Tasa de variación media: fórmula y ejercicios ✨

hace 32 minutos · Actualizado hace 32 minutos

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la tasa de variación media? 🤔
La fórmula de la tasa de variación media, deducida paso a paso
Los 3 pasos para calcular cualquier tasa de variación media
Ejercicios resueltos para que practiques 💪
Casos especiales que tienes que conocer

📘 4º de ESO - 1ºBACH

La tasa de variación media: cómo medir cuánto cambia algo

¿Cuánto sube mi nota si estudio más? ¿Cuánto cambia el precio de la gasolina? ¿A qué velocidad me muevo? Todas estas preguntas se responden con la tasa de variación media. Te lo explico sin complicaciones, con ejemplos reales que entiendas. 🚀

Punto inicial

→

Punto final

→

Tasa de variación

⚡ Respuesta rápida

La tasa de variación es la cantidad que cambia algo (una función, un precio, una velocidad) de un punto a otro. La fórmula es simple:

$$\text{Tasa de variación} = \dfrac{\text{valor final} - \text{valor inicial}}{\text{tiempo o incremento}}$$

O dicho de otra forma, si tengo una función $f(x)$, la tasa de variación entre dos puntos $x = a$ y $x = b$ es: $ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} $. Eso es todo lo que necesitas recordar.

Imagen visual de la tasa de variación media

¿Qué es la tasa de variación media? 🤔

Te lo explico como lo haría en clase: la tasa de variación es simplemente la respuesta a la pregunta "¿cuánto ha cambiado algo?". Pero no es el cambio puro, sino el cambio relativo, es decir, cuánto cambió por unidad (por segundo, por kilo, por unidad de x, etc.).

Un ejemplo: si en enero tenía 100 euros y en marzo tengo 130 euros, el cambio es de 30 euros. Pero la tasa de variación es de 15 euros por mes (30 euros ÷ 2 meses). ¿Ves la diferencia? Uno es el cambio bruto, el otro es el cambio "por unidad de tiempo".

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Mide cómo cambia una cantidad de un punto a otro

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Siempre es un cociente (división): cambio en la variable / cambio en el tiempo o la x

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Puede ser positiva (crece), negativa (decrece) o cero (no cambia)

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Es la base para entender después las derivadas

La fórmula de la tasa de variación media, deducida paso a paso

Imagina que tienes una función $f(x)$ que describe algo: una temperatura, un precio, tu altura según pasan los años, lo que sea. Quieres saber cuánto cambió esa función entre dos momentos: desde $x = a$ hasta $x = b$.

Calcula el cambio en la función: el valor final menos el valor inicial. Eso es $ f(b) - f(a) $.

Calcula el cambio en x: el incremento o tiempo transcurrido. Eso es $ b - a $ (que a veces se escribe como $ \Delta x $).

Divide el cambio en f entre el cambio en x: ese cociente es la tasa de variación media.

$$\text{T.V.} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Eso es todo. La fórmula es casi una frase: "cambio en la función, dividido por cambio en x".

💡 Nota importante

La tasa de variación media es la pendiente de la recta que une dos puntos de la gráfica. Si lo visualizas, verás una recta secante (una línea que cruza la curva en dos puntos), y su inclinación es exactamente la tasa de variación.

Los 3 pasos para calcular cualquier tasa de variación media

Identifica los dos puntos: ¿cuál es el punto inicial (a, f(a)) y cuál es el punto final (b, f(b))?

Calcula $f(b) - f(a)$: la diferencia en los valores de y (o la función).

Calcula $b - a$: la diferencia en los valores de x (el incremento).

Luego divide lo del paso 2 entre lo del paso 3, y ya tienes tu tasa de variación media.

Un primer ejemplo, muy despacio

Vamos con un ejercicio facilito para que veas cómo fluye todo junto:

🟢 Básico

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 2x + 3$ entre $x = 1$ y $x = 4$.

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Paso 1: Identifico los puntos. Tengo $a = 1$ y $b = 4$.

Ahora necesito calcular $f(1)$ y $f(4)$.

Paso 2: Calculo $f(1)$ y $f(4)$.

$ f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 $

$ f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 $

Paso 3: Aplico la fórmula de la tasa de variación.

$ \text{T.V.} = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{11 - 5}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 $

La tasa de variación es 2. Esto significa que por cada unidad que aumenta x, la función aumenta 2 unidades.

Ejercicios resueltos para que practiques 💪

🟢 Básico

Calcula la tasa de variación de $f(x) = x^2$ entre $x = 2$ y $x = 5$.

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Paso 1: Calculo $f(2)$ y $f(5)$.

$ f(2) = 2^2 = 4 $

$ f(5) = 5^2 = 25 $

Paso 2: Aplico la fórmula.

$ \text{T.V.} = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{25 - 4}{3} = \dfrac{21}{3} = 7 $

Paso 3: Interpreto el resultado.

Entre x = 2 y x = 5, la función sube 7 unidades por cada unidad de x.

T.V. = 7

🟢 Básico

Un depósito de agua tiene 500 litros el día 1 y 350 litros el día 5. ¿Cuál es la tasa de variación del volumen de agua?

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Paso 1: Identifico los datos.

Día inicial = 1, volumen inicial = 500 litros

Día final = 5, volumen final = 350 litros

Paso 2: Calculo el cambio en volumen.

$ f(5) - f(1) = 350 - 500 = -150 \text{ litros} $

Paso 3: Aplico la fórmula.

$ \text{T.V.} = \dfrac{-150}{5 - 1} = \dfrac{-150}{4} = -37.5 \text{ litros/día} $

T.V. = -37.5 litros/día. El signo negativo significa que el agua está disminuyendo, no aumentando.

🟠 Medio

Calcula la tasa de variación de $f(x) = x^2 - 2x$ entre $x = 1$ y $x = 4$.

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Paso 1: Calculo $f(1)$ y $f(4)$.

$ f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 $

$ f(4) = 4^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8 $

Paso 2: Aplico la fórmula.

$ \text{T.V.} = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{8 - (-1)}{3} = \dfrac{8 + 1}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 $

Paso 3: Verificación.

La función aumenta en promedio 3 unidades por cada unidad de x entre estos dos puntos.

T.V. = 3

🔴 Avanzado

La posición de un coche en una carretera está dada por $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, donde t está en segundos y s en metros. Calcula la tasa de variación media entre $t = 1$ y $t = 4$ segundos. ¿Qué significa físicamente?

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Paso 1: Calculo $s(1)$ y $s(4)$.

$ s(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \text{ m} $

$ s(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \text{ m} $

Paso 2: Aplico la fórmula de tasa de variación.

$ \text{T.V.} = \dfrac{s(4) - s(1)}{4 - 1} = \dfrac{4 - 4}{3} = \dfrac{0}{3} = 0 \text{ m/s} $

Paso 3: Interpretación.

La velocidad media del coche entre t = 1 y t = 4 es 0 m/s. Esto significa que aunque el coche se movió durante esos 3 segundos, terminó en la misma posición donde empezó. ¡Se fue y volvió!

T.V. = 0 m/s. La velocidad media es cero porque la posición inicial y final son idénticas.

Casos especiales que tienes que conocer

⚠️ Tasa de variación negativa

Cuando el resultado es negativo, significa que la función está decreciendo entre los dos puntos. No es un error. Por ejemplo, si tus calificaciones bajan, la tasa de variación sería negativa.

Error común: Confundir "tasa de variación" con "cambio absoluto". Recuerda: la tasa de variación siempre incluye la división por el incremento. Si olvidas dividir, te falta un paso.

💡 Truco: la recta secante

La tasa de variación entre dos puntos de una gráfica es exactamente la pendiente de la recta que une esos dos puntos. Si dibujas la gráfica, veras una línea recta oblicua (secante) que conecta los dos puntos. Su inclinación es tu tasa de variación.

🎯 Conexión con las derivadas

La tasa de variación que estamos calculando aquí se llama también tasa de variación media. Cuando los dos puntos se acercan mucho (hasta casi coincidir), esa tasa de variación media se convierte en la derivada. Es el siguiente paso que aprenderás.

Preguntas que me hacen siempre ❓

¿La tasa de variación siempre es una fracción?

No. Aunque siempre calcules una división, el resultado puede ser un número entero, una fracción, decimal, negativo... lo que sea. Por ejemplo, si la tasa de variación es 3, eso está perfectamente bien. Solo significa que el cociente salió exacto.

¿Qué pasa si $b = a$? (es decir, si los dos puntos son el mismo)

Entonces divides por cero, que es imposible. Por eso los dos puntos siempre tienen que ser distintos. En problemas reales, esto significa que el tiempo o la variable x debe haber cambiado.

¿La tasa de variación depende del orden de los puntos?

Sí, pero solo en el signo. Si cambias el orden (es decir, cuál es inicial y cuál es final), el resultado cambia de signo. Pero el valor absoluto es el mismo. En la mayoría de problemas, el contexto te dice cuál debe ser el orden.

¿Para qué sirve la tasa de variación en la vida real?

Muchísimo. La velocidad es una tasa de variación (cambio de posición / tiempo). El crecimiento de una población es una tasa de variación. La inflación es una tasa de variación. Cualquier cosa que "cambia con el tiempo" usa tasas de variación.

¿Cómo dibujo la tasa de variación en una gráfica?

Marca los dos puntos en la gráfica, dibuja una recta que los conecte (recta secante), y la pendiente de esa recta es tu tasa de variación. Cuanto más inclinada esté, mayor es la tasa de variación.

🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo?

Consulta también:
Funciones racionales,
Ejercicios de funciones
y
Funciones definidas a trozos.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...