Ejercicios de límites resueltos paso a paso ✨

hace 24 horas · Actualizado hace 2 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es un límite y una indeterminación? 🤔
Tipos de indeterminación 📜
Estrategias para resolver ejercicios de límites 🪜
Ejercicios de límites en PDF
Sustitución directa 🧮
Indeterminación 0/0: factorización ✂️
Indeterminación 0/0: racionalización 🌀
Indeterminación ∞/∞: funciones racionales ♾️
Indeterminación ∞ − ∞ ➖
Límites laterales y continuidad ↔️
Límites en el infinito y asíntotas 📈
El número e (indeterminación 1^∞) 🅴
Límites trigonométricos notables 📐
Indeterminación 0 × ∞ 0️⃣
Ejercicios de límites con la regla de L'Hôpital 🪜

📘 2º de Bachillerato · Selectividad / EBAU

26 Ejercicios de límites resueltos paso a paso

Una colección organizada por tipo de indeterminación: sustitución directa, 0/0, ∞/∞, ∞−∞, el número e, límites trigonométricos, 0×∞ y la regla de L'Hôpital🚀

f(x)

➜x → a

⚡ Respuesta rápida

Un límite estudia hacia qué valor se acerca \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a un punto \(a\) (o a infinito):

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

La mayoría de los ejercicios de límites consisten en identificar qué tipo de indeterminación aparece al sustituir directamente (\(0/0\), \(\infty/\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^{\infty}\) o \(0\times\infty\)) y aplicar la técnica adecuada para resolverla. Este banco cubre las 26 variantes más frecuentes.

¿Qué es un límite y una indeterminación? 🤔

El límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a un valor \(a\) es el número al que se acerca \(f(x)\) a medida que \(x\) se acerca a \(a\), sin necesidad de que \(f\) esté siquiera definida exactamente en \(a\). Se escribe \( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L \).

Una indeterminación aparece cuando, al sustituir directamente \(x=a\), obtienes una expresión que no tiene un valor numérico claro por sí misma, como \(0/0\) o \(\infty/\infty\). No significa que el límite no exista: significa que hace falta transformar la expresión (factorizar, racionalizar, dividir entre la mayor potencia…) antes de poder calcularlo.

💡 El primer paso siempre es el mismo

Antes de aplicar ninguna técnica, sustituye directamente. Si el resultado es un número, ya has terminado. Solo cuando aparece una indeterminación tiene sentido factorizar, racionalizar o usar cualquier otra estrategia.

Tipos de indeterminación 📜

✔️\(0/0\): factoriza y simplifica (si es polinómica), o racionaliza (si hay raíces).

✔️\(\infty/\infty\): divide entre la mayor potencia de \(x\), o compara directamente los grados del numerador y el denominador.

✔️\(\infty-\infty\): multiplica y divide por el conjugado (si hay raíces) o reduce a común denominador.

✔️\(1^{\infty}\): usa la fórmula del número \(e\): \( \lim(1+f(x))^{g(x)} = e^{\lim f(x)\cdot g(x)} \), con \(f(x) \to 0\).

✔️\(0 \times \infty\): transforma el producto en un cociente (\(0/0\) o \(\infty/\infty\)) y aplica la técnica correspondiente.

Estrategias para resolver ejercicios de límites 🪜

Sustituye directamente el valor: si no da indeterminación, ya tienes el resultado.

Si da \(0/0\): factoriza (si es polinómica) o racionaliza (si hay raíces), y vuelve a sustituir.

Si da \(\infty/\infty\) o el límite es en el infinito: divide numerador y denominador entre la mayor potencia de \(x\), o compara directamente los grados.

Si da \(\infty-\infty\): multiplica y divide por el conjugado, o reduce a común denominador, y repite el proceso.

Si da \(1^{\infty}\): identifica \(f(x)\) y \(g(x)\) y aplica la fórmula del número \(e\).

Si nada de esto funciona, considera aplicar la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado.

💡 No hay una única técnica válida

Muchos ejercicios de límites se pueden resolver por más de un camino (por ejemplo, un \(0/0\) con raíces a veces también cede ante L'Hôpital). Usa la técnica algebraica cuando la veas clara, y L'Hôpital como recurso cuando se complique.

Ejercicios de límites en PDF

ejercicios-de-limites-pdf

Sustitución directa 🧮

Cuando la función es continua en el punto, el límite se calcula sustituyendo directamente el valor y operando. Es el primer paso que debes probar siempre, antes de buscar ninguna técnica más elaborada.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2+3x-1) \).

\[ \lim_{x \to 2} (x^2+3x-1) \]

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Paso 1: La función es un polinomio, así que es continua en todo \(\mathbb{R}\): podemos sustituir directamente \(x=2\).

Paso 2: \( 2^2+3(2)-1 = 4+6-1 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2+3x-1) = 9 \)

🟢 Básico

Ejercicio 2. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3-5x+4}{x+3} \).

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3-5x+4}{x+3} \]

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Paso 1: Es un cociente de polinomios; comprobamos que el denominador no se anula en \(x=1\): \(1+3=4 \neq 0\).

Paso 2: Sustituimos directamente: \( \dfrac{2(1)^3-5(1)+4}{1+3} = \dfrac{2-5+4}{4} = \dfrac{1}{4} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3-5x+4}{x+3} = \dfrac{1}{4} \)

Indeterminación 0/0: factorización ✂️

Cuando sustituir da \(0/0\) y tanto el numerador como el denominador son polinomios, factorízalos y simplifica el factor común que provoca la indeterminación.

🟢 Básico

Ejercicio 3. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} \).

\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=2\) obtenemos \(0/0\): hay que factorizar.

Paso 2: Factorizamos el numerador como diferencia de cuadrados: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \).

Paso 3: Simplificamos el factor común: \( \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \), y ahora sí sustituimos: \( 2+2 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2} = 4 \)

🟡 Medio

Ejercicio 4. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9} \).

\[ \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=3\) obtenemos \(0/0\).

Paso 2: Factorizamos ambos: \( x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \) y \( x^2-9=(x-3)(x+3) \).

Paso 3: Simplificamos \((x-3)\): queda \( \dfrac{x-2}{x+3} \). Sustituimos \(x=3\): \( \dfrac{3-2}{3+3} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9} = \dfrac{1}{6} \)

🟡 Medio

Ejercicio 5. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3+1}{x+1} \).

\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x^3+1}{x+1} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=-1\) obtenemos \(0/0\).

Paso 2: Factorizamos la suma de cubos: \( x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \).

Paso 3: Simplificamos \((x+1)\): queda \( x^2-x+1 \). Sustituimos \(x=-1\): \( (-1)^2-(-1)+1 = 1+1+1 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3+1}{x+1} = 3 \)

Indeterminación 0/0: racionalización 🌀

Cuando la indeterminación \(0/0\) viene de una raíz, multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión con raíz para eliminarla.

🟡 Medio

Ejercicio 6. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} \).

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=0\) obtenemos \(0/0\).

Paso 2: Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado \( \sqrt{x+4}+2 \): \( \dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \dfrac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} \).

Paso 3: Simplificamos \(x\): queda \( \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2} \). Sustituimos \(x=0\): \( \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \dfrac{1}{4} \)

🟡 Medio

Ejercicio 7. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2} \).

\[ \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=4\) obtenemos \(0/0\).

Paso 2: Multiplicamos por el conjugado del denominador, \( \sqrt{x}+2 \): \( \dfrac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} \).

Paso 3: Simplificamos \((x-4)\): queda \( \sqrt{x}+2 \). Sustituimos \(x=4\): \( \sqrt{4}+2 = 2+2 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2} = 4 \)

Indeterminación ∞/∞: funciones racionales ♾️

Para un cociente de polinomios cuando \(x \to \infty\), compara los grados del numerador y el denominador: gana el de mayor grado.

🟢 Básico

Ejercicio 8. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4} \).

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4} \]

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Paso 1: Numerador y denominador tienen el mismo grado (2), así que el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

Paso 2: \( \dfrac{3}{5} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+4} = \dfrac{3}{5} \)

🟢 Básico

Ejercicio 9. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x+5}{x^2-3} \).

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x+5}{x^2-3} \]

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Paso 1: El grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1).

Paso 2: El denominador crece mucho más deprisa que el numerador, así que el cociente tiende a 0.

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x+5}{x^2-3} = 0 \)

🟡 Medio

Ejercicio 10. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^3-x}{2x^2+7} \).

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^3-x}{2x^2+7} \]

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Paso 1: El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2).

Paso 2: El numerador crece más deprisa; dividiendo entre la mayor potencia de \(x\) del denominador queda, en esencia, \(2x\), que tiende a \(+\infty\).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^3-x}{2x^2+7} = +\infty \)

Indeterminación ∞ − ∞ ➖

Cuando aparece una resta de dos términos que tienden a infinito y hay raíces por medio, multiplica y divide por el conjugado para transformarla en un cociente.

🔴 Avanzado

Ejercicio 11. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) \).

\[ \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) \]

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Paso 1: Multiplicamos y dividimos por el conjugado \( \sqrt{x^2+3x}+x \): \( \dfrac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \).

Paso 2: Dividimos numerador y denominador entre \(x\): \( \dfrac{3}{\sqrt{1+3/x}+1} \).

Paso 3: Cuando \(x \to \infty\), el término \(3/x \to 0\), así que queda \( \dfrac{3}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{3}{2} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) = \dfrac{3}{2} \)

🔴 Avanzado

Ejercicio 12. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(x-\sqrt{x^2-5x}\right) \).

\[ \lim_{x \to \infty} \left(x-\sqrt{x^2-5x}\right) \]

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Paso 1: Multiplicamos y dividimos por el conjugado \( x+\sqrt{x^2-5x} \): \( \dfrac{x^2-(x^2-5x)}{x+\sqrt{x^2-5x}} = \dfrac{5x}{x+\sqrt{x^2-5x}} \).

Paso 2: Dividimos entre \(x\): \( \dfrac{5}{1+\sqrt{1-5/x}} \).

Paso 3: Cuando \(x \to \infty\), \(5/x \to 0\), así que queda \( \dfrac{5}{1+1} = \dfrac{5}{2} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(x-\sqrt{x^2-5x}\right) = \dfrac{5}{2} \)

Límites laterales y continuidad ↔️

Un límite solo existe si el límite lateral por la izquierda y por la derecha coinciden. Es la herramienta clave para estudiar la continuidad de funciones a trozos.

🟡 Medio

Ejercicio 13. Dada \(f(x)=x+1\) si \(x \lt 2\), y \(f(x)=x^2-1\) si \(x \geq 2\), estudia si existe \( \displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) \).

f(x) =

\( x+1 \) si \( x \lt 2 \)

\( x^2-1 \) si \( x \geq 2 \)

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Paso 1: Límite por la izquierda (usamos \(x+1\)): \( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} (x+1) = 2+1 = 3 \).

Paso 2: Límite por la derecha (usamos \(x^2-1\)): \( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} (x^2-1) = 2^2-1 = 3 \).

Paso 3: Ambos límites laterales coinciden, así que el límite existe y vale ese valor común.

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 3 \) (el límite existe)

🟡 Medio

Ejercicio 14. Dada \(f(x)=x^2\) si \(x \leq 1\), y \(f(x)=3x-1\) si \(x \gt 1\), estudia la continuidad en \(x=1\).

f(x) =

\( x^2 \) si \( x \leq 1 \)

\( 3x-1 \) si \( x \gt 1 \)

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Paso 1: Límite por la izquierda: \( \displaystyle\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1 \).

Paso 2: Límite por la derecha: \( \displaystyle\lim_{x \to 1^+} (3x-1) = 3(1)-1 = 2 \).

Paso 3: Los límites laterales no coinciden (1 ≠ 2), así que el límite no existe en \(x=1\) y la función es discontinua ahí (discontinuidad de salto).

✅ Resultado: No existe \( \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) \): \(f\) es discontinua en \(x=1\)

Límites en el infinito y asíntotas 📈

Los límites en el infinito revelan las asíntotas horizontales de una función, y los límites laterales en un punto revelan sus asíntotas verticales.

🟡 Medio

Ejercicio 15. Halla la asíntota horizontal de \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3} \).

\[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x-1}{x+3} \]

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Paso 1: Numerador y denominador tienen el mismo grado (1), así que el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: \( \dfrac{2}{1} = 2 \).

Paso 2: Como el resultado es el mismo tanto si \(x \to +\infty\) como si \(x \to -\infty\), hay una única asíntota horizontal a ambos lados.

✅ Resultado: Asíntota horizontal: \( y = 2 \)

🟡 Medio

Ejercicio 16. Estudia la asíntota vertical de \( f(x) = \dfrac{x+1}{x-3} \) en \(x=3\).

\[ \lim_{x \to 3^-} \dfrac{x+1}{x-3} \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 3^+} \dfrac{x+1}{x-3} \]

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Paso 1: El denominador se anula en \(x=3\), así que ahí hay una posible asíntota vertical.

Paso 2: Por la izquierda (\(x\) un poco menor que 3): el numerador vale casi 4 (positivo) y el denominador es un número negativo muy pequeño, así que el cociente tiende a \(-\infty\).

Paso 3: Por la derecha (\(x\) un poco mayor que 3): el numerador sigue siendo casi 4 (positivo) y el denominador es un número positivo muy pequeño, así que el cociente tiende a \(+\infty\).

✅ Resultado: Asíntota vertical en \( x=3 \): la función va a \(-\infty\) por la izquierda y a \(+\infty\) por la derecha

El número e (indeterminación 1^∞) 🅴

Cuando la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito, usa la fórmula \( \displaystyle\lim (1+f(x))^{g(x)} = e^{\lim f(x) \cdot g(x)} \), con \(f(x) \to 0\).

🟢 Básico

Ejercicio 17. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x \).

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x \]

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Paso 1: La base tiende a 1 y el exponente a \(\infty\): es la indeterminación \(1^{\infty}\), y además es la definición misma del número \(e\).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e \)

🟡 Medio

Ejercicio 18. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x \).

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x \]

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Paso 1: Es \(1^{\infty}\), con \(f(x)=2/x\) y \(g(x)=x\).

Paso 2: Aplicamos la fórmula: \( e^{\lim f(x)\cdot g(x)} = e^{\lim (2/x)\cdot x} = e^{2} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x = e^2 \)

🔴 Avanzado

Ejercicio 19. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+2}{x}\right)^{3x} \).

\[ \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+2}{x}\right)^{3x} \]

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Paso 1: Reescribimos la base: \( \dfrac{x+2}{x} = 1+\dfrac{2}{x} \), así que es \(1^{\infty}\) con \(f(x)=2/x\) y \(g(x)=3x\).

Paso 2: Aplicamos la fórmula: \( e^{\lim (2/x)\cdot 3x} = e^{6} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+2}{x}\right)^{3x} = e^6 \)

Límites trigonométricos notables 📐

El límite \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 \) es la base de casi todos los límites trigonométricos: transforma cualquier expresión parecida hasta llegar a esa forma.

🟢 Básico

Ejercicio 20. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} \).

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} \]

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Paso 1: Es el límite trigonométrico notable por excelencia; su valor está demostrado geométricamente y conviene memorizarlo.

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} = 1 \)

🟡 Medio

Ejercicio 21. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} \).

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} \]

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Paso 1: Multiplicamos y dividimos por 3 para dejar \(3x\) también abajo: \( 3 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} \).

Paso 2: Cuando \(x \to 0\), también \(3x \to 0\), así que \( \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} \to 1 \) por el límite notable.

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} = 3 \)

🟡 Medio

Ejercicio 22. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} \).

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} \]

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Paso 1: Es otro límite trigonométrico notable, relacionado con el anterior a través de la identidad \( 1-\cos x = 2\operatorname{sen}^2(x/2) \).

Paso 2: Su valor, ya demostrado y de uso habitual, es \( \dfrac{1}{2} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2} \)

Indeterminación 0 × ∞ 0️⃣

Cuando un factor tiende a 0 y el otro a infinito, transforma el producto en un cociente (llevando uno de los factores al denominador como su inverso) para convertirlo en \(0/0\) o \(\infty/\infty\).

🟡 Medio

Ejercicio 23. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x \).

\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x \]

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Paso 1: Cuando \(x \to 0^+\): \(x \to 0\) y \(\ln x \to -\infty\), así que es \(0 \times (-\infty)\).

Paso 2: Reescribimos como cociente: \( x\ln x = \dfrac{\ln x}{1/x} \), que ahora es \(-\infty/\infty\), y se resuelve aplicando la regla de L'Hôpital.

Paso 3: Derivando numerador y denominador: \( \dfrac{1/x}{-1/x^2} = -x \), que tiende a 0 cuando \(x \to 0^+\).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \)

🔴 Avanzado

Ejercicio 24. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} x\left(e^{1/x}-1\right) \).

\[ \lim_{x \to \infty} x\left(e^{1/x}-1\right) \]

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Paso 1: Cuando \(x \to \infty\): \(x \to \infty\) y \(e^{1/x}-1 \to 0\), así que es \(\infty \times 0\).

Paso 2: Hacemos el cambio \(t=1/x\), que tiende a 0 cuando \(x \to \infty\): la expresión se convierte en \( \dfrac{e^t-1}{t} \).

Paso 3: Ese es un límite notable exponencial ya conocido, y vale 1.

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} x\left(e^{1/x}-1\right) = 1 \)

Ejercicios de límites con la regla de L'Hôpital 🪜

Cuando un límite da \(0/0\) o \(\infty/\infty\) y las técnicas algebraicas se complican, deriva numerador y denominador por separado y vuelve a calcular el límite del nuevo cociente.

🟡 Medio

Ejercicio 25. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} \).

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} \]

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Paso 1: Sustituyendo \(x=0\) obtenemos \(0/0\).

Paso 2: Aplicamos L'Hôpital: derivamos numerador y denominador por separado, \( \dfrac{e^x}{1} \).

Paso 3: Sustituimos \(x=0\): \( e^0 = 1 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1 \)

🟡 Medio

Ejercicio 26. Calcula \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \).

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]

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Paso 1: Cuando \(x \to \infty\), tanto el numerador como el denominador tienden a \(\infty\): es \(\infty/\infty\).

Paso 2: Aplicamos L'Hôpital: \( \dfrac{1/x}{1} = \dfrac{1}{x} \).

Paso 3: Cuando \(x \to \infty\), \( \dfrac{1}{x} \to 0 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \)

Errores más comunes en ejercicios de límites ⚠️

❌ Sustituir directamente sin comprobar si aparece una indeterminación
Dar un resultado como "infinito partido de infinito" tal cual, sin transformarlo antes, no es una respuesta válida.

❌ Simplificar mal al factorizar
Solo se pueden cancelar factores completos que multiplican a toda la expresión, nunca términos sueltos de una suma.

❌ Olvidar racionalizar también el otro lado
Al multiplicar por el conjugado, hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por él, no solo uno de los dos.

❌ Pensar que \(1^{\infty}\) vale simplemente 1
Aunque la base tienda a 1, el exponente crece sin límite al mismo tiempo, y el resultado real depende de cómo de rápido lo hace cada uno: por eso aparece el número \(e\).

❌ Afirmar que un límite existe sin comprobar los dos laterales
En funciones a trozos, el límite solo existe si el límite por la izquierda y por la derecha coinciden.

❌ Confundir el signo del infinito en asíntotas verticales
Hay que estudiar el signo del numerador y del denominador en cada lateral por separado: el resultado no siempre es el mismo infinito a ambos lados.

Comprobación numérica 🧮

Antes de dar por buena una solución, prueba valores cada vez más cercanos al punto del límite y comprueba que el resultado se estabiliza.

Verificación del Ejercicio 3 (\((x^2-4)/(x-2)\) cuando \(x \to 2\))

x	(x²−4)/(x−2)
1,9	3,9
1,99	3,99
1,999	3,999
2,001	4,001
2,01	4,01
2,1	4,1

✅ Por los dos lados, el valor se acerca cada vez más a 4, confirmando el resultado del Ejercicio 3.

Verificación del Ejercicio 17 (\((1+1/x)^x\) cuando \(x \to \infty\))

x	(1+1/x)ˣ
10	2,5937
100	2,7048
1.000	2,7169
10.000	2,7181
100.000	2,71827

✅ Cuanto mayor es x, más se acerca el valor a \(e \approx 2{,}71828\), confirmando el resultado del Ejercicio 17.

Verificación del Ejercicio 20 (\(\operatorname{sen}(x)/x\) cuando \(x \to 0\))

x	sen(x)/x
−0,1	0,9983
−0,01	0,99998
−0,001	0,9999998
0,001	0,9999998
0,01	0,99998
0,1	0,9983

✅ Por los dos lados, el valor se acerca cada vez más a 1, confirmando el resultado del Ejercicio 20.

Tabla resumen 📋

Indeterminación	Técnica principal	Ejemplo
\(0/0\) (polinomios)	factorizar y simplificar	Ejercicio 3
\(0/0\) (con raíces)	racionalizar (multiplicar por el conjugado)	Ejercicio 6
\(\infty/\infty\)	comparar grados o dividir entre la mayor potencia	Ejercicio 8
\(\infty-\infty\)	multiplicar y dividir por el conjugado	Ejercicio 11
\(1^{\infty}\)	fórmula del número \(e\)	Ejercicio 17
trigonométrico notable	reducir a \(\operatorname{sen}x/x \to 1\)	Ejercicio 20
\(0 \times \infty\)	convertir el producto en cociente	Ejercicio 23
cualquiera de las anteriores	regla de L'Hôpital (alternativa)	Ejercicio 25

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué es una indeterminación en un límite?

Es el resultado de sustituir directamente y obtener una expresión que no tiene un valor numérico claro por sí misma, como \(0/0\) o \(\infty-\infty\). Hay que transformar la expresión para poder calcular el límite real.

¿Cuándo se debe factorizar y cuándo racionalizar en un límite 0/0?

Factoriza cuando la expresión es puramente polinómica (sin raíces). Racionaliza (multiplica por el conjugado) cuando la indeterminación viene de una raíz cuadrada.

¿Cómo se calcula un límite en el infinito de una función racional?

Comparando los grados del numerador y el denominador: si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado; si el denominador tiene mayor grado, el límite es 0; si el numerador tiene mayor grado, el límite es infinito.

¿Qué significa que un límite lateral no coincida con el otro?

Significa que el límite de la función en ese punto no existe, aunque cada límite lateral por separado sí tenga su propio valor. Es típico en funciones a trozos con un salto.

¿De dónde sale la fórmula del número e en los límites?

De la propia definición del número \(e\) como \( \lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x \). Cualquier límite con la misma forma \(1^{\infty}\) se puede reescribir hasta llegar a esa expresión base.

¿Cuándo conviene usar la regla de L'Hôpital en vez de las técnicas algebraicas?

Cuando factorizar o racionalizar se complica demasiado, o cuando la indeterminación involucra funciones no polinómicas (exponenciales, logaritmos, trigonométricas) que son difíciles de manejar algebraicamente.

¿Aparecen ejercicios de límites en la Selectividad/EBAU?

Sí, los límites con indeterminación son uno de los bloques más recurrentes en la parte de análisis de la Selectividad/EBAU, junto con la continuidad, las derivadas y sus aplicaciones.

🚀 ¿Quieres seguir con límites e indeterminaciones?

Consulta también:
Regla de L'Hôpital,
Indeterminación 1 elevado a infinito,
Indeterminación 0/0
y
Indeterminación infinito menos infinito.
¡Dominar las indeterminaciones es clave para resolver ejercicios de límites! 🔢🏆

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...