Álgebra esencial · guía práctica
Inecuaciones de primer grado: aprende a resolverlas sin confundir el signo
🔎 Índice de contenidos
- Inecuaciones de primer grado: aprende a resolverlas sin confundir el signo
- ¿Qué es una inecuación de primer grado?
- La regla de oro: cuándo cambia el sentido del signo
- Cómo resolver una inecuación paso a paso
- Cómo expresar la solución: desigualdad, intervalo y recta
- Tres ejemplos resueltos
- Practica: 8 ejercicios interactivos
- Repaso rápido: 8 flashcards
- Calculadora de inecuaciones de primer grado
Una inecuación de primer grado se parece muchísimo a una ecuación, pero en vez de una solución única te da un conjunto entero de soluciones. El único truco que necesitas dominar es saber cuándo el signo de la desigualdad cambia de sentido. Te lo explico con ejemplos, ejercicios y una calculadora que resuelve cualquier inecuación paso a paso.
¿Qué es una inecuación de primer grado?
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una expresión en la que dos cantidades se comparan mediante uno de estos símbolos: <, >, ≤ o ≥, y en la que la incógnita aparece elevada solo a la potencia 1. Por ejemplo:
3x − 5 < 10
Su solución no es un único valor, sino todos los números que hacen cierta la desigualdad. En este caso, cualquier x menor que 5.
Idea clave: resolver una inecuación es exactamente igual que resolver una ecuación de primer grado, con una única diferencia importante que veremos ahora mismo.
La regla de oro: cuándo cambia el sentido del signo
Puedes sumar o restar lo que quieras a ambos lados de una inecuación sin que pase nada. El problema aparece al multiplicar o dividir:
Multiplicas o divides por positivo
El signo de la desigualdad se mantiene igual.
2x < 8 → x < 4
Multiplicas o divides por negativo
El signo de la desigualdad se invierte.
−2x < 8 → x > −4
Truco para no fallar nunca: intenta despejar la x dejándola siempre con coeficiente positivo, moviendo los términos con x al lado donde queden en positivo. Así evitas tener que invertir el signo.
Cómo resolver una inecuación paso a paso
Quita paréntesis y denominadores
Igual que en una ecuación: aplica la propiedad distributiva y multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores si los hay.
Agrupa términos semejantes
Deja las x en un lado y los números en el otro, sumando o restando en ambos miembros.
Despeja la incógnita
Divide por el coeficiente de x. Si ese coeficiente es negativo, invierte el signo de la desigualdad.
Expresa la solución
Escríbela como desigualdad, como intervalo y represéntala en la recta numérica.
Cómo expresar la solución: desigualdad, intervalo y recta
| Desigualdad | Intervalo | ¿Incluye el extremo? |
|---|---|---|
| x < 4 | (−∞, 4) | No, corchete abierto |
| x ≤ 4 | (−∞, 4] | Sí, corchete cerrado |
| x > −2 | (−2, +∞) | No, corchete abierto |
| x ≥ −2 | [−2, +∞) | Sí, corchete cerrado |
En la recta numérica, un círculo vacío indica que el extremo no se incluye (por eso se usa con < y >), y un círculo relleno indica que sí se incluye (con ≤ y ≥).
Tres ejemplos resueltos
Resuelve 2x + 3 ≤ 11
Resto 3 en ambos lados: 2x ≤ 8. Divido entre 2 (positivo, no cambia el signo): x ≤ 4.
← ────●───────→ (−∞, 4]Resuelve −3x + 6 > 0
Resto 6: −3x > −6. Divido entre −3, así que invierto el signo: x < 2. Resultado: x < 2.
← ────○───────→ (−∞, 2)Resuelve 4(x − 1) ≥ 2x + 6
Distribuyo: 4x − 4 ≥ 2x + 6. Agrupo: 4x − 2x ≥ 6 + 4 → 2x ≥ 10. Divido entre 2: x ≥ 5.
← ────────●───→ [5, +∞)
Practica: 8 ejercicios interactivos
Resuelve cada inecuación en tu cuaderno, exprésala como intervalo y luego comprueba.
1. Resuelve x + 7 > 12.
Resta 7: x > 5. Intervalo: (5, +∞).
2. Resuelve 3x ≤ −9.
Divide entre 3 (positivo): x ≤ −3. Intervalo: (−∞, −3].
3. Resuelve −x > 4.
Multiplica por −1 e invierte el signo: x < −4. Intervalo: (−∞, −4).
4. Resuelve 5x − 2 < 3x + 8.
2x < 10 → x < 5. Intervalo: (−∞, 5).
5. Resuelve −2(x − 3) ≤ 10.
−2x + 6 ≤ 10 → −2x ≤ 4 → x ≥ −2 (se invierte el signo). Intervalo: [−2, +∞).
6. Resuelve x/2 + 1 > 4.
x/2 > 3 → x > 6. Intervalo: (6, +∞).
7. Resuelve 6 − x ≥ 2x − 3.
9 ≥ 3x → x ≤ 3. Intervalo: (−∞, 3].
8. Resuelve 2(x + 1) < 3(x − 1).
2x + 2 < 3x − 3 → 5 < x → x > 5. Intervalo: (5, +∞).
Repaso rápido: 8 flashcards
Haz clic o pulsa Enter sobre una tarjeta para darle la vuelta.
¿Cuándo se invierte el signo?
Al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo.
¿Qué representa un círculo vacío?
Que ese extremo no se incluye (con < o >).
¿Qué representa un círculo relleno?
Que ese extremo sí se incluye (con ≤ o ≥).
x < 4 en intervalo
(−∞, 4)
x ≥ −2 en intervalo
[−2, +∞)
¿Sumar/restar cambia el signo?
Nunca. Solo multiplicar o dividir por negativos lo cambia.
Truco para no invertir el signo
Deja siempre la x con coeficiente positivo al despejar.
Diferencia con una ecuación
La ecuación da un valor único; la inecuación da infinitos valores.
Calculadora de inecuaciones de primer grado
Introduce a, b, el signo y c para resolver ax + b ⋛ c.
Preguntas frecuentes sobre inecuaciones de primer grado
¿Por qué se invierte el signo al multiplicar por un negativo?
Porque multiplicar por un negativo invierte el orden de los números en la recta numérica: si a < b, entonces −a > −b.
¿Una inecuación siempre tiene infinitas soluciones?
Casi siempre, sí: el conjunto solución suele ser un intervalo con infinitos números. Solo en casos especiales (con varias condiciones) el conjunto puede reducirse mucho.
¿Cómo compruebo si mi solución es correcta?
Sustituye un valor del intervalo obtenido en la inecuación original y verifica que la desigualdad se cumple. También prueba con un valor fuera del intervalo para confirmar que no se cumple.
¿Qué diferencia hay entre < y ≤?
< excluye el valor límite (desigualdad estricta) y ≤ lo incluye (desigualdad no estricta). Se representan con círculo vacío y relleno, respectivamente.
¿Se pueden resolver inecuaciones con fracciones?
Sí. Multiplica ambos lados por el mínimo común múltiplo de los denominadores (que es positivo) para eliminarlos sin alterar el sentido de la desigualdad.
¿Qué son los sistemas de inecuaciones?
Son dos o más inecuaciones que deben cumplirse a la vez. La solución final es la intersección de los intervalos de cada una.
Conclusión: domina el único punto delicado
Resolver inecuaciones de primer grado es prácticamente igual que resolver ecuaciones: la única diferencia real está en recordar cuándo invertir el signo. Practica con los ejercicios, repasa las flashcards y usa la calculadora para verificar tus soluciones antes de un examen.
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Operaciones combinadas con fracciones: guía y eje...Espero que te haya gustado este artículo sobre Inecuaciones de primer grado: teoría, ejercicios y calculadora. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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