Propiedades de las potencias: Todo lo que debes saber sobre exponentes y operaciones

¿Cómo funcionan las potencias y qué reglas las gobiernan? 🤔 No te preocupes, aquí te explico todo de manera sencilla. Las propiedades de las potencias son herramientas muy útiles que te ayudarán a simplificar operaciones matemáticas. Aquí las descubrirás todas, con muchos ejemplos prácticos.

¿Qué es una potencia?

Es una operación matemática que permite expresar una multiplicación repetida de un mismo número. Se compone de dos elementos principales: la base y el exponente.

• La base es el número que se multiplica por sí mismo
• El exponente indica cuántas veces se realiza esa multiplicación.

Por ejemplo, en \(2^3\) (que se lee "dos elevado a tres"), la base es 2 y el exponente es 3, lo que significa \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).

Las potencias son muy útiles para simplificar cálculos  y aparecen frecuentemente en álgebra y muchas otras áreas de las matemáticas.

Propiedades de las potencias con la misma base

Son las más sencillas y habituales. Vamos a por ellas!

Producto de potencias con la misma base

El producto de potencias con la misma base sigue una regla sencilla: se suman los exponentes. Matemáticamente, si tenemos dos potencias con la misma base, se aplica la siguiente propiedad:

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Donde: \( a \) es la base (que es la misma en ambas potencias) y \( m \) y \( n \) son los exponentes.

Ejemplo: \( 3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 \)

Del mismo modo, si tenemos \(3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}\), sumamos los exponentes \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{2}{3}\) para obtener \(3^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 3^{\frac{7}{6}}\).

Cociente de potencias con la misma base

Muy sencillo también. Sólo tienes que restar los exponentes. Matemáticamente, si tenemos dos potencias con la misma base, se aplica la siguiente propiedad:

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), siempre que \( a \neq 0 \).

Donde: \( a \) es la base (que es la misma en ambas potencias) y \( m \) y \( n \) son los exponentes.

Ejemplo: \( \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 \)

De manera similar, si tenemos \(2^{\frac{4}{5}} \div 2^{\frac{1}{2}}\), restamos los exponentes \(\frac{4}{5}\) y \(\frac{1}{2}\) para obtener \(2^{\frac{4}{5}-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{10}}\).

Propiedades de las potencias con distinta base

En estos casos, se operan las bases y se mantiene el exponte. Observa que lo que se repite, siempre se queda.

Producto de potencias con bases distintas

Cuando las potencias tienen bases distintas pero el mismo exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente. La propiedad es: \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \)

Ejemplo: \( 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 \)

Cociente de potencias con bases distintas

Se obtiene dividiendo las bases y manteniendo el exponente. La propiedad es: \( \frac{a^m}{b^m} = \left( \frac{a}{b} \right)^m \), siempre que \( b \neq 0 \).

Ejemplo: \( \frac{8^4}{2^4} = \left( \frac{8}{2} \right)^4 = 4^4 \)

Calculadora con potencias

Potencia de una potencia

En este caso, debes multiplicar los exponentes. Matemáticamente, la propiedad es: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Donde: \( a \) es la base y \( m \) y \( n \) son los exponentes.

Ejemplo: \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)

Potencias de un números negativos

Cuando elevamos un número negativo a una potencia, el signo del resultado dependerá de si el exponente es par o impar. Veamos:

Potencia de un número negativo con exponente par

Si el exponente es par, el resultado será positivo, ya que multiplicar un número negativo un número par de veces cancela el signo negativo. La propiedad es:

\( (-a)^n = a^n \), cuando \( n \) es par.

Ejemplo: \( (-3)^4 = 3^4 = 81 \)

Potencia de un número negativo con exponente impar

Si el exponente es impar, el resultado será negativo, ya que al multiplicar un número negativo un número impar de veces, el signo negativo se mantiene. La propiedad es:

\( (-a)^n = -a^n \), cuando \( n \) es impar.

Ejemplo: \( (-2)^3 = -(2^3) = -8 \)

Potencias con exponente negativo

Cuando una potencia tiene un exponente negativo, tienes que invertir la base y el exponente se vuelve positivo. La propiedad es:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), siempre que \( a \neq 0 \).

Ejemplo: \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)

Generalización: Si tenemos una fracción con exponente negativo, la propiedad se aplica invirtiendo la fracción:

\( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \), siempre que \( a \neq 0 \) y \( b \neq 0 \).

Ejemplo: \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8} \)

Ejercicios de potencias resueltos

Ejemplos de las propiedades de las potencias

Ejercicios resueltos de propiedades de las potencias en pdf

También existen las potencias de matrices, pero ese ya es otro cantar ...

Más información sobre las propiedades de las potencias y los exponentes

¿Cuáles son las 7 leyes de los exponentes?

Las leyes de los exponentes son reglas fundamentales que simplifican las operaciones con potencias. Aquí tienes las siete leyes de los exponentes que debes saber:

1. Producto de potencias: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. Cociente de potencias: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
3. Potencia de una potencia: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
4. Potencia de un producto: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
5. Potencia de un cociente: \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
6. Exponente cero: \( a^0 = 1 \) (si \( a \neq 0 \))
7. Exponente negativo: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (si \( a \neq 0 \))

Debes comprender cómo aplicar cada una de ellas, para manipular expresiones algebraicas que involucren exponentes.

¿Cuáles son las propiedades fundamentales de los exponentes? Resumen

Estas tres son  muy importantes: La propiedad del producto establece que al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Por otra parte, la propiedad del cociente indica que al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). Además, la propiedad de la potencia de una potencia nos dice que al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). No olvides estas reglas!

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