Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas: guía completa ✨

hace 3 semanas · Actualizado hace 3 semanas

🔎 Índice de contenidos

📌 ¿Qué es un sistema de inecuaciones con dos incógnitas?
🔢 Tipos de solución de un sistema de inecuaciones
🗻 Método gráfico paso a paso
✏️ Ejemplo 1 resuelto paso a paso
🚫 Ejemplo 2: Sistema sin solución
🔺 Sistema de tres inecuaciones con dos incógnitas
🏋️ Ejercicios de sistemas de inecuaciones

¿Te has atascado resolviendo un sistema de inecuaciones con dos incógnitas y no sabes por dónde empezar? Tranquilo, en este artículo aprenderás el método gráfico de cero, con ejemplos visuales, tablas y fichas interactivas. Al terminar, dominarás esta técnica y sabrás resolver cualquier sistema que te pongan en el examen. 💪

📌 ¿Qué es un sistema de inecuaciones con dos incógnitas?

Cuando tienes dos o más inecuaciones con las variables \( x \) e \( y \) y quieres que se cumplan todas a la vez, estás ante un sistema de inecuaciones con dos incógnitas.

📘 Definición: Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales en \( x \) e \( y \) que deben satisfacerse simultáneamente. La solución es el conjunto de todos los puntos \((x, y)\) del plano que verifican todas las inecuaciones del sistema a la vez.

Recuerda que una sola inecuación lineal con dos incógnitas divide el plano en dos semiplanos. Su solución es uno de esos semiplanos (que puede o no incluir la recta frontera, según lleve el signo “igual” o no). Cuando juntamos varias inecuaciones, la solución del sistema es la intersección de todos los semiplanos.

Por ejemplo, este es un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas:

{	\( x + y \leq 4 \) \( x - y < 2 \)

Buscamos todos los puntos \((x,y)\) que cumplen ambas condiciones a la vez. Eso será una región del plano (zona sombreada en verde cuando lo representemos).

🔢 Tipos de solución de un sistema de inecuaciones

A diferencia de los sistemas de ecuaciones (que dan un único punto), un sistema de inecuaciones puede tener tres tipos de solución:

📐

Región del plano

Lo más habitual. La solución es una zona (acotada o no) donde todos los puntos cumplen el sistema.

📍

Un único punto

Caso especial: todas las regiones solo se solapan en un punto concreto del plano.

🚫

Sin solución (∅)

Las regiones no se solapan en ningún punto: el sistema es incompatible.

⚠️ ¿Acotada o no acotada? La región solución puede ser un polígono cerrado (acotada) o extenderse al infinito en alguna dirección (no acotada). Ambos casos son válidos. Si el sistema tiene tres o más inecuaciones es más probable obtener una región acotada.

🗻 Método gráfico paso a paso

El método gráfico es la técnica estándar para resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Solo necesitas saber representar rectas y manejar desigualdades. Sigue estos 5 pasos:

Convierte cada inecuación en una ecuación

Sustituye el signo de desigualdad (\( < \), \( \leq \), \( > \), \( \geq \)) por un signo =. Así obtienes la recta frontera de cada inecuación.

Despeja y construye la tabla de valores

Despeja \( y \) para obtener la forma explícita \( y = mx + b \). Asigna dos valores de \( x \) (por ejemplo \( x=0 \) y \( x=2 \)) y calcula \( y \). Con dos puntos ya tienes la recta.

Traza la recta: continua o discontinua

Si la inecuación lleva \( \leq \) o \( \geq \) → traza la recta continua (la recta SÍ es parte de la solución).
Si lleva \( < \) o \( > \) → traza la recta discontinua / a trazos (la recta NO pertenece a la solución).

Elige el semiplano solución

Toma un punto de prueba que no esté sobre la recta (el punto (0, 0) casi siempre funciona). Sustítuyelo en la inecuación original:
— Si se cumple la desigualdad → ese semiplano es la solución.
— Si no se cumple → el semiplano opuesto es la solución.

Busca la intersección de todas las regiones

Repite los pasos 1–4 para cada inecuación del sistema. La solución del sistema es la zona donde se solapan todos los semiplanos. Si no hay zona común, el sistema no tiene solución.

💡 Truco infalible: El punto (0, 0) es el más cómodo para probar. Pero si alguna recta pasa exactamente por (0, 0), elige otro punto, por ejemplo (1, 0) o (0, 1).

✏️ Ejemplo 1 resuelto paso a paso

Vamos a resolver el siguiente sistema de inecuaciones con dos incógnitas:

{	\( x + y \leq 4 \) \( x - y < 2 \)

Rectas frontera

Inecuación 1: \( x + y = 4 \) (recta r₁) Inecuación 2: \( x - y = 2 \) (recta r₂)

Despejamos \( y \) y calculamos puntos

r₁: \( y = -x + 4 \)

\( x \)	0	4
\( y \)	4	0

r₂: \( y = x - 2 \)

\( x \)	0	2
\( y \)	−2	0

Tipo de línea

r₁ (\( \leq \)) → línea continua (pertenece a la solución)

r₂ (\( < \)) → línea discontinua (NO pertenece a la solución)

Probamos el punto (0, 0)

En r₁: \( 0 + 0 = 0 \leq 4 \) ✅ → el semiplano con (0,0) es solución de la 1ª.

En r₂: \( 0 - 0 = 0 < 2 \) ✅ → el semiplano con (0,0) es solución de la 2ª.

Intersección de semiplanos

La solución es la zona verde del gráfico. Las rectas se cortan en \( x+y=4 \) y \( x-y=2 \), es decir en el punto \( (3,1) \).

Gráfica del sistema x+y menor o igual a 4 y x-y menor que 2. Región solución sombreada en verde.

La zona verde es la solución del sistema. La línea azul continua (r₁) pertenece a la solución; la línea roja discontinua (r₂) NO pertenece.

✅ Solución: la región verde sombreada del plano (todos los puntos que cumplen ambas inecuaciones a la vez)

🚫 Ejemplo 2: Sistema sin solución

No siempre existe una región donde se solapan los semiplanos. Cuando las regiones son incompatibles, el sistema no tiene solución. Veamos un ejemplo muy claro:

{	\( x + y > 5 \) \( x + y < 2 \)

Rectas frontera

r₁: \( y = -x + 5 \) — línea discontinua (signo >)
r₂: \( y = -x + 2 \) — línea discontinua (signo <)

⚠️ Ambas rectas tienen la misma pendiente (−1): son paralelas. Nunca se cortarán.

Semiplanos y punto de prueba (0, 0)

\( x+y > 5 \): \( 0+0=0 > 5 \) ❌ → (0,0) NO cumple → la solución es el semiplano contrario (encima de r₁).

\( x+y < 2 \): \( 0+0=0 < 2 \) ✅ → (0,0) cumple → la solución es el semiplano debajo de r₂.

Intersección: inexistente

La primera inecuación exige estar por encima de \( y=-x+5 \) y la segunda exige estar por debajo de \( y=-x+2 \). Como r₁ siempre está encima de r₂ (porque 5 > 2), no existe ningún punto que cumpla ambas a la vez.

Gráfica del sistema sin solución x+y mayor que 5 y x+y menor que 2. Dos rectas paralelas con regiones incompatibles.

Las zonas azul y roja nunca se solapan — son paralelas e incompatibles. El sistema no tiene solución (∅).

🚫 Solución: sistema incompatible → no tiene solución, S = ∅

🔺 Sistema de tres inecuaciones con dos incógnitas

El método es exactamente el mismo que con dos inecuaciones: resuelves cada una por separado y buscas la zona donde las tres regiones se solapan. Con tres inecuaciones es más probable obtener una región acotada (un triángulo o polígono cerrado), lo cual es muy típico en problemas de programación lineal.

💎 Clave: Si alguna de las tres regiones no tiene zona en común con las otras dos, el sistema no tiene solución. Todas las regiones deben compartir una zona común para que exista solución.

Resolvamos este sistema de tres inecuaciones:

{	\( x \geq 0 \) \( y \geq 0 \) \( x + y \leq 4 \)

Inecuación 1: \( x \geq 0 \)

Frontera: eje Y (\( x = 0 \)) — línea continua. Solución: todo lo que está a la derecha del eje Y (valores de \( x \) positivos o cero).

Inecuación 2: \( y \geq 0 \)

Frontera: eje X (\( y = 0 \)) — línea continua. Solución: todo lo que está por encima del eje X. Con las dos primeras ya sabemos que la solución está en el primer cuadrante.

Inecuación 3: \( x + y \leq 4 \)

Despejamos: \( y \leq -x + 4 \) → r₃: \( y = -x + 4 \) — línea continua.
Prueba (0,0): \( 0+0=0 \leq 4 \) ✅ → región por debajo de r₃.

\(x\)	0	4
\(y\)	4	0

Vértices del triángulo solución

Calculamos los vértices intersectando las rectas frontera de dos en dos:

• \( x=0 \) ∩ \( y=0 \): → (0, 0)

• \( y=0 \) ∩ \( x+y=4 \): \( x=4 \) → (4, 0)

• \( x=0 \) ∩ \( x+y=4 \): \( y=4 \) → (0, 4)

Gráfica del sistema de tres inecuaciones x mayor o igual a 0, y mayor o igual a 0, x+y menor o igual a 4. Triángulo verde en el primer cuadrante.

La región solución es el triángulo verde con vértices en (0,0), (4,0) y (0,4). Los tres lados sí pertenecen a la solución (todos son ≤ o ≥).

✅ Solución: el triángulo de vértices (0, 0), (4, 0) y (0, 4), con sus tres lados incluidos.

🏋️ Ejercicios de sistemas de inecuaciones

Ahora te toca a ti. Intenta resolver cada sistema antes de hacer clic en el botón. Recuerda los 5 pasos del método gráfico.

Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

📝 Ejercicio 1

⭐ Básico

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones con dos incógnitas:

{	\( y \leq x + 3 \) \( y \geq -x + 1 \)

\(x\)	0	2
\(y\)	3	5

\(x\)	0	2
\(y\)	1	-1

📝 Ejercicio 2

⭐⭐ Intermedio

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones con dos incógnitas:

{	\( 2x - y \leq 4 \) \( x + 2y > 2 \)

\(x\)	0	2	4
\(y\)	-4	0	4

\(x\)	0	2	4
\(y\)	1	0	-1

📝 Ejercicio 3 — Sistema de 3 inecuaciones

⭐⭐⭐ Avanzado

Resuelve el sistema y calcula los vértices de la región solución:

{	\( x \geq 0 \) \( y \geq 0 \) \( 2x + y \leq 6 \)

\(x\)	0	3
\(y\)	6	0

⚠️ Errores frecuentes que debes evitar

Estos son los fallos más comunes que cometen los estudiantes al resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

📏

Error 1: Confundir línea continua y discontinua

Poner línea continua cuando el signo es estricto (< ó >) o viceversa.

✅ < y > → línea de trazos | ≤ y ≥ → línea continua

🎯

Error 2: Elegir el semiplano equivocado

No verificar el punto de prueba correctamente: olvidar sustituir en la inecuación original.

✅ Sustituye siempre en la inecuación con su signo de desigualdad

🔄

Error 3: No invertir la desigualdad al despejar

Al multiplicar o dividir por un número negativo hay que cambiar el signo: \( -y \geq 3 \) → \( y \leq -3 \).

✅ Negativo → cambia el sentido (< ↔ >, ≤ ↔ ≥)

❌

Error 4: No buscar la zona común

Pintar cada región por separado sin comprobar si tienen intersección común.

✅ La solución es SIEMPRE la zona donde se solapan TODAS las regiones a la vez

📍

Error 5: Usar (0,0) cuando la recta pasa por el origen

Si la ecuación es \( ax+by=0 \), el origen está sobre la recta y no sirve como punto de prueba.

✅ Usa otro punto: (1,0) ó (0,1)

🔢

Error 6: Calcular mal los vértices

Equivocarse al resolver el sistema de ecuaciones que da los vértices (clave en programación lineal).

✅ Resuelve el sistema de las dos ecuaciones frontera y comprueba el resultado

❓ Preguntas frecuentes

📋 Resumen rápido — Todo lo que necesitas saber

Concepto	Descripción	Ejemplo
Sistema de inecuaciones	2 o más inecuaciones que se cumplen simultáneamente	\( x+y \leq 4 \) y \( x-y < 2 \)
Solución	Intersección de los semiplanos de todas las inecuaciones	Zona verde sombreada
Línea continua	Inecuación con ≤ ó ≥ (la recta SÍ pertenece a la solución)	\( x + y \leq 4 \)
Línea discontinua	Inecuación con < ó > (la recta NO pertenece a la solución)	\( x - y < 2 \)
Punto de prueba	Usamos (0,0) para elegir el semiplano correcto	Sustituimos (0,0) en la inecuación
Sin solución (∅)	Las regiones no tienen zona común	\( x+y > 5 \) y \( x+y < 2 \)
Vértices de la región	Intersección de cada par de rectas frontera	(0,0), (4,0), (0,4)

🚀 Los 5 pasos en 10 segundos:
1️⃣ Convierte a ecuación → 2️⃣ Despeja y / tabla de valores → 3️⃣ Traza la recta (continua o discontinua) → 4️⃣ Prueba con (0,0) para elegir semiplano → 5️⃣ La solución es la intersección de todos los semiplanos.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...