Inecuaciones racionales: método y ejercicios resueltos ✨

hace 9 horas · Actualizado hace 9 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es una inecuación racional? 🤔
Cómo resolver una inecuación racional: mi método en 4 pasos
Cómo leer la solución en la recta real 📏
Ejercicios resueltos de inecuaciones racionales 💪
Tabla resumen de inecuaciones racionales 📋

📘 4º de ESO y Bachillerato

Inecuaciones racionales: cómo resolverlas paso a paso

Te confieso algo: la primera vez que vi una fracción con una x arriba y otra abajo, comparada con 0, pensé que era imposible. Y no lo es: solo necesitas un método ordenado, el mismo que yo voy a enseñarte aquí, para resolver cualquier inecuación racional sin miedo 💪

Puntos críticos

→

Cuadro de signos

→

Solución

⚡ Respuesta rápida

Una inecuación racional es una desigualdad en la que aparece una fracción algebraica (un polinomio dividido entre otro), como \( \dfrac{x-2}{x+1}\geq 0 \). Para resolverla, yo siempre sigo tres pasos: hallar los puntos críticos (ceros del numerador y del denominador), construir un cuadro de signos y leer la solución en los intervalos donde se cumple la desigualdad.

Nunca olvides: los valores que anulan el denominador quedan siempre excluidos de la solución, porque no se puede dividir entre 0.

¿Qué es una inecuación racional? 🤔

Yo te lo explico con mis propias palabras: una inecuación racional es, simplemente, una inecuación en la que la incógnita \(x\) aparece en el denominador de una fracción (o en ambos, numerador y denominador). Su forma general es:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \; \gtrless \; 0 \]

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios. El símbolo \(\gtrless\) puede ser \(>\), \(<\), \(\geq\) o \(\leq\).

💡 Lo que la hace distinta de una ecuación

En una ecuación racional buscas los valores de \(x\) que hacen que la fracción sea igual a un número. En una inecuación racional buscas todos los valores de \(x\) para los que la fracción es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que ese número. Por eso la solución casi siempre es un intervalo, no un número concreto.

Cómo resolver una inecuación racional: mi método en 4 pasos

Te voy a enseñar el método que a mí me funciona siempre, sin fallar, usando como ejemplo \( \dfrac{x^2-4}{x-1} < 0 \).

Iguala todo a 0 (si no lo está ya) y deja la fracción sola en un lado.

Halla los puntos críticos: resuelve \(P(x)=0\) (ceros del numerador) y \(Q(x)=0\) (ceros del denominador). En mi ejemplo: \(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\), y \(x-1=0 \Rightarrow x=1\).

Ordena los puntos críticos en la recta real y construye un cuadro de signos con los intervalos que quedan entre ellos: en mi ejemplo, \(-2\), \(1\) y \(2\) dividen la recta en 4 intervalos.

Estudia el signo del numerador y del denominador en cada intervalo (con un valor de prueba), multiplica los signos y quédate con los intervalos donde se cumple la desigualdad.

Cuadro de signos de la inecuacion racional (x al cuadrado menos 4) dividido entre (x menos 1) menor que 0, con los puntos criticos -2, 1 y 2, mostrando el signo del numerador, del denominador y del cociente en cada intervalo, con la solucion final

💡 Truco: multiplicar signos es como multiplicar números

Recuerda la regla de los signos que ya conoces de los números enteros: \((+)\div(+)=+\), \((+)\div(-)=-\), \((-)\div(+)=-\), \((-)\div(-)=+\). Aplícala fila por fila en el cuadro de signos y no te equivocarás.

Cómo leer la solución en la recta real 📏

Una vez tienes el cuadro de signos, solo tienes que mirar en qué intervalos el cociente tiene el signo que te pide el enunciado. En mi ejemplo, como buscamos donde el cociente es negativo (\(<0\)), la solución son los intervalos donde aparece el signo "−":

Representacion en la recta real de la solucion de la inecuacion (x al cuadrado menos 4) dividido entre (x menos 1) menor que 0: los intervalos desde menos infinito hasta -2 y desde 1 hasta 2, con circulos vacios en los puntos criticos porque quedan excluidos

⚠️ La regla que a mí más me ha salvado en los exámenes

Los puntos que anulan el denominador (en mi ejemplo, \(x=1\)) siempre quedan excluidos, sea la desigualdad estricta o no. Los puntos que anulan el numerador solo se incluyen si la desigualdad tiene el símbolo \(\geq\) o \(\leq\) (con igualdad).

Ejercicios resueltos de inecuaciones racionales 💪

Ahora te toca a ti. Léelos, intenta resolverlos con el método de los 4 pasos y comprueba tu solución antes de hacer clic.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Resuelve \( \dfrac{x-2}{x+1} \geq 0 \).

(x-2)/(x+1) ≥ 0

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Paso 1: Puntos críticos: numerador \(x-2=0 \Rightarrow x=2\); denominador \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\).

Paso 2: Intervalos: \((-\infty,-1)\), \((-1,2)\), \((2,+\infty)\). Probamos: en \(x=-2\), el cociente es \(4>0\); en \(x=0\), es \(-2<0\); en \(x=3\), es \(0{,}25>0\).

Paso 3: Buscamos donde el cociente es \(\geq 0\): se cumple en \((-\infty,-1)\) y en \((2,+\infty)\). El punto \(x=2\) sí se incluye (numerador, con \(\geq\)); el punto \(x=-1\) NUNCA se incluye (denominador).

✅ Resultado: x ∈ (-∞, -1) ∪ [2, +∞)

🟢 Básico

Ejercicio 2. Resuelve \( \dfrac{3}{x-2} > 0 \).

3/(x-2) > 0

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Paso 1: El numerador (3) nunca se anula, así que el único punto crítico es el del denominador: \(x-2=0 \Rightarrow x=2\).

Paso 2: Probamos: en \(x=0\), \(3/(-2)=-1{,}5<0\); en \(x=3\), \(3/1=3>0\).

Paso 3: Buscamos donde es \(>0\): solo se cumple para \(x>2\). Como \(x=2\) anula el denominador, queda excluido.

✅ Resultado: x ∈ (2, +∞)

🟡 Medio

Ejercicio 3. Resuelve \( \dfrac{x^2-4}{x-1} < 0 \) (el ejemplo que hemos ido resolviendo juntos).

(x²-4)/(x-1) < 0

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Paso 1: Puntos críticos: \(x=-2\), \(x=1\), \(x=2\) (visto en la explicación anterior).

Paso 2: Según el cuadro de signos, el cociente es negativo en \((-\infty,-2)\) y en \((1,2)\).

Paso 3: Como la desigualdad es estricta (\(<\)), ni \(-2\) ni \(2\) se incluyen (numerador con desigualdad estricta), y \(1\) tampoco (denominador).

✅ Resultado: x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, 2)

🟡 Medio

Ejercicio 4. Resuelve \( \dfrac{1}{x-3} \leq 2 \).

1/(x-3) ≤ 2

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Paso 1: Pasamos todo a un lado: \( \dfrac{1}{x-3}-2\leq 0 \).

Paso 2: Ponemos denominador común: \( \dfrac{1-2(x-3)}{x-3}\leq 0 \Rightarrow \dfrac{7-2x}{x-3}\leq 0 \).

Paso 3: Puntos críticos: numerador \(7-2x=0 \Rightarrow x=3{,}5\); denominador \(x=3\).

Paso 4: Probando valores: en \(x=0\), el cociente es negativo; entre \(3\) y \(3{,}5\), es positivo; para \(x>3{,}5\), vuelve a ser negativo. Buscamos \(\leq 0\): se cumple para \(x<3\) y para \(x\geq 3{,}5\) (aquí sí se incluye 3,5 porque es del numerador con \(\leq\)).

✅ Resultado: x ∈ (-∞, 3) ∪ [3,5, +∞)

🔴 Avanzado

Ejercicio 5. Resuelve \( \dfrac{(x-1)(x+3)}{x^2-9} \geq 0 \).

(x-1)(x+3) / (x²-9) ≥ 0

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Paso 1: Factorizamos el denominador: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Paso 2: La expresión queda \( \dfrac{(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} \). Ojo: el factor \((x+3)\) aparece arriba y abajo, pero no podemos simplificarlo sin más, porque en \(x=-3\) la fracción original no está definida (queda \(0/0\)), y hay que excluirlo igualmente.

Paso 3: Puntos críticos: numerador \(x=1\) y \(x=-3\); denominador \(x=3\) y \(x=-3\) (coincide con el del numerador).

Paso 4: Estudiando el signo en los intervalos \((-\infty,-3)\), \((-3,1)\), \((1,3)\), \((3,+\infty)\), el cociente es positivo en \((-\infty,-3)\), negativo en \((-3,1)\), negativo en \((1,3)\) y positivo en \((3,+\infty)\).

Paso 5: Buscamos \(\geq 0\): se cumple en \((-\infty,-3)\) y en \((3,+\infty)\). Incluimos \(x=1\) (numerador, con \(\geq\)), pero excluimos \(x=-3\) y \(x=3\) (denominador, siempre fuera).

✅ Resultado: x ∈ (-∞, -3) ∪ {1} ∪ (3, +∞)

Errores más comunes ⚠️

❌ Multiplicar en cruz como si fuera una ecuación
Yo cometí este error muchas veces al principio: en una inecuación NO puedes multiplicar ambos lados por \((x-a)\) sin saber su signo, porque si es negativo, la desigualdad cambia de sentido. Por eso usamos siempre el cuadro de signos, nunca el "multiplicar en cruz".

❌ Incluir los puntos que anulan el denominador
Por muy "\(\geq\)" o "\(\leq\)" que sea la desigualdad, un valor que anula el denominador JAMÁS puede formar parte de la solución.

❌ Simplificar factores comunes sin comprobar restricciones
Si el mismo factor aparece en numerador y denominador (como en el Ejercicio 5), simplificarlo puede hacerte "olvidar" que ese valor sigue estando prohibido en la expresión original.

❌ Olvidar pasar todo a un lado antes de analizar signos
No puedes estudiar el signo de \( \dfrac{1}{x-3} \) comparándolo directamente con 2; primero hay que dejar todo en la forma \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0 \).

❌ Confundir el signo del numerador con el de toda la fracción
El signo final depende de numerador Y denominador juntos: una fracción con numerador positivo y denominador negativo es negativa en total.

Comprobación numérica 🧮

Te dejo la verificación con valores concretos de algunos de los ejercicios anteriores, para que compruebes que el método funciona:

Verificación del Ejercicio 1: (x-2)/(x+1) ≥ 0

x de prueba	Valor de (x-2)/(x+1)	¿Cumple ≥0?
-3	2,5	Sí ✅
0	-2	No
3	0,25	Sí ✅

✅ Los valores confirman que la solución está fuera del intervalo (-1, 2), tal como obtuvimos.

Verificación del Ejercicio 3: (x²-4)/(x-1) < 0

x de prueba	Valor de (x²-4)/(x-1)	¿Cumple <0?
-3	-1,25	Sí ✅
0	4	No
1,5	-3,5	Sí ✅
3	2,5	No

✅ Coincide exactamente con la solución (-∞,-2) ∪ (1,2) que obtuvimos con el cuadro de signos.

Tabla resumen de inecuaciones racionales 📋

Paso	Qué hacer
1	Igualar todo a 0, dejando una única fracción
2	Hallar los ceros del numerador y del denominador (puntos críticos)
3	Ordenar los puntos críticos en la recta real
4	Estudiar el signo en cada intervalo con un valor de prueba
5	Elegir los intervalos que cumplen la desigualdad
Regla de oro	Los ceros del denominador SIEMPRE se excluyen

Preguntas frecuentes ❓

¿Puedo multiplicar en cruz para resolver una inecuación racional?

No, a no ser que sepas con certeza que el término por el que multiplicas es siempre positivo. Como el signo de \((x-a)\) depende del valor de \(x\), lo más seguro es usar siempre el método del cuadro de signos.

¿Qué pasa si el numerador y el denominador comparten un factor?

Puedes simplificarlo para estudiar el signo, pero debes recordar que el valor que anula ese factor común sigue estando excluido en la expresión original (porque anula el denominador antes de simplificar).

¿Cómo sé si un punto crítico se incluye o no en la solución?

Si el punto anula el denominador, nunca se incluye. Si anula el numerador, se incluye solo cuando la desigualdad tiene el símbolo ≥ o ≤ (con igualdad).

¿Es lo mismo una inecuación racional que una ecuación racional?

No. Una ecuación racional busca los valores donde la fracción es igual a un número concreto; una inecuación racional busca todo un rango de valores donde se cumple una desigualdad.

¿Aparecen las inecuaciones racionales en Selectividad/EBAU?

Pueden aparecer, sobre todo relacionadas con el estudio del dominio de funciones racionales o con problemas de optimización donde hay que determinar en qué intervalos una función es positiva o negativa.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...