Ejemplo de la regla de tres

Regla de tres: directa, inversa y ejercicios

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 23 horas · Actualizado hace 23 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la regla de tres?
  2. Magnitudes directa e inversamente proporcionales
  3. Regla de tres simple directa
  4. Regla de tres simple inversa
  5. Regla de tres directa vs inversa
  6. Cómo saber si es directa o inversa
  7. 🧮 Calculadora de regla de tres
  8. 🌍 Aplicaciones en la vida real
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios resueltos paso a paso

¿Te bloqueas cada vez que un problema te pide "calcular cuánto costaría si…"? Tranquilo, a mí también me pasaba. En esta guía para ESO te voy a enseñar la regla de tres simple directa e inversa paso a paso: cómo reconocer cuál usar, cómo plantearla sin equivocarte y cómo resolverla en menos de un minuto.

⚡ La regla de tres en 30 segundos
Es un método para encontrar un valor desconocido cuando conoces otros tres y las magnitudes son proporcionales.

Directa (más → más): multiplico en cruz y divido.
\[x = \frac{b\cdot c}{a}\]
Inversa (más → menos): multiplico en línea y divido.
\[x = \frac{a\cdot b}{c}\]

¿Qué es la regla de tres?

La regla de tres es una herramienta que uso para resolver problemas de proporcionalidad. Su nombre viene de que siempre conozco tres datos y busco un cuarto valor, que llamo \(x\).

Antes de aplicarla, necesito tener claras dos ideas: qué es una magnitud (algo que se puede medir, como el precio, el tiempo, la distancia o el número de personas) y cómo se relacionan dos magnitudes entre sí.

💡 Idea clave: la regla de tres solo funciona si las magnitudes son proporcionales. Si al doble de una le corresponde el doble (o la mitad) de la otra, puedo usarla. Si no, no.
Ejemplo de la regla de tres

Magnitudes directa e inversamente proporcionales

Este es el paso más importante y donde más alumnos fallan. Yo siempre me hago la misma pregunta: "si una magnitud aumenta, ¿qué le pasa a la otra?"

Magnitudes directamente proporcionales

Si una aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción. Si una se duplica, la otra se duplica. Más → más y menos → menos.

Ejemplo: cuantos más kilos de fruta compro, más dinero pago.

Magnitudes inversamente proporcionales

Si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Si una se duplica, la otra se reduce a la mitad. Más → menos y menos → más.

Ejemplo: cuantos más obreros trabajan en una obra, menos días tardan en terminarla.

⚠️ Cuidado: que dos magnitudes aumenten a la vez no significa que sean proporcionales. La edad y la altura de una persona crecen juntas, pero a los 20 años no mides el doble que a los 10. Ahí no sirve la regla de tres.

Regla de tres simple directa

La uso cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales. Coloco los datos así, con cada magnitud en su columna:

\[\begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ c & \longrightarrow & x \end{array}\]\[x = \frac{b\cdot c}{a}\]Multiplico en cruz y divido entre el número que queda.
Ejemplo paso a paso: si 5 cuadernos cuestan 8 €, ¿cuánto cuestan 12 cuadernos?
  1. Me pregunto: más cuadernos → más dinero. Es directa.
  2. Coloco los datos:\[\begin{array}{rcl} 5\ \text{cuadernos} & \longrightarrow & 8\ \text{€} \\ 12\ \text{cuadernos} & \longrightarrow & x\ \text{€} \end{array}\]
  3. Multiplico en cruz:\[x = \frac{8\cdot 12}{5} = \frac{96}{5}\]
  4. Calculo: \(x = \boxed{19{,}20\ \text{€}}\)

Regla de tres simple inversa

La uso cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. El esquema es el mismo, pero cambia la forma de operar:

\[\begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ c & \longrightarrow & x \end{array}\]\[x = \frac{a\cdot b}{c}\]Multiplico en línea (la fila completa que conozco) y divido entre el otro dato.
Ejemplo paso a paso: un saco de pienso alimenta a 12 perros durante 15 días. ¿Cuántos días duraría si hubiera 20 perros?
  1. Me pregunto: más perros → menos días. Es inversa.
  2. Coloco los datos:\[\begin{array}{rcl} 12\ \text{perros} & \longrightarrow & 15\ \text{días} \\ 20\ \text{perros} & \longrightarrow & x\ \text{días} \end{array}\]
  3. Multiplico en línea:\[x = \frac{12\cdot 15}{20} = \frac{180}{20}\]
  4. Calculo: \(x = \boxed{9\ \text{días}}\)
💡 Mi truco para comprobar: en la inversa, el producto de cada fila debe dar lo mismo. \(12\cdot 15 = 180\) y \(20\cdot 9 = 180\). ¡Cuadra!

Regla de tres directa vs inversa

DirectaInversa
RelaciónMás → másMás → menos
Qué se mantieneEl cociente: \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{x}{c}\)El producto: \(a\cdot b = c\cdot x\)
Fórmula\(x = \dfrac{b\cdot c}{a}\)\(x = \dfrac{a\cdot b}{c}\)
Cómo operoMultiplico en cruzMultiplico en línea
EjemploKilos y precioObreros y días

Cómo saber si es directa o inversa

Cuando leo un problema, sigo siempre estos tres pasos antes de hacer ninguna cuenta:

  1. Identifico las dos magnitudes. Por ejemplo: "número de grifos" y "horas".
  2. Hago la pregunta mágica: si aumento la primera, ¿la segunda aumenta o disminuye?
  3. Decido: si aumenta, es directa; si disminuye, es inversa.
⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Aplicar la directa a todo sin pararse a pensar.
  • Mezclar unidades (minutos con horas, gramos con kilos). Antes de empezar, lo pongo todo en la misma unidad.
  • No comprobar si el resultado tiene sentido. Si más obreros tardan más días, algo ha fallado.

🧮 Calculadora de regla de tres

Elige si tu problema es de regla de tres simple o compuesta, escribe los datos y la calculadora te enseña el planteo, la operación y la comprobación paso a paso.

Incógnita
\(x\)

Los nombres de las magnitudes son opcionales. Los datos de la misma magnitud van en la misma columna. Puedes usar coma o punto para los decimales.

🌍 Aplicaciones en la vida real

🛒 ComprasCalcular el precio de varias unidades a partir de una.
🍰 RecetasAdaptar los ingredientes al número de comensales.
📊 PorcentajesDescuentos, IVA y notas sobre 100.
🚗 ViajesRelacionar velocidad y tiempo de un trayecto.
🗺️ MapasPasar de centímetros del plano a kilómetros reales.
👷 TrabajosRepartir una tarea entre más o menos personas.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

¿Cuántos datos conozco?Tres. Busco el cuarto, \(x\).
Más → másRegla de tres directa.
Más → menosRegla de tres inversa.
Fórmula directa\(x = \dfrac{b\cdot c}{a}\). Multiplico en cruz.
Fórmula inversa\(x = \dfrac{a\cdot b}{c}\). Multiplico en línea.
¿Cómo compruebo la inversa?El producto de cada fila debe ser el mismo.

⭐ Ejercicios resueltos paso a paso

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Regla de tres directa: precio
📝 EnunciadoSi 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €, ¿cuánto cuestan 7 kg?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Más kilos → más dinero. Es directa.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 3\ \text{kg} & \longrightarrow & 4{,}50\ \text{€} \\ 7\ \text{kg} & \longrightarrow & x\ \text{€} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{4{,}50\cdot 7}{3} = \frac{31{,}50}{3} = 10{,}50\]
✅ Resultado: 7 kg de manzanas cuestan 10,50 €.
EJERCICIO 2Regla de tres directa: receta
📝 EnunciadoUna receta de bizcocho para 4 personas lleva 300 g de harina. ¿Cuánta harina necesito para 10 personas?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Más personas → más harina. Es directa.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 4\ \text{personas} & \longrightarrow & 300\ \text{g} \\ 10\ \text{personas} & \longrightarrow & x\ \text{g} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{300\cdot 10}{4} = \frac{3000}{4} = 750\]
✅ Resultado: Necesito 750 g de harina.
EJERCICIO 3Regla de tres inversa: obreros
📝 Enunciado6 obreros tardan 20 días en pintar un edificio. ¿Cuántos días tardarían 8 obreros trabajando al mismo ritmo?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Más obreros → menos días. Es inversa.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 6\ \text{obreros} & \longrightarrow & 20\ \text{días} \\ 8\ \text{obreros} & \longrightarrow & x\ \text{días} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{6\cdot 20}{8} = \frac{120}{8} = 15\]
  4. Comprobación. \(6\cdot 20 = 120\) y \(8\cdot 15 = 120\). ✔️
✅ Resultado: 8 obreros tardarían 15 días.
EJERCICIO 4Regla de tres inversa: velocidad
📝 EnunciadoUn coche que va a 80 km/h tarda 3 horas en hacer un trayecto. ¿Cuánto tardaría a 120 km/h?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Más velocidad → menos tiempo. Es inversa.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 80\ \text{km/h} & \longrightarrow & 3\ \text{h} \\ 120\ \text{km/h} & \longrightarrow & x\ \text{h} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{80\cdot 3}{120} = \frac{240}{120} = 2\]
✅ Resultado: A 120 km/h tardaría 2 horas.
EJERCICIO 5Calcular un porcentaje
📝 EnunciadoEn un instituto hay 240 alumnos y el 35 % va en bicicleta. ¿Cuántos alumnos van en bicicleta?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Un porcentaje es una regla de tres directa: el total equivale al 100 %.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 100\ \% & \longrightarrow & 240\ \text{alumnos} \\ 35\ \% & \longrightarrow & x\ \text{alumnos} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{240\cdot 35}{100} = \frac{8400}{100} = 84\]
✅ Resultado: 84 alumnos van en bicicleta.
EJERCICIO 6¿Directa o inversa? Tú decides
📝 Enunciado3 grifos iguales llenan un depósito en 12 horas. ¿Cuánto tardarían 4 grifos iguales?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Me pregunto: si abro más grifos, ¿tarda más o menos? Menos. Es inversa.
  2. Paso 2. Planteo:\[\begin{array}{rcl} 3\ \text{grifos} & \longrightarrow & 12\ \text{h} \\ 4\ \text{grifos} & \longrightarrow & x\ \text{h} \end{array}\]
  3. Paso 3.\[x = \frac{3\cdot 12}{4} = \frac{36}{4} = 9\]
  4. Comprobación. Si la hubiera hecho directa, me saldrían 16 horas: más grifos tardando más no tiene sentido.
✅ Resultado: 4 grifos llenan el depósito en 9 horas.

❓ Preguntas frecuentes sobre la regla de tres

🤔 ¿Qué es la regla de tres?
Es un método para calcular un valor desconocido a partir de tres valores conocidos, siempre que las magnitudes que intervienen sean proporcionales.
🤔 ¿Cuál es la diferencia entre la regla de tres directa e inversa?
En la directa, si una magnitud aumenta, la otra también aumenta. En la inversa, si una magnitud aumenta, la otra disminuye.
🤔 ¿Cómo se resuelve una regla de tres directa?
Se colocan los datos en dos columnas, se multiplican en cruz los dos valores conocidos y se divide entre el valor restante: \(x = \dfrac{b\cdot c}{a}\).
🤔 ¿Cómo se resuelve una regla de tres inversa?
Se multiplican los dos valores de la fila conocida y se divide entre el otro dato: \(x = \dfrac{a\cdot b}{c}\). El producto de cada fila debe dar el mismo resultado.
🤔 ¿Cómo sé si un problema es de regla de tres directa o inversa?
Pregúntate qué ocurre con una magnitud si la otra aumenta. Si también aumenta, es directa; si disminuye, es inversa.
🤔 ¿Se pueden calcular porcentajes con la regla de tres?
Sí. Un porcentaje es una regla de tres directa en la que el total corresponde al 100 %.
🤔 ¿Qué es la regla de tres compuesta?
Es la que relaciona tres o más magnitudes a la vez. Se resuelve combinando varias reglas de tres simples, directas o inversas.
📚 Resumen final
  • La regla de tres sirve para hallar un cuarto valor cuando las magnitudes son proporcionales.
  • Directa (más → más): \(x = \dfrac{b\cdot c}{a}\).
  • Inversa (más → menos): \(x = \dfrac{a\cdot b}{c}\).
  • Antes de calcular, decide siempre qué tipo es y comprueba que el resultado tiene sentido.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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