Racionalización de radicales: los tres casos explicados paso a paso
🔎 Índice de contenidos
Aprende a quitar las raíces del denominador de una fracción con ejemplos resueltos, una calculadora que muestra el proceso, ejercicios por niveles y flashcards para repasar.
¿Qué es racionalizar?
Racionalizar una fracción consiste en transformarla en otra equivalente que no tenga raíces en el denominador. El valor de la fracción no cambia: solo multiplicamos numerador y denominador por la misma expresión.
Idea clave: multiplicar arriba y abajo por lo mismo es multiplicar por \(1\). Elegimos ese "1" de forma que la raíz del denominador desaparezca.
Caso 1
Denominador con una raíz cuadrada: \(\dfrac{a}{b\sqrt{c}}\). Se multiplica por \(\sqrt{c}\).
Caso 2
Denominador con una raíz de índice \(n\): \(\dfrac{a}{\sqrt[n]{c^{m}}}\). Se multiplica por \(\sqrt[n]{c^{n-m}}\).
Caso 3
Denominador con una suma o resta: \(\dfrac{a}{\sqrt{b}\pm\sqrt{c}}\). Se multiplica por el conjugado.
Caso 1: una raíz cuadrada en el denominador
Si el denominador es de la forma \(b\sqrt{c}\), multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{c}\), porque \(\sqrt{c}\cdot\sqrt{c} = c\).
\[\frac{a}{b\sqrt{c}} = \frac{a\sqrt{c}}{b\cdot c}\]
Ejemplo: racionaliza \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\).
\[\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\]
Ejemplo con coeficiente: racionaliza \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}}\).
\[\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\]
Consejo: simplifica siempre el radical antes de empezar. Por ejemplo, \(\dfrac{1}{\sqrt{12}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\) y basta con multiplicar por \(\sqrt{3}\), no por \(\sqrt{12}\).
Caso 2: raíces de índice mayor que 2
Si el denominador es \(\sqrt[n]{c^{m}}\) con \(m\) menor que \(n\), necesitamos completar el exponente hasta \(n\). Multiplicamos por \(\sqrt[n]{c^{n-m}}\), ya que \(\sqrt[n]{c^{m}}\cdot\sqrt[n]{c^{n-m}} = \sqrt[n]{c^{n}} = c\).
\[\frac{a}{\sqrt[n]{c^{m}}} = \frac{a\cdot\sqrt[n]{c^{n-m}}}{c}\]
Ejemplo: racionaliza \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{5}}\).
\[\frac{2}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^{3}}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{5}\]
Ejemplo: racionaliza \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{2^{3}}}\).
\[\frac{1}{\sqrt[5]{2^{3}}} = \frac{\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{5}}} = \frac{\sqrt[5]{4}}{2}\]
Caso 3: suma o resta de raíces (el conjugado)
Si el denominador es un binomio como \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) o \(a-\sqrt{b}\), multiplicamos por su conjugado: la misma expresión con el signo central cambiado. Así aparece una diferencia de cuadrados y las raíces desaparecen.
\[(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{b})^{2} = a-b\]
Ejemplo: racionaliza \(\dfrac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\).
\[\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}\]
Ejemplo: racionaliza \(\dfrac{5}{2 + \sqrt{3}}\).
\[\frac{5}{2 + \sqrt{3}} = \frac{5(2-\sqrt{3})}{4-3} = 5(2-\sqrt{3}) = 10-5\sqrt{3}\]
| Denominador | Multiplicar por | Nuevo denominador |
|---|---|---|
| \(\sqrt{c}\) | \(\sqrt{c}\) | \(c\) |
| \(\sqrt[n]{c^{m}}\) | \(\sqrt[n]{c^{n-m}}\) | \(c\) |
| \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) | \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) | \(a-b\) |
| \(a-\sqrt{b}\) | \(a + \sqrt{b}\) | \(a^{2}-b\) |
Errores frecuentes
Multiplicar solo el denominador. Hay que multiplicar también el numerador; si no, la fracción cambia de valor.
Usar la propia expresión en vez del conjugado. \((\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})\) no elimina las raíces. Hay que cambiar el signo central.
Olvidar simplificar al final. En \(\dfrac{6\sqrt{3}}{6}\) el resultado es \(\sqrt{3}\), no se debe dejar la fracción sin reducir.
En raíces cúbicas, multiplicar por la misma raíz. \(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25}\), que sigue siendo irracional. Hay que llegar al exponente \(3\).
Calculadora de racionalización de radicales
Racionaliza fracciones de la forma \(\dfrac{a}{b + c\sqrt{d}}\). Si el denominador es solo una raíz, escribe \(b = 0\).
Solo números enteros. Ejemplos:
\(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\) → \(a = 3,\ b = 0,\ c = 1,\ d = 5\)
\(\dfrac{5}{2 + \sqrt{3}}\) → \(a = 5,\ b = 2,\ c = 1,\ d = 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}\) no entra porque tiene dos raíces; para \(\dfrac{1}{2-3\sqrt{2}}\) usa \(b = 2,\ c = -3,\ d = 2\).
Ejercicios resueltos
1Fácil
Racionaliza \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Ver solución
Multiplicamos por \(\sqrt{2}\) arriba y abajo.
\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
2Fácil
Racionaliza \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
Ver solución
\[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \boxed{2\sqrt{3}}\]
3Fácil
Racionaliza \(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\)
Ver solución
\[\frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2\cdot 5} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \boxed{\frac{\sqrt{5}}{2}}\]
4Fácil
Racionaliza \(\dfrac{3}{\sqrt{18}}\)
Ver solución
Primero simplificamos: \(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}\).
\[\frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]
5Intermedio
Racionaliza \(\dfrac{4}{\sqrt[3]{2}}\)
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Necesitamos completar \(2^{3}\) en el radicando. Multiplicamos por \(\sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[3]{4}\).
\[\frac{4}{\sqrt[3]{2}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} = \boxed{2\sqrt[3]{4}}\]
6Intermedio
Racionaliza \(\dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)
Ver solución
Conjugado: \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\).
\[\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = \boxed{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\]
7Intermedio
Racionaliza \(\dfrac{3}{3-\sqrt{6}}\)
Ver solución
Conjugado: \(3 + \sqrt{6}\).
\[\frac{3(3 + \sqrt{6})}{9-6} = \frac{9 + 3\sqrt{6}}{3} = \boxed{3 + \sqrt{6}}\]
8Avanzado
Racionaliza \(\dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}-1}\)
Ver solución
Conjugado: \(\sqrt{2} + 1\).
\[\frac{(\sqrt{2} + 1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = \boxed{3 + 2\sqrt{2}}\]
9Avanzado
Racionaliza \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{3^{3}}}\) y después \(\dfrac{2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) con \(x \neq y\)
Ver solución
Primera: falta \(3^{1}\) para llegar a \(3^{4}\). Multiplicamos por \(\sqrt[4]{3}\).
\[\frac{1}{\sqrt[4]{3^{3}}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^{4}}} = \boxed{\frac{\sqrt[4]{3}}{3}}\]
Segunda: conjugado \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\).
\[\frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x-y} = \boxed{\frac{2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}{x-y}}\]
Flashcards para repasar
Pulsa cada tarjeta para darle la vuelta.
Conclusión
Racionalizar es una técnica mecánica una vez identificas el caso: raíz cuadrada sola, raíz de índice \(n\) o binomio con raíces. Elige el factor adecuado, multiplica arriba y abajo, y simplifica el resultado.
🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo?
Consulta también:
Propiedades de las raíces
y
Suma y resta de radicales.
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