Problemas de porcentajes resueltos paso a paso ✨

hace 1 mes · Actualizado hace 1 mes

🔎 Índice de contenidos

📖 ¿Qué es un Porcentaje?
🔢 Los 3 Tipos Básicos de Problemas de Porcentajes
🔵 Tipo 1: Calcular el Porcentaje de una Cantidad
🟢 Tipo 2: Hallar qué Porcentaje Representa una Parte
🟠 Tipo 3: Calcular el Total a Partir de un Porcentaje
🔺🔻 Aumentos y Descuentos Porcentuales
💰 Problemas con el IVA
🔄 Porcentajes Sucesivos (Encadenados)
🆕 Calculadora de Porcentajes
🎯 Ejercicios Interactivos con Solución
📊 Resumen: Problemas de Porcentajes

📖 ¿Qué es un Porcentaje?

Los porcentajes están en todas partes: en los descuentos del Black Friday, en las notas del instituto, en los impuestos que pagan tus padres o en las estadísticas del fútbol. Dominarlos es una habilidad matemática que usarás toda la vida. 🌟

📖 Definición

Un porcentaje es una razón que expresa cuántas partes hay por cada 100. El símbolo % se lee "por ciento". Por ejemplo, \(25\%\) significa 25 de cada 100, o lo que es lo mismo, la fracción \(\dfrac{25}{100} = 0{,}25\).

\[ r\% = \frac{r}{100} \]

💵

25% = 0,25

Cuarta parte de cualquier cantidad

📈

50% = 0,5

La mitad exacta

✅

100% = 1

La cantidad completa

🔹

200% = 2

El doble de la cantidad

💡

Tres formas de escribir un porcentaje:
\(40\% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) → porcentaje = fracción = decimal. ¡Son lo mismo!

🔢 Los 3 Tipos Básicos de Problemas de Porcentajes

Todos los problemas de porcentajes se reducen a tres preguntas. Si identificas qué pregunta te hacen, sabrás exactamente qué fórmula usar. 🎯

🔵 Tipo 1

Sé el total y el %. Busco la parte.

"¿Cuánto es el 30% de 200?"

Ej: descuentos, impuestos, propinas.

\(\text{Parte} = \dfrac{\%\times\text{Total}}{100}\)

🟢 Tipo 2

Sé la parte y el total. Busco el %.

"¿Qué % es 45 de 180?"

Ej: notas, estadísticas, comparativas.

\(\% = \dfrac{\text{Parte}\times100}{\text{Total}}\)

🟠 Tipo 3

Sé la parte y el %. Busco el total.

"Si el 30% es 60, ¿cuál es el total?"

Ej: precio original antes de descuento.

\(\text{Total} = \dfrac{\text{Parte}\times100}{\%}\)

🔵 Tipo 1: Calcular el Porcentaje de una Cantidad

★ Fórmula Tipo 1

\[ \text{Parte} = \frac{\% \times \text{Total}}{100} \]

O equivalentemente: \(\text{Parte} = \text{Total} \times r\) donde \(r = \dfrac{\%}{100}\)

✏ Ejemplo 1: ¿Cuánto es el 25% de 360?

Identificamos: \(\% = 25\), \(\text{Total} = 360\)
Aplicamos la fórmula: \(\text{Parte} = \dfrac{25 \times 360}{100} = \dfrac{9.000}{100} = 90\)
Alternativa rápida: \(360 \times 0{,}25 = 90\)

✅ El 25% de 360 es 90.

✏ Ejemplo 2: En una clase de 30 alumnos, el 60% aprobó. ¿Cuántos aprobaron?

\(\text{Parte} = \dfrac{60 \times 30}{100} = \dfrac{1.800}{100} = 18\) alumnos

✅ Aprobaron 18 alumnos.

💡 Atajos mentales para calcular porcentajes rápido

Porcentaje	Truco	Ejemplo con 400
10%	Divide entre 10	400 ÷ 10 = 40
5%	La mitad del 10%	40 ÷ 2 = 20
25%	Divide entre 4	400 ÷ 4 = 100
50%	Divide entre 2	400 ÷ 2 = 200
75%	3/4 del total	400 × 3/4 = 300
1%	Divide entre 100	400 ÷ 100 = 4

🟢 Tipo 2: Hallar qué Porcentaje Representa una Parte

★ Fórmula Tipo 2

\[ \% = \frac{\text{Parte} \times 100}{\text{Total}} \]

✏ Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 45 de 180?

Identificamos: Parte = 45, Total = 180
Aplicamos: \(\% = \dfrac{45 \times 100}{180} = \dfrac{4.500}{180} = 25\%\)

✅ 45 es el 25% de 180.

✏ Ejemplo: Un estudiante acierta 36 de 45 preguntas. ¿Qué porcentaje de acierto tiene?

Parte = 36 aciertos, Total = 45 preguntas
\(\% = \dfrac{36 \times 100}{45} = \dfrac{3.600}{45} = 80\%\)

✅ El porcentaje de acierto es 80%.

🟠 Tipo 3: Calcular el Total a Partir de un Porcentaje

★ Fórmula Tipo 3

\[ \text{Total} = \frac{\text{Parte} \times 100}{\%} \]

✏ Ejemplo: Si el 30% de un número es 60, ¿cuál es el número?

Identificamos: Parte = 60, % = 30, Total = ?
\(\text{Total} = \dfrac{60 \times 100}{30} = \dfrac{6.000}{30} = 200\)

✅ El número es 200. Comprobación: el 30% de 200 = 60 ✔

✏ Ejemplo: En una tienda rebajan una chaqueta un 20% y queda en 56 €. ¿Cuál era el precio original?

Si rebajan el 20%, quedan el 80%. Entonces: Parte = 56 € (= 80%), % = 80
\(\text{Total} = \dfrac{56 \times 100}{80} = \dfrac{5.600}{80} = 70\text{ €}\)

✅ El precio original era 70 €. Comprobación: 70 − 20% de 70 = 70 − 14 = 56 ✔

🔺🔻 Aumentos y Descuentos Porcentuales

Este es el tipo de problema más frecuente en la vida real: rebajas, subidas de precios, descuentos de tiendas, aumentos de sueldo... 💵

🔺 Aumento del r%

\[ \text{Nuevo} = \text{Original} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) \]

O: \(\text{Nuevo} = \text{Original} \times (1 + r)\) si \(r\) está en decimal

Ej: subida del 8%: multiplica por 1,08

🔻 Descuento del r%

\[ \text{Nuevo} = \text{Original} \times \left(1 - \frac{r}{100}\right) \]

O: \(\text{Nuevo} = \text{Original} \times (1 - r)\) si \(r\) es decimal

Ej: rebaja del 15%: multiplica por 0,85

✏ Ejemplo: Descuento del 15% sobre un precio de 80 €

Descuento del 15%: el precio final es el 85% del original.
\(\text{Precio final} = 80 \times \left(1 - \dfrac{15}{100}\right) = 80 \times 0{,}85 = 68\text{ €}\)
Descuento en €: \(80 - 68 = 12\text{ €}\) ahorrados.

✅ Precio final: 68 € (ahorro de 12 €)

✏ Ejemplo: Aumento de sueldo del 8% sobre 1.500 €/mes

\(\text{Sueldo nuevo} = 1.500 \times 1{,}08 = 1.620\text{ €/mes}\)
Aumento mensual: \(1.620 - 1.500 = 120\text{ €}\)

✅ El nuevo sueldo es 1.620 €/mes (sube 120 €)

⚠ ¡Cuidado con el aumento y la recuperación!

Un aumento del 20% seguido de una reducción del 20% NO vuelve al precio inicial:
\(100 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 100 \times 0{,}96 = 96\) → ¡Queda en 96, no en 100!

💰 Problemas con el IVA

El IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido) es un porcentaje que se añade al precio de los productos. En España existen tres tipos:

📌 Tipos de IVA en España

Tipo	IVA	Factor	Aplica a...
Superreducido	4%	×1,04	Pan, leche, libros, medicamentos
Reducido	10%	×1,10	Alimentos en general, hostelería, transporte
General	21%	×1,21	Ropa, electrónica, la mayoría de servicios

✏ Ejemplo: Precio sin IVA = 200 €. Añadir IVA del 21%

IVA = 21% de 200 = \(\dfrac{21 \times 200}{100} = 42\text{ €}\)
Precio con IVA: \(200 + 42 = 242\text{ €}\)
Método rápido: \(200 \times 1{,}21 = 242\text{ €}\)

✅ Precio con IVA: 242 €

✏ Ejemplo: Precio con IVA = 363 €. ¿Cuál es el precio sin IVA? (IVA 21%)

El precio con IVA es el 121% del precio sin IVA.
\(\text{Sin IVA} = \dfrac{363}{1{,}21} = \dfrac{363 \times 100}{121} = 300\text{ €}\)
Comprobación: \(300 \times 1{,}21 = 363\text{ €}\) ✔

✅ Precio sin IVA: 300 €

🔄 Porcentajes Sucesivos (Encadenados)

¿Qué pasa cuando se aplican varios porcentajes seguidos? Por ejemplo: "30% de descuento más un 10% adicional". No son lo mismo que un único descuento del 40%. ¡Presta atención!

📌 Fórmula de porcentajes sucesivos

Para aplicar un aumento de \(r_1\%\) y luego uno de \(r_2\%\):

\[ \text{Final} = \text{Original} \times \left(1 + \frac{r_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{r_2}{100}\right) \]

Para descuentos: usa \(\left(1 - \dfrac{r}{100}\right)\) en cada factor.

✏ Ejemplo: Dos descuentos sucesivos de 20% y 10% sobre 300 €

Primer descuento (20%): \(300 \times 0{,}80 = 240\text{ €}\)
Segundo descuento (10%) sobre el nuevo precio: \(240 \times 0{,}90 = 216\text{ €}\)
Factor total: \(0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72\) → equivale a un único descuento del 28%, ¡no del 30%!

✅ Precio final: 216 € (descuento total del 28%, no del 30%)

⚠ ¡El orden NO importa en los descuentos sucesivos!

20% + 10% da el mismo resultado que 10% + 20%, ya que la multiplicación es conmutativa: \(0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72\)

Pero nunca sumes los porcentajes: 20% + 10% ≠ 30% en porcentajes sucesivos.

🆕 Calculadora de Porcentajes

¿Quieres probar la mejor calculadora de porcentajes online? Te será muy útil para comprobar tus problemas de porcentajes.

🎯 Ejercicios Interactivos con Solución

Intenta resolver cada problema antes de pulsar Ver solución. ¡Todos los pasos están detallados! 💪

🔵 Fichas Básicas: Los Tres Tipos

Dificultad:

Básica

🔵 Tipo 1: ¿Cuánto es el 35% de 280?

Dificultad:

Básica

🟢 Tipo 2: En una encuesta, 126 de 360 personas prefieren el chocolate. ¿Qué porcentaje es?

Dificultad:

Básica

🟠 Tipo 3: El 40% de un grupo de estudiantes son chicas. Si hay 28 chicas, ¿cuántos estudiantes hay en total?

🟠 Fichas Medias: Descuentos, IVA y Aumentos

Dificultad:

Media

💵 Una zapatillas cuestan 120 €. Están rebajadas un 25%. ¿Cuánto pagas?

Dificultad:

Media

💰 Una televisión cuesta 650 € sin IVA. El IVA es del 21%. ¿Cuál es el precio final con IVA?

Dificultad:

Media

📈 La población de un municipio era 24.000 habitantes. Ha aumentado un 5%. ¿Cuántos habitantes hay ahora?

Dificultad:

Media

🏪 Un comerciante compra un artículo por 400 € y lo vende con un beneficio del 30%. ¿A qué precio lo vende?

🔴 Fichas Avanzadas

Dificultad:

Alta

💵 Tras aplicar un aumento del 25%, un producto cuesta 1.000 €. ¿Cuál era el precio original?

Dificultad:

Alta

🔄 Una tienda aplica primero un 20% de descuento y después un 15% adicional sobre una chaqueta de 200 €. ¿Cuánto cuesta al final? ¿Es lo mismo que un único descuento del 35%?

Dificultad:

Alta

📈 El precio de un coche baja un 12% el primer año y sube un 8% el segundo. Si costaba 20.000 € inicialmente, ¿cuánto vale tras los dos cambios?

Dificultad:

Alta

💰 Pedro tiene 2.500 € ahorrados en un banco al 3% anual. Después de 2 años, ¿cuánto dinero tiene (con interés compuesto)?

Dificultad:

Avanzada

🏫 En un instituto, el 60% de los alumnos son de ESO y el 40% de Bachillerato. De los de ESO, el 45% son chicas. De los de Bachillerato, el 55% son chicas. Si hay 500 alumnos en total, ¿cuántas chicas hay?

📊 Resumen: Problemas de Porcentajes

Tipo de problema	Qué busco	Fórmula	Ejemplo
🔵 Tipo 1	La parte	\(\text{Parte}=\dfrac{\%\times\text{Total}}{100}\)	25% de 200 = 50
🟢 Tipo 2	El porcentaje	\(\%=\dfrac{\text{Parte}\times100}{\text{Total}}\)	50/200 = 25%
🟠 Tipo 3	El total	\(\text{Total}=\dfrac{\text{Parte}\times100}{\%}\)	25%=50 → total=200
🔺 Aumento r%	Nuevo valor	\(\times(1+r/100)\)	+8%: ×1,08
🔻 Descuento r%	Nuevo valor	\(\times(1-r/100)\)	−15%: ×0,85
🔄 % sucesivos	Valor final	Multiplicar los factores	×0,80×0,90=×0,72
💰 IVA	Precio con IVA	\(\times(1+\text{IVA}/100)\)	+21%: ×1,21

❓ Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre el 10% de descuento y el 10% de aumento? ▼

¿Cómo calculo el porcentaje de variación entre dos números? ▼

¿Los porcentajes sucesivos se pueden sumar? ▼

¿Puede un porcentaje ser mayor que 100%? ▼

¿Cómo calculo el precio sin IVA a partir del precio con IVA? ▼

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Consulta también:
Cómo calcular porcentajes fácilmente,
Cálculo mental
y
Trucos para multiplicar rápido.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Problemas de porcentajes. Paso a paso. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...