Problemas de ecuaciones de segundo grado resueltos ✨

hace 16 horas · Actualizado hace 16 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es un problema de ecuaciones de segundo grado? 🤔
Claves para reconocerlos 📜
Tipos de problemas más frecuentes 🎯
Método paso a paso 🪜
Problemas de ecuaciones de segundo grado resueltos 💪
Tabla resumen 📋

📘 3º y 4º de ESO

Problemas de ecuaciones de segundo grado: cómo plantearlos y resolverlos paso a paso

¿Te bloqueas nada más leer el enunciado? Aquí no solo vas a repasar cómo se resuelve una ecuación de segundo grado, sino sobre todo cómo traducir un problema real a esa ecuación y cómo saber qué solución tiene sentido de verdad. 🚀

📝 "El área es 70 cm²…"

➜plantear

x² + 3x − 70 = 0

➜resolver

x = 7 cm ✅

⚡ Respuesta rápida

Un problema de ecuaciones de segundo grado es un enunciado en el que la relación entre las cantidades (un producto, un área, el cuadrado de un número…) se traduce en una ecuación del tipo:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Se resuelve con la fórmula general \( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \), y el paso que más se olvida —pero es el más importante— es comprobar cuál de las dos soluciones tiene sentido dentro del problema.

¿Qué es un problema de ecuaciones de segundo grado? 🤔

Un problema de ecuaciones de segundo grado es un enunciado con palabras —números, edades, superficies, velocidades…— que esconde detrás una ecuación del tipo \(ax^2+bx+c=0\). La dificultad no suele estar en resolver la ecuación una vez planteada, sino en el paso anterior: traducir correctamente el enunciado a lenguaje matemático.

A diferencia de una ecuación de segundo grado "suelta", aquí cada solución numérica tiene que interpretarse dentro del contexto del problema. Una ecuación puede dar dos soluciones matemáticamente correctas, pero solo una (o ninguna) tener sentido como respuesta real: una edad no puede ser negativa, una longitud tampoco, y un número de personas tiene que ser entero.

💡 La parte difícil no es resolver, es plantear

Piensa en estos problemas como una traducción de un idioma a otro: el "idioma" del enunciado (palabras) se convierte en el "idioma" del álgebra (una ecuación). Una vez tienes la ecuación bien planteada, resolverla es la parte mecánica; la parte que realmente hay que entrenar es la traducción.

Claves para reconocerlos 📜

✔️Aparece un producto de dos cantidades relacionadas: dos números, dos dimensiones de una figura, etc.

✔️Se menciona el cuadrado de la incógnita: "el cuadrado de un número", una superficie, un área…

✔️Hay un problema de área o superficie: rectángulos, cuadrados, terrenos…

✔️Aparecen fracciones con la incógnita en el denominador: problemas de trabajo conjunto o de velocidad, que al quitar denominadores generan un término al cuadrado.

✔️Una cantidad depende de otra que a su vez depende de la incógnita: edades dentro de unos años, números consecutivos…

Tipos de problemas más frecuentes 🎯

Tipo	Incógnita típica	Ecuación típica
Números	\(x\), \(x+1\) (consecutivos)	\(x(x+1)=k\)
Edades	\(x\) = edad actual	relación entre edades en distintos años
Geometría (área)	base \(=x\), altura \(=x+d\)	\(x(x+d)=\text{Área}\)
Perímetro + área	\(x\), \(\tfrac{P}{2}-x\)	\(x\left(\tfrac{P}{2}-x\right)=\text{Área}\)
Movimiento (\(d=v\cdot t\))	\(v\) = velocidad	ecuación con fracciones que se reduce a cuadrática
Trabajo conjunto	\(x\) = días de uno solo	\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+d}=\dfrac{1}{t}\)

⚠️ No todas las soluciones matemáticas son soluciones del problema

Una ecuación de segundo grado da hasta dos soluciones, pero eso no significa que el problema tenga dos respuestas válidas. Siempre hay que volver al enunciado y comprobar si cada solución tiene sentido: ¿puede una edad ser negativa? ¿puede una longitud ser negativa? ¿tiene que ser un número entero?

Método paso a paso 🪜

Identifica la incógnita y nómbrala con una letra (normalmente \(x\)). Expresa el resto de cantidades del enunciado en función de esa \(x\).

Traduce el enunciado a una ecuación, usando la relación que da el problema (un producto, un área, una suma, una fracción…).

Ordena la ecuación en la forma \(ax^2+bx+c=0\) y resuélvela, con la fórmula general o por factorización.

Comprueba las dos soluciones en el contexto del problema y descarta las que no tengan sentido (negativas, no enteras si se pide un número entero, etc.).

Redacta la respuesta final con las unidades correctas, no solo el valor numérico de \(x\).

💡 Truco para no perderte al traducir

Traduce el enunciado frase por frase, en el mismo orden en que aparece. "El doble de un número más 3" es \(2x+3\), no \(2(x+3)\): el orden de las palabras en español no siempre coincide con el orden natural de escribir la expresión algebraica, así que ve palabra a palabra en vez de intentar traducir la frase entera de un golpe.

Problemas de ecuaciones de segundo grado resueltos 💪

Practica con problemas de distintos tipos. Fíjate especialmente en cómo se decide, en cada caso, qué solución de la ecuación es la respuesta correcta.

🟢 Básico

Ejercicio 1. El producto de dos números naturales consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos números?

Números naturales consecutivos cuyo producto es 132

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Paso 1: Llamamos \(x\) al primer número; el siguiente consecutivo es \(x+1\).

Paso 2: Planteamos la ecuación: \( x(x+1) = 132 \), es decir, \( x^2 + x - 132 = 0 \).

Paso 3: Aplicando la fórmula general: \( x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+528}}{2} = \dfrac{-1 \pm 23}{2} \), luego \(x=11\) o \(x=-12\).

Paso 4: Como se pide un número natural, descartamos \(x=-12\). La solución es \(x=11\).

✅ Resultado: los números son 11 y 12

🟢 Básico

Ejercicio 2. La suma de un número y su cuadrado es 20. ¿Qué número o números pueden ser?

Número \(x\) tal que \( x + x^2 = 20 \)

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Paso 1: Llamamos \(x\) al número buscado. La ecuación es \( x^2 + x - 20 = 0 \).

Paso 2: Aplicando la fórmula general: \( x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+80}}{2} = \dfrac{-1 \pm 9}{2} \), luego \(x=4\) o \(x=-5\).

Paso 3: El enunciado dice "un número", sin más restricciones, así que ninguna solución se descarta: ambas son válidas.

✅ Resultado: el número puede ser 4 o −5

🟡 Medio

Ejercicio 3. La edad de Ana dentro de 4 años, multiplicada por su edad actual, da 96. ¿Cuántos años tiene Ana ahora?

Edad actual \(x\) tal que \( x(x+4) = 96 \)

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Paso 1: Llamamos \(x\) a la edad actual de Ana; dentro de 4 años tendrá \(x+4\).

Paso 2: Planteamos: \( x(x+4) = 96 \), es decir, \( x^2 + 4x - 96 = 0 \).

Paso 3: Fórmula general: \( x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16+384}}{2} = \dfrac{-4 \pm 20}{2} \), luego \(x=8\) o \(x=-12\).

Paso 4: Una edad no puede ser negativa, así que descartamos \(x=-12\).

✅ Resultado: Ana tiene 8 años

🟡 Medio

Ejercicio 4. El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho. Si el área es 70 cm², halla sus dimensiones.

Ancho \(x\), largo \(x+3\), tales que \( x(x+3) = 70 \)

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Paso 1: Llamamos \(x\) al ancho (en cm); el largo es \(x+3\).

Paso 2: El área es base por altura: \( x(x+3) = 70 \), es decir, \( x^2 + 3x - 70 = 0 \).

Paso 3: Fórmula general: \( x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+280}}{2} = \dfrac{-3 \pm 17}{2} \), luego \(x=7\) o \(x=-10\).

Paso 4: Una longitud no puede ser negativa, así que descartamos \(x=-10\). El ancho es 7 cm y el largo, 10 cm.

✅ Resultado: 7 cm de ancho y 10 cm de largo

🟡 Medio

Ejercicio 5. El perímetro de un rectángulo es 22 cm y su área es 24 cm². Halla sus dimensiones.

Perímetro \(2(x+y)=22\), área \(xy=24\)

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Paso 1: Del perímetro: \( 2(x+y)=22 \Rightarrow x+y=11 \Rightarrow y = 11-x \).

Paso 2: Sustituyendo en el área: \( x(11-x) = 24 \), es decir, \( x^2 - 11x + 24 = 0 \).

Paso 3: Fórmula general: \( x = \dfrac{11 \pm \sqrt{121-96}}{2} = \dfrac{11 \pm 5}{2} \), luego \(x=8\) o \(x=3\).

Paso 4: Aquí las dos soluciones son válidas: describen el mismo rectángulo, solo que intercambiando cuál lado llamamos \(x\) y cuál \(y\).

✅ Resultado: dimensiones 3 cm × 8 cm

🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Una empresa tarda \(x\) días en completar un pedido ella sola; otra tarda 3 días más que la primera. Trabajando juntas, tardan 2 días. ¿Cuánto tarda cada una por separado?

\[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{1}{2} \]

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Paso 1: Multiplicamos toda la ecuación por \(2x(x+3)\) para quitar denominadores: \( 2(x+3) + 2x = x(x+3) \).

Paso 2: Desarrollando: \( 4x + 6 = x^2 + 3x \), es decir, \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Paso 3: Fórmula general: \( x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \), luego \(x=3\) o \(x=-2\).

Paso 4: Un número de días no puede ser negativo, así que descartamos \(x=-2\). La primera empresa tarda 3 días; la segunda, \(3+3=6\) días.

✅ Resultado: 3 días la primera empresa, 6 días la segunda

🔴 Avanzado

Ejercicio 7. Un ciclista recorre 60 km a velocidad constante. Si hubiera ido 5 km/h más rápido, habría tardado 1 hora menos. ¿A qué velocidad iba?

\[ \dfrac{60}{v} - \dfrac{60}{v+5} = 1 \]

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Paso 1: Llamamos \(v\) a la velocidad original. El tiempo real es \(60/v\) y el tiempo hipotético, \(60/(v+5)\), que es una hora menos.

Paso 2: Multiplicando por \(v(v+5)\) para quitar denominadores: \( 60(v+5) - 60v = v(v+5) \).

Paso 3: Desarrollando: \( 300 = v^2 + 5v \), es decir, \( v^2 + 5v - 300 = 0 \).

Paso 4: Fórmula general: \( v = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+1200}}{2} = \dfrac{-5 \pm 35}{2} \), luego \(v=15\) o \(v=-20\).

Paso 5: Una velocidad no puede ser negativa, así que descartamos \(v=-20\).

✅ Resultado: iba a 15 km/h

Errores más comunes ⚠️

❌ No comprobar las dos soluciones en el enunciado original
A veces solo una tiene sentido (una edad o una longitud negativa no valen), y hay que descartarla explícitamente en la respuesta, no simplemente "quedarse con la positiva" sin justificarlo.

❌ Traducir mal una expresión verbal
"El doble de un número más 3" es \(2x+3\), no \(2(x+3)\). Conviene traducir palabra a palabra, respetando el orden del enunciado.

❌ No igualar la ecuación a cero antes de aplicar la fórmula general
Dejar la ecuación como \(ax^2+bx=c\) en vez de \(ax^2+bx-c=0\) lleva a usar mal los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la fórmula.

❌ Confundir área y perímetro en problemas de geometría
Usar la fórmula del perímetro donde tocaba la del área (o al revés) es uno de los fallos más frecuentes al plantear la ecuación.

❌ Quitar mal los denominadores en problemas de trabajo o movimiento
Al multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, es fácil olvidar multiplicar algún término, lo que deja una ecuación de segundo grado mal planteada desde el principio.

Comprobación numérica 🧮

Antes de dar por buena una solución, siempre puedes verificarla probando valores de \(x\) cerca del resultado y comprobando que se cumple la condición del enunciado.

Verificación del Ejercicio 1 (\(x(x+1)=132\))

x	x·(x+1)
9	90
10	110
11	132 ✅
12	156

✅ El producto buscado era 132, y solo se alcanza exactamente en \(x=11\).

Verificación del Ejercicio 4 (\(x(x+3)=70\))

x (cm)	x·(x+3)
6	54
6,5	61,75
7	70 ✅
7,5	78,75
8	88

✅ El área buscada era 70 cm², y se alcanza exactamente con un ancho de \(x=7\) cm.

Verificación del Ejercicio 7 (\(60/v - 60/(v+5) = 1\))

v (km/h)	60/v − 60/(v+5)
13	1,282
14	1,128
15	1,000 ✅
16	0,893
17	0,802

✅ La diferencia de tiempos buscada era 1 hora, y se alcanza exactamente con \(v=15\) km/h.

Tabla resumen 📋

Concepto	Fórmula
Fórmula general	\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
Discriminante	\( \Delta = b^2-4ac \)
Números naturales consecutivos	\( x(x+1) = k \)
Área de un rectángulo	\( \text{base} \times \text{altura} = \text{Área} \)
Distancia, velocidad, tiempo	\( d = v \cdot t \)
Trabajo conjunto	\( \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_{juntos}} \)

Preguntas frecuentes ❓

¿Cómo sé si un problema se resuelve con una ecuación de segundo grado?

Cuando aparece el producto de dos cantidades relacionadas con la incógnita, el cuadrado de la incógnita, o fracciones con la incógnita en el denominador que, al quitar denominadores, dejan un término al cuadrado.

¿Qué hago si la ecuación da dos soluciones pero el problema pide un solo número?

Sustituye ambas soluciones en el enunciado original y descarta la que no tenga sentido en el contexto (negativa, no entera, etc.). Si ninguna se puede descartar, entonces las dos son respuestas válidas.

¿Por qué a veces las dos soluciones son válidas?

Porque, matemáticamente, ambas cumplen la ecuación planteada, y el enunciado no impone ninguna restricción extra que obligue a descartar una de ellas (como ocurre, por ejemplo, cuando el problema simplemente pide "un número").

¿Cómo traduzco expresiones como "el triple de un número menos 5"?

Literalmente, término a término y en el orden en que aparecen: \(3x - 5\).

¿Es imprescindible usar la fórmula general para resolver estos problemas?

No siempre. Si la ecuación es fácilmente factorizable, se puede resolver por factorización, pero la fórmula general funciona en todos los casos, así que es la opción más segura si tienes dudas.

¿Qué pasa si el discriminante sale negativo?

Significa que no hay solución real, así que el problema tal y como está planteado no tendría solución. Normalmente es señal de que hay un error al plantear la ecuación, y conviene revisar la traducción del enunciado.

🎉 ¡Ya sabes plantear y resolver estos problemas!

El secreto no está en memorizar tipos de ~~problemas~~(retos), sino en traducir con calma cada frase del enunciado y comprobar siempre qué solución tiene sentido real. Con práctica, ese primer paso de "plantear la ecuación" te dejará de dar miedo.

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Ecuaciones de segundo grado,
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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...