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Lo más práctico es factorizar todo primero y simplificar antes de multiplicar.

🟢 Básico

Ejercicio 7. Calcula $ \dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x^2} $.

\[ \dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x^2} \]

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Paso 1: Multiplicamos numeradores y denominadores: $ \dfrac{x(x+1)}{(x+1)x^2} $.

Paso 2: Simplificamos $(x+1)$ y una $x$: queda $ \dfrac{1}{x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x^2} = \dfrac{1}{x} $

🟡 Medio

Ejercicio 8. Calcula $ \dfrac{x^2-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} $.

\[ \dfrac{x^2-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} \]

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Paso 1: Factorizamos $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $ \dfrac{(x-1)(x+1)}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} $.

Paso 2: Simplificamos $(x+1)$ y la $x$: queda $ x-1 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} = x-1 $

🟡 Medio

Ejercicio 9. Calcula $ \dfrac{2x}{x-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{4x^2} $.

\[ \dfrac{2x}{x-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{4x^2} \]

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Paso 1: Factorizamos $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $ \dfrac{2x}{x-1} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{4x^2} $.

Paso 2: Simplificamos $(x-1)$ y una $x$: queda $ \dfrac{2(x+1)}{4x} $.

Paso 3: Simplificamos el 2: $ \dfrac{x+1}{2x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{2x}{x-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{4x^2} = \dfrac{x+1}{2x} $

División de fracciones algebraicas

Dividir es multiplicar por el inverso de la segunda fracción: se le da la vuelta y se multiplica como siempre.

🟢 Básico

Ejercicio 10. Calcula $ \dfrac{x}{x+2} \div \dfrac{x^2}{x+2} $.

\[ \dfrac{x}{x+2} \div \dfrac{x^2}{x+2} \]

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Paso 1: Multiplicamos por el inverso de la segunda fracción: $ \dfrac{x}{x+2} \cdot \dfrac{x+2}{x^2} $.

Paso 2: Simplificamos $(x+2)$ y una $x$: queda $ \dfrac{1}{x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x}{x+2} \div \dfrac{x^2}{x+2} = \dfrac{1}{x} $

🟡 Medio

Ejercicio 11. Calcula $ \dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{3x} $.

\[ \dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{3x} \]

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Paso 1: Multiplicamos por el inverso: $ \dfrac{x^2-4}{x} \cdot \dfrac{3x}{x+2} $.

Paso 2: Factorizamos $x^2-4=(x-2)(x+2)$: $ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \dfrac{3x}{x+2} $.

Paso 3: Simplificamos $(x+2)$ y la $x$: queda $ 3(x-2) $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-4}{x} \div \dfrac{x+2}{3x} = 3x-6 $

🔴 Avanzado

Ejercicio 12. Calcula $ \dfrac{x+1}{x-1} \div \dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} $.

\[ \dfrac{x+1}{x-1} \div \dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} \]

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Paso 1: Multiplicamos por el inverso: $ \dfrac{x+1}{x-1} \cdot \dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1} $.

Paso 2: Factorizamos: $ x^2-2x+1=(x-1)^2 $ y $ x^2-1=(x-1)(x+1) $.

Paso 3: Sustituyendo: $ \dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x-1)(x+1)} $. Todos los factores se cancelan.

✅ Resultado: $ \dfrac{x+1}{x-1} \div \dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} = 1 $

Suma y resta con el mismo denominador

Cuando el denominador ya coincide, basta con sumar o restar los numeradores y mantener el denominador común.

🟢 Básico

Ejercicio 13. Calcula $ \dfrac{3x}{x+1} + \dfrac{5}{x+1} $.

\[ \dfrac{3x}{x+1} + \dfrac{5}{x+1} \]

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Paso 1: Como el denominador es el mismo, sumamos los numeradores directamente.

✅ Resultado: $ \dfrac{3x}{x+1} + \dfrac{5}{x+1} = \dfrac{3x+5}{x+1} $

🟡 Medio

Ejercicio 14. Calcula $ \dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} $.

\[ \dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} \]

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Paso 1: Restamos los numeradores manteniendo el denominador: $ \dfrac{x^2-4}{x-2} $.

Paso 2: Factorizamos y simplificamos: $ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} = x+2 $

🟡 Medio

Ejercicio 15. Calcula $ \dfrac{5x-3}{2x} + \dfrac{x+3}{2x} $.

\[ \dfrac{5x-3}{2x} + \dfrac{x+3}{2x} \]

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Paso 1: Sumamos los numeradores: $ \dfrac{5x-3+x+3}{2x} = \dfrac{6x}{2x} $.

Paso 2: Simplificamos: $ \dfrac{6x}{2x} = 3 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{5x-3}{2x} + \dfrac{x+3}{2x} = 3 $

Suma y resta con distinto denominador

Cuando los denominadores son distintos, hay que hallar su mínimo común múltiplo y convertir cada fracción antes de sumar o restar.

🟢 Básico

Ejercicio 16. Calcula $ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} $.

\[ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} \]

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Paso 1: El mcm de $x$ y $x^2$ es $x^2$. Convertimos la primera fracción: $ \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x}{x^2} $.

Paso 2: Sumamos: $ \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{2x+3}{x^2} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{2x+3}{x^2} $

🟡 Medio

Ejercicio 17. Calcula $ \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3x} $.

\[ \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3x} \]

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Paso 1: El mcm de $2x$ y $3x$ es $6x$. Convertimos: $ \dfrac{1}{2x}=\dfrac{3}{6x} $, $ \dfrac{1}{3x}=\dfrac{2}{6x} $.

Paso 2: Sumamos: $ \dfrac{3}{6x}+\dfrac{2}{6x} = \dfrac{5}{6x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3x} = \dfrac{5}{6x} $

🟡 Medio

Ejercicio 18. Calcula $ \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2}{x} $.

\[ \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2}{x} \]

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Paso 1: El mcm de $x+1$ y $x$ es su producto, $x(x+1)$. Convertimos: $ \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2}{x(x+1)} $, $ \dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x+1)}{x(x+1)} $.

Paso 2: Restamos: $ \dfrac{x^2-2(x+1)}{x(x+1)} = \dfrac{x^2-2x-2}{x(x+1)} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x^2-2x-2}{x(x+1)} $

Suma y resta con denominadores factorizables

El caso más elaborado: antes de hallar el mcm hay que factorizar cada denominador para no arrastrar factores de más.

🟡 Medio

Ejercicio 19. Calcula $ \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} $.

\[ \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} \]

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Paso 1: El mcm de $x-1$ y $x+1$ es su producto, $(x-1)(x+1)=x^2-1$.

Paso 2: Convertimos: $ \dfrac{x+1}{x^2-1} + \dfrac{x-1}{x^2-1} = \dfrac{2x}{x^2-1} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x}{x^2-1} $

🔴 Avanzado

Ejercicio 20. Calcula $ \dfrac{3}{x^2-4} - \dfrac{1}{x-2} $.

\[ \dfrac{3}{x^2-4} - \dfrac{1}{x-2} \]

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Paso 1: Factorizamos el primer denominador: $ x^2-4=(x-2)(x+2) $. El mcm de ambos denominadores es $(x-2)(x+2)$.

Paso 2: Convertimos la segunda fracción: $ \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)} $.

Paso 3: Restamos: $ \dfrac{3-(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{1-x}{x^2-4} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{3}{x^2-4} - \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{1-x}{x^2-4} $

🟡 Medio

Ejercicio 21. Calcula $ \dfrac{x}{x^2-1} + \dfrac{1}{x+1} $.

\[ \dfrac{x}{x^2-1} + \dfrac{1}{x+1} \]

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Paso 1: Factorizamos: $ x^2-1=(x-1)(x+1) $. El mcm de ambos denominadores es $(x-1)(x+1)$.

Paso 2: Convertimos la segunda fracción: $ \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)} $.

Paso 3: Sumamos: $ \dfrac{x+(x-1)}{x^2-1} = \dfrac{2x-1}{x^2-1} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x}{x^2-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x-1}{x^2-1} $

Fracciones algebraicas compuestas

Una fracción "de fracciones". La forma más segura de resolverlas es simplificar primero el numerador y el denominador por separado, y después dividir.

🟡 Medio

Ejercicio 22. Simplifica $ \dfrac{1/x}{1/x^2} $.

\[ \dfrac{\;1/x\;}{1/x^2} \]

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Paso 1: Es una división de fracciones: $ \dfrac{1}{x} \div \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x^2}{1} $.

Paso 2: Simplificamos: $ \dfrac{x^2}{x} = x $.

✅ Resultado: $ \dfrac{1/x}{1/x^2} = x $

🟡 Medio

Ejercicio 23. Simplifica $ \dfrac{2/x+1}{1/x} $.

\[ \dfrac{\;2/x+1\;}{1/x} \]

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Paso 1: Reducimos primero el numerador a una sola fracción: $ \dfrac{2}{x}+1 = \dfrac{2+x}{x} $.

Paso 2: Dividimos: $ \dfrac{2+x}{x} \div \dfrac{1}{x} = \dfrac{2+x}{x} \cdot \dfrac{x}{1} = 2+x $.

✅ Resultado: $ \dfrac{2/x+1}{1/x} = x+2 $

🔴 Avanzado

Ejercicio 24. Simplifica $ \dfrac{1/(x-1)}{1/(x-1)+1} $.

\[ \dfrac{\;1/(x-1)\;}{1/(x-1)+1} \]

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Paso 1: Reducimos el denominador a una sola fracción: $ \dfrac{1}{x-1}+1 = \dfrac{1+(x-1)}{x-1} = \dfrac{x}{x-1} $.

Paso 2: Dividimos: $ \dfrac{1}{x-1} \div \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{1}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{x} $.

Paso 3: Simplificamos $(x-1)$: queda $ \dfrac{1}{x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{1/(x-1)}{1/(x-1)+1} = \dfrac{1}{x} $

Dominio de una fracción algebraica

El dominio excluye siempre los valores de $x$ que anulan el denominador, porque dividir entre 0 no está definido.

🟢 Básico

Ejercicio 25. Halla el dominio de $ f(x) = \dfrac{x+1}{x-3} $.

\[ f(x) = \dfrac{x+1}{x-3} \]

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Paso 1: Buscamos el valor que anula el denominador: $ x-3=0 \Rightarrow x=3 $.

Paso 2: Excluimos ese único valor del dominio.

✅ Resultado: $ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{3\} $

🟡 Medio

Ejercicio 26. Halla el dominio de $ f(x) = \dfrac{2x}{x^2-4} $.

\[ f(x) = \dfrac{2x}{x^2-4} \]

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Paso 1: Buscamos los valores que anulan el denominador: $ x^2-4=0 \Rightarrow x=2 $ o $ x=-2 $.

Paso 2: Excluimos ambos valores del dominio.

✅ Resultado: $ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{-2, 2\} $

🟡 Medio

Ejercicio 27. Halla el dominio de $ f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+1} $.

\[ f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+1} \]

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Paso 1: Buscamos los valores que anulan el denominador: $ x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1 $.

Paso 2: Esa ecuación no tiene ninguna solución real, porque un cuadrado nunca es negativo: no hay ningún valor que excluir.

✅ Resultado: $ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $ (sin restricciones)

Operaciones combinadas

Varias operaciones en una misma expresión: respeta siempre el orden (multiplicaciones y divisiones antes que sumas y restas, salvo que haya paréntesis).

🟡 Medio

Ejercicio 28. Simplifica $ \dfrac{x}{x+2} \cdot \dfrac{(x+2)^2}{x^2} $.

\[ \dfrac{x}{x+2} \cdot \dfrac{(x+2)^2}{x^2} \]

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Paso 1: Multiplicamos numeradores y denominadores: $ \dfrac{x(x+2)^2}{(x+2)x^2} $.

Paso 2: Simplificamos $(x+2)$ y una $x$: queda $ \dfrac{x+2}{x} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x}{x+2} \cdot \dfrac{(x+2)^2}{x^2} = \dfrac{x+2}{x} $

🔴 Avanzado

Ejercicio 29. Simplifica $ \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{6} $.

\[ \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{6} \]

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Paso 1: Primero la multiplicación (va antes que la suma): $ \dfrac{3}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $.

Paso 2: Ahora sumamos: $ \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{2} $. El mcm es $2(x-1)$: $ \dfrac{4}{2(x-1)} + \dfrac{x-1}{2(x-1)} $.

Paso 3: $ \dfrac{4+x-1}{2(x-1)} = \dfrac{x+3}{2(x-1)} $.

✅ Resultado: $ \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x-1} \cdot \dfrac{x-1}{6} = \dfrac{x+3}{2(x-1)} $

🔴 Avanzado

Ejercicio 30. Simplifica $ \dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{2x} \cdot \dfrac{1}{x-1} $.

\[ \dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{2x} \cdot \dfrac{1}{x-1} \]

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Paso 1: La división y la multiplicación se hacen en el orden en que aparecen. Primero la división: $ \dfrac{x^2-1}{x} \cdot \dfrac{2x}{x+1} $.

Paso 2: Factorizamos $x^2-1=(x-1)(x+1)$ y simplificamos $(x+1)$ y la $x$: queda $ 2(x-1) $.

Paso 3: Multiplicamos por la última fracción: $ 2(x-1) \cdot \dfrac{1}{x-1} = 2 $.

✅ Resultado: $ \dfrac{x^2-1}{x} \div \dfrac{x+1}{2x} \cdot \dfrac{1}{x-1} = 2 $

Ecuaciones con fracciones algebraicas y repaso mixto

Para resolver una ecuación con fracciones algebraicas, quita denominadores multiplicando por el mcm de todos ellos, y comprueba al final que ninguna solución anule un denominador original.

🟡 Medio

Ejercicio 31. Resuelve $ \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x+1} $.

\[ \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x+1} \]

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Paso 1: Multiplicamos en cruz: $ 3(x+1) = 6x $.

Paso 2: $ 3x+3=6x \Rightarrow 3=3x \Rightarrow x=1 $.

Paso 3: Comprobamos que $x=1$ no anula ningún denominador original ($x\neq 0$, $x\neq -1$): es válida.

✅ Resultado: $ x=1 $

🔴 Avanzado

Ejercicio 32. Resuelve $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{3}{4} $.

\[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{3}{4} \]

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Paso 1: Multiplicamos toda la ecuación por el mcm, $4x(x+2)$: $ 4(x+2) + 4x = 3x(x+2) $.

Paso 2: Desarrollamos: $ 4x+8+4x = 3x^2+6x \Rightarrow 8x+8=3x^2+6x $.

Paso 3: Ordenamos: $ 3x^2-2x-8=0 $. Con la fórmula general: $ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+96}}{6} = \dfrac{2\pm 10}{6} $.

Paso 4: Las soluciones son $x=2$ y $x=-4/3$; ninguna anula $x=0$ ni $x=-2$, así que ambas son válidas.

✅ Resultado: $ x=2 $ \ o \ $ x=-\dfrac{4}{3} $

🟢 Básico

Ejercicio 33. Simplifica $ \dfrac{x^2-4}{x-2} $ y evalúa el resultado en $x=2$.

\[ \dfrac{x^2-4}{x-2} \]

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Paso 1: Factorizamos y simplificamos: $ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 $.

Paso 2: Sustituimos $x=2$ en la expresión ya simplificada: $ 2+2 $.

✅ Resultado: La fracción simplificada es $x+2$, y su valor en $x=2$ es $4$

🟡 Medio

Ejercicio 34. Resuelve $ \dfrac{x+1}{x-1} = 2 $.

\[ \dfrac{x+1}{x-1} = 2 \]

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Paso 1: Multiplicamos los dos lados por $x-1$: $ x+1 = 2(x-1) $.

Paso 2: $ x+1=2x-2 \Rightarrow 3=x $.

Paso 3: Comprobamos que $x=3$ no anula el denominador original ($x\neq 1$): es válida.

✅ Resultado: $ x=3 $

Errores más comunes ⚠️

❌ Simplificar términos sueltos en vez de factores completos
En $ \dfrac{x+2}{x} $ no se puede "tachar" la $x$: solo se cancelan factores que multiplican a toda la expresión, nunca términos de una suma.

❌ Sumar o restar sin igualar antes los denominadores
$ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} $ no es $ \dfrac{a+c}{b+d} $: hay que hallar el mcm de los denominadores antes de sumar los numeradores.

❌ Olvidar el paréntesis al restar numeradores
Al restar $ \dfrac{a}{d}-\dfrac{b}{d} $ tras igualar denominadores, el numerador que se resta va entre paréntesis: $ \dfrac{a-(b)}{d} $, para no equivocarse de signo si $b$ tiene varios términos.

❌ Dividir sin invertir la segunda fracción
Dividir fracciones algebraicas es multiplicar por el inverso de la segunda; multiplicar directamente sin darle la vuelta es un error clásico.

❌ Olvidar alguno de los denominadores al hallar el dominio
Si la expresión tiene varias fracciones, hay que excluir los valores que anulan cada uno de los denominadores, no solo el más visible.

❌ No comprobar las soluciones de una ecuación con fracciones
Al resolver una ecuación con $x$ en el denominador, alguna solución obtenida podría anular un denominador original: hay que descartarla si eso ocurre.

Comprobación numérica 🧮

Puedes comprobar que una simplificación u operación es correcta sustituyendo un valor concreto de $x$ (que no anule ningún denominador) en la expresión original y en el resultado: si están bien hechas, deben coincidir.

Verificación del Ejercicio 6 ($(x^2-5x+6)/(x^2-4) = (x-3)/(x+2)$)

x	Expresión original	Expresión simplificada
1	−2/3	−2/3 ✅
3	0	0 ✅
5	2/7	2/7 ✅

✅ En los tres valores de x, la expresión original y la simplificada dan el mismo resultado.

Verificación del Ejercicio 19 ($1/(x-1)+1/(x+1) = 2x/(x^2-1)$)

x	Suma original	Resultado obtenido
0	0	0 ✅
2	4/3	4/3 ✅
3	3/4	3/4 ✅

✅ En los tres valores de x, la suma calculada término a término coincide con el resultado final.

Verificación del Ejercicio 28 ($\frac{x}{x+2}\cdot\frac{(x+2)^2}{x^2} = (x+2)/x$)

x	Producto original	Resultado obtenido
1	3	3 ✅
2	2	2 ✅
4	1,5	1,5 ✅

✅ En los tres valores de x, el producto calculado directamente coincide con la forma simplificada.

Tabla resumen 📋

Operación	Cómo se hace
Simplificar	factorizar numerador y denominador, cancelar factores comunes completos
Multiplicar	numerador $\times$ numerador, denominador $\times$ denominador
Dividir	multiplicar por el inverso de la segunda fracción
Sumar / restar (mismo denominador)	sumar o restar los numeradores, mantener el denominador
Sumar / restar (distinto denominador)	hallar el mcm, convertir cada fracción y luego sumar/restar
Dominio	excluir los valores de $x$ que anulan cualquier denominador
Ecuación con fracciones	multiplicar por el mcm de todos los denominadores y comprobar las soluciones

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué es una fracción algebraica?

Es un cociente de dos polinomios, $ P(x)/Q(x) $, con la condición de que el denominador $Q(x)$ no puede ser cero. Se manejan igual que las fracciones numéricas.

¿Por qué hace falta factorizar para simplificar una fracción algebraica?

Porque solo se pueden cancelar factores completos que multiplican a toda la expresión, y esos factores solo se ven claramente una vez que numerador y denominador están escritos como un producto.

¿Cómo se suman fracciones algebraicas con distinto denominador?

Se factoriza cada denominador, se halla su mínimo común múltiplo, se convierte cada fracción a ese denominador común y, por último, se suman o restan los numeradores.

¿Cómo se calcula el dominio de una fracción algebraica?

Se buscan los valores de $x$ que hacen cero cualquiera de los denominadores que aparecen en la expresión, y se excluyen del dominio; el resto de números reales sí forman parte de él.

¿Qué hay que comprobar al resolver una ecuación con fracciones algebraicas?

Que ninguna de las soluciones obtenidas anule alguno de los denominadores originales de la ecuación; si lo hace, esa solución no es válida y hay que descartarla.

¿Aparecen en Selectividad/EBAU?

Las fracciones algebraicas en sí son más típicas de 4º de ESO y 1º de Bachillerato, pero las habilidades que se practican con ellas (factorizar, simplificar, operar) son la base de temas posteriores como límites, derivadas e integrales.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...