Funciones definidas a trozos

Justo Fernández

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

🔎 Índice de contenidos

📈 Funciones Definidas a Trozos
🔍 ¿Qué son las funciones definidas a trozos?
🔢 Cómo evaluar f(x) en un punto
📊 Cómo representar gráficamente
📏 Dominio y recorrido
🌟 Funciones a trozos más importantes
⚙️ Método para resolver funciones definidas a trozos
🎯 Ejercicios resueltos interactivos
📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

📈 Funciones Definidas a Trozos

Guía completa · Definición · Evaluación · Continuidad · Representación gráfica · Ejercicios interactivos

Definición por tramos
Puntos abiertos y cerrados
Continuidad
Valor absoluto

🔍 ¿Qué son las funciones definidas a trozos?

Una función definida a trozos (por tramos) es una función que tiene expresiones analíticas distintas en diferentes partes de su dominio. En lugar de una única fórmula, se especifica una fórmula diferente para cada intervalo o subconjunto del dominio.

La función del gráfico se define así:

\[f(x) = \begin{cases} -x+2 & \text{si } x < 0 \\ x^2-1 & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ 3 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}\]

Cada "trozo" tiene:
• Su propia expresión (la fórmula)
• Su subdominio (el intervalo donde aplica)
• Sus condiciones de frontera (abierto o cerrado)

💡 ¿Para qué sirven en la vida real?

Las funciones a trozos modelan situaciones donde las reglas cambian según el valor de entrada: tarifas telefónicas (precio fijo + coste por minuto), impuestos (tramos del IRPF), descuentos (si compras más de X, precio distinto), física (velocidad en distintas fases de movimiento), ingeniería (materiales con comportamiento distinto bajo tensión).

📝 Notación y estructura

La notación estándar usa llaves para agrupar los tramos de la función:

\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{si } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{si } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \\ f_n(x) & \text{si } x \in I_n \end{cases} \]

Los intervalos \(I_1, I_2, \ldots, I_n\) deben ser disjuntos y su unión debe cubrir todo el dominio de la función

Los intervalos

Los subdominios deben cubrir sin solaparse toda la parte del dominio que nos interesa. Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Los puntos de unión

En los extremos de cada intervalo, la condición determina qué trozo aplica. El símbolo ≤ incluye el extremo; < lo excluye.

Las expresiones

Cada trozo puede ser cualquier función: lineal, cuadrática, constante, racional, trigonométrica…

⚠️Importante: cada valor de \(x\) del dominio debe pertenecer a exactamente uno de los intervalos. Si un punto pertenece a dos intervalos se produce ambigüedad. Por eso las condiciones como "si \(x < 2\)" y "si \(x \geq 2\)" se complementan sin solaparse.

🔢 Cómo evaluar f(x) en un punto

Para calcular el valor de una función a trozos en un punto concreto, tienes que seguir simepre el mismo:

Determina en qué intervalo está el punto: Comprueba qué condición satisface el valor \(x = a\). Solo satisfará una.

Usa la expresión correspondiente a ese intervalo: Una vez identificado "el trozo", sustituye \(x = a\) en esa expresión.

Calcula el resultado: Opera normalmente y obtén el valor numérico \(f(a)\).

🧮 Ejemplo completo con \(f(x) = \begin{cases} x+3 & x<-1 \\ x^2 & -1\leq x<2 \\ -x+4 & x\geq 2 \end{cases}\)

\textbf{Calcular f(−2):}
\(-2 < -1\) → usamos la primera pieza: \(f(-2) = -2+3 = 1\)\textbf{Calcular f(0):}\(-1 \leq 0 < 2\) → usamos la segunda pieza: \(f(0) = 0^2 = 0\)\textbf{Calcular f(2):}\(2 \geq 2\) → usamos la tercera pieza: \(f(2) = -2+4 = 2\)\textbf{Calcular f(5):}\(5 \geq 2\) → usamos la tercera pieza: \(f(5) = -5+4 = -1\)

📊 Cómo representar gráficamente

La representación gráfica de una función a trozos se hace tramo a tramo. El elemento clave es marcar correctamente los extremos de cada intervalo:

⚫ Punto cerrado (●)

El extremo pertenece al intervalo. Se usa cuando la condición incluye el extremo: \(\leq\) o \(\geq\). Se dibuja con un punto relleno.

⭕ Punto abierto (○)

El extremo no pertenece al intervalo. Se usa cuando la condición excluye el extremo: \(<\) o \(>\). Se dibuja con un punto vacío (hueco).

Para cada tramo, traza la gráfica solo en su intervalo: Dibuja la función \(f_i(x)\) únicamente para los valores de x en \(I_i\).

En los extremos, usa punto cerrado (●) o abierto (○): Si el extremo está incluido (≤, ≥): punto relleno. Si está excluido (<, >): punto hueco.

Añade líneas verticales de referencia (opcionales): Líneas punteadas en x = a marcan visualmente los puntos de cambio.

Verifica que no haya puntos dobles: En cada x, debe aparecer un único punto de la gráfica.

🔗 Continuidad en los puntos de cambio

El aspecto más importante de las funciones a trozos es la continuidad en los puntos de unión (los valores de x donde cambia la expresión). En esos puntos hay que verificar si la función es continua.

\[ f \text{ continua en } x=a \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a) \]

Las tres cantidades deben ser iguales: límite por la izquierda, límite por la derecha y valor de la función en ese punto

✅ Condición de continuidad

Si en \(x=a\) se unen los tramos \(f_1\) (izquierda) y \(f_2\) (derecha), la función es continua en \(a\) si y solo si:
\[\lim_{x\to a^-} f_1(x) = f_2(a)\](los valores deben coincidir)

❌ Discontinuidad (salto)

Si los valores de los tramos en el punto de unión son distintos, hay una discontinuidad de salto. Gráficamente se ve como un "brinco" en la curva con un punto abierto y otro cerrado.

🧮 Ejemplo: ¿es continua \(f(x) = \begin{cases} 2x-1 & x \leq 3 \\ x+2 & x > 3 \end{cases}\) en \(x=3\)?

\[\lim_{x\to 3^-} f(x) = 2(3)-1 = 5\]\[f(3) = 2(3)-1 = 5 \quad \text{(el primer tramo aplica pues }x\leq 3\text{)}\]\[\lim_{x\to 3^+} f(x) = 3+2 = 5\]Como las tres coinciden (\(5 = 5 = 5\)): \textbf{la función es continua en \(x=3\).}

📏 Dominio y recorrido

El dominio y el recorrido de una función a trozos se obtienen combinando los de cada tramo:

Dominio

El dominio total es la unión de todos los subdominios de cada trozo.

Si los subdominios cubren toda la recta real: Dom(f) = ℝ.
Si hay huecos o restricciones en algun tramo: Dom(f) = unión de lo que sí está definido.

Recorrido (Imagen)

El recorrido total es la unión de los recorridos de cada trozo.

Para cada tramo, determina qué valores toma la función en su subdominio. Luego une todos los resultados.

🧮 Ejemplo: Dom y recorrido de \(f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ 2x & x \geq 0 \end{cases}\)

\textbf{Dominio:} los subdominios son \((-\infty, 0)\) y \([0, +\infty)\). Unión = ℝ → Dom(f) = ℝ

\textbf{Recorrido de la pieza 1} (\(x^2\) para \(x<0\)): \(x^2 > 0\) → Im₁ = \((0, +\infty)\)

\textbf{Recorrido de la pieza 2} (\(2x\) para \(x\geq 0\)): \(2x \geq 0\) → Im₂ = \([0, +\infty)\)

\textbf{Recorrido total:} \((0,+\infty) \cup [0,+\infty) = [0, +\infty)\)

🌟 Funciones a trozos más importantes

Valor absoluto: f(x) = |x|

\[|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\]

Dom(|x|) = ℝ, Im(|x|) = [0, +∞)
Continua en todo ℝ (también en x=0)
Mínimo absoluto en (0, 0)
Simétrica respecto al eje Y (función par)

Función signo

\[\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}\]

Dom = ℝ, Im = {−1, 0, 1}
Discontinua en x = 0 (salto de −1 a 1)
Función impar: sgn(−x) = −sgn(x)

Función escalón (floor)

\[\lfloor x \rfloor = n \;\text{ si }\; n \leq x < n+1\]

Parte entera de x: da el entero más grande ≤ x
Dom = ℝ, Im = ℤ (enteros)
Discontinua en todos los enteros
Aparece en tarifas, redondeos, escalones

📊 Tabla resumen de reglas

Situación	Regla	Ejemplo
Evaluar f(a)	Localiza a en los intervalos → aplica esa expresión	a=2 en [1,3]: usa el "trozo" de ese intervalo
Extremo con ≤ o ≥	Punto cerrado ● (pertenece al intervalo)	x ≤ 2 → punto relleno en x=2
Extremo con < o >	Punto abierto ○ (no pertenece al intervalo)	x < 2 → punto hueco en x=2
Continuidad en x=a	Límite izq = Límite der = f(a)	f₁(a) = f₂(a) → continua
Hallar k para continuidad	Iguala las expresiones de ambos tramos en x=a	kx+1 = x²−3 en x=2 → 2k+1=1 → k=0
Dominio total	Unión de todos los subdominios	(-∞,0) ∪ [0,+∞) = ℝ
Recorrido total	Unión de los recorridos de cada trozo	Im₁ ∪ Im₂ ∪ …

🎯El error más frecuente: al evaluar en un punto de frontera (como x=2), olvidar comprobar cuál de los trozos incluye ese punto. La condición ≤ incluye; la condición < excluye. Si ambos tramos lo excluyen, hay una discontinuidad evitable.

⚙️ Método para resolver funciones definidas a trozos

Lee el enunciado de la función: Identifica los tramos, sus expresiones y sus condiciones. Anota qué intervalos son abiertos y cuáles cerrados.

Para evaluar en un punto x=a: Comprueba en qué intervalo cae a. Aplica esa expresión. Si el punto es una frontera, revisa la condición (≤ o <).

Para representar gráficamente: Dibuja cada tramo solo en su intervalo. Usa ● y ○ en los extremos según incluya o no el extremo.

Para estudiar la continuidad en x=a: Calcula: lím izquierda = expresión izquierda en x=a; lím derecha = expresión derecha en x=a; valor = f(a). Si los tres coinciden → continua. Si no → discontinua con salto.

Para hallar k que garantice la continuidad: Iguala la expresión de la pieza izquierda evaluada en el punto frontera con la expresión de la pieza derecha evaluada en ese mismo punto. Resuelve la ecuación en k.

🏆Truco para los exámenes: cuando el enunciado pregunta si una función a trozos es continua, comprueba SOLO los puntos de cambio (las fronteras entre tramos). En el interior de cada intervalo, la función es tan continua como la expresión que usa (si es un polinomio, siempre es continua allí).

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Cada ejercicio incluye la gráfica de la función y la solución completa paso a paso. 💪

01
Evaluación en varios puntos
►

📝 Sea \(f(x) = \begin{cases} 2 & x < -1 \\ x+1 & -1 \leq x \leq 2 \\ 3 & x > 2 \end{cases}\). Calcula \(f(-2)\), \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(3)\).

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①\(f(-2)\): \(-2 < -1\) → primer tramo: \(f(-2) = 2\)

②\(f(-1)\): \(-1 \leq -1 \leq 2\) → segundo tramo: \(f(-1) = -1+1 = 0\)

③\(f(1)\): \(-1 \leq 1 \leq 2\) → segundo tramo: \(f(1) = 1+1 = 2\)

④\(f(3)\): \(3 > 2\) → tercer tramo: \(f(3) = 3\)

✅ \(f(-2)=2\) · \(f(-1)=0\) · \(f(1)=2\) · \(f(3)=3\)

02
Valor absoluto como función a trozos
►

📝 Escribe \(f(x) = |x-2|\) como función definida a trozos y represéntala.

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①Analiza el signo de \(x-2\):
Si \(x-2 \geq 0\) (es decir, \(x \geq 2\)): \(|x-2| = x-2\)
Si \(x-2 < 0\) (es decir, \(x < 2\)): \(|x-2| = -(x-2) = -x+2\)

②Función a trozos:
\(f(x) = \begin{cases} -x+2 & x < 2 \\ x-2 & x \geq 2 \end{cases}\)

③Punto de mínimo: el vértice está en \(x=2\), donde \(f(2)=0\)

✅ \(f(x) = \begin{cases} -x+2 & x<2 \\ x-2 & x\geq 2 \end{cases}\)

03
Comprobar continuidad: función continua
►

📝 Estudia la continuidad en \(x=1\) de \(f(x) = \begin{cases} x^2+1 & x < 1 \\ 2x & x \geq 1 \end{cases}\).

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①Límite por la izquierda:
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 1^2+1 = 2\)

②Valor de f en x=1:
\(1 \geq 1\) → segunda pieza: \(f(1) = 2\cdot 1 = 2\)

③Límite por la derecha:
\(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2\)

④Conclusión:
\(\lim_{x \to 1^-} = \lim_{x \to 1^+} = f(1) = 2\) → ¡Continua en x=1!

✅ \(f\) es continua en \(x=1\): los tres valores coinciden en 2

04
Comprobar continuidad: función discontinua
►

📝 Estudia la continuidad en \(x=0\) de \(f(x) = \begin{cases} x+2 & x < 0 \\ x^2-1 & x \geq 0 \end{cases}\).

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①Límite por la izquierda:
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 0+2 = 2\)

②Valor de f en x=0:
\(0 \geq 0\) → segundo tramo: \(f(0) = 0^2-1 = -1\)

③Límite por la derecha:
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-1) = 0-1 = -1\)

④Conclusión:
\(\lim_{x \to 0^-} = 2 \neq -1 = f(0)\) → Discontinua en x=0 (salto de 3 unidades)

✅ \(f\) es discontinua en \(x=0\): salto de 2 a −1 (amplitud = 3)

05
Dominio y recorrido de una función a trozosAVANZADO
►

📝 Halla el dominio y el recorrido de \(f(x) = \begin{cases} 1/x & x < -1 \text{ o } x > 1 \\ x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}\).

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①Dominio:
Primer tramo: \(x < -1\) o \(x > 1\) (sin problemas con 1/x pues x≠0 en ese dominio)
Segundo tramo: \(-1 \leq x \leq 1\)
Dom(f) = \((-\infty,-1) \cup [-1,1] \cup (1,+\infty) = \mathbb{R}\)

②Recorrido tramo 1 (\(1/x\) con \(|x|>1\)):
Para \(x<-1\): \(1/x \in (-1, 0)\); para \(x>1\): \(1/x \in (0,1)\)
Im₁ = \((-1,0) \cup (0,1)\)

③Recorrido tramo 2 (\(x^2\) con \(-1 \leq x \leq 1\)):
\(x^2 \in [0, 1]\) → Im₂ = \([0,1]\)

④Recorrido total:
\((-1,0) \cup (0,1) \cup [0,1] = (-1,1)\)
Unificando: Im(f) = \((-1, 1)\)

✅ Dom(f) = ℝ · Im(f) = (−1, 1)

06
Hallar k para continuidad (lineal)AVANZADO
►

📝 Determina el valor de \(k\) para que \(f(x) = \begin{cases} kx+1 & x < 2 \\ x^2-1 & x \geq 2 \end{cases}\) sea continua en \(x=2\).

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①Para que sea continua en x=2, los límites laterales deben coincidir:
\(\lim_{x \to 2^-} (kx+1) = \lim_{x \to 2^+} (x^2-1) = f(2)\)

②Calcula cada valor:
Límite izquierdo: \(2k+1\)
Valor de f(2) = derecha: \(2^2-1 = 3\)

③Iguala y resuelve:
\(2k+1 = 3 \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1\)

④Verificación:
Con k=1: \(\lim_{x\to 2^-}(x+1) = 3 = f(2)\) ✅

✅ \(k = 1\)

07
Estudio completo: dominio, continuidad y gráficaSELECTIVIDAD
►

📝 Estudia \(f(x) = \begin{cases} x^2+2 & x < 0 \\ -x+2 & 0 \leq x \leq 3 \\ 0 & x > 3 \end{cases}\).

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①Dominio: los tres intervalos cubren toda la recta real → Dom(f) = ℝ

②Continuidad en x=0:
\(\lim_{x\to 0^-}(x^2+2) = 2\) · \(f(0) = -0+2 = 2\) → iguales ✅ → continua en x=0

③Continuidad en x=3:
\(\lim_{x\to 3^-}(-x+2) = -3+2 = -1\) · \(\lim_{x\to 3^+}(0) = 0\) · \(f(3) = -1\)
El límite derecho (0) ≠ f(3) (−1) → discontinua en x=3 (salto)

④Puntos destacados:
f(0)=2 (continuo), f(3)=−1 (discontinuidad), cero del 2ª tramo: x=2

✅ Continua en x=0. Discontinua en x=3 (salto de −1 a 0)

08
Hallar k para continuidad con cuadráticaSELECTIVIDAD
►

📝 Halla \(k\) para que \(f(x) = \begin{cases} x^2-k & x \leq 1 \\ 2x-3 & x > 1 \end{cases}\) sea continua en \(x=1\).

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①Condición de continuidad en x=1:
\(\lim_{x \to 1^-} (x^2-k) = \lim_{x \to 1^+} (2x-3) = f(1)\)

②Calcula cada límite:
Límite izquierdo y f(1): \(1^2-k = 1-k\)
Límite derecho: \(2(1)-3 = -1\)

③Iguala:
\(1-k = -1 \Rightarrow k = 2\)

④Verificación:
Con k=2: f(1) = 1−2 = −1; límite derecho = −1 ✅
Dom(f) = ℝ; continua en x=1 para k=2

✅ \(k = 2\)

🚫 Errores más frecuentes

❌

Error 1 — Evaluar en el punto de frontera con el tramo equivocado
Incorrecto: Para f(x)={x+1 si x<2; x²-1 si x≥2}, calcular f(2)=2+1=3
Correcto: x=2 cumple x≥2 → segundo tramo: f(2)=4-1=3. (¡Coincidencia aquí, pero no siempre!)
👉 Siempre lee la condición: ¿el punto satisface < o ≤? La diferencia es crítica.

❌

Error 2 — Confundir punto abierto con punto cerrado en la gráfica
Incorrecto: Para x<2, dibujar un punto relleno en x=2
Correcto: La condición x<2 excluye x=2 → punto hueco (○) en x=2
👉 Condición con < o > → punto abierto (○). Condición con ≤ o ≥ → punto cerrado (●).

❌

Error 3 — Calcular el límite usando la expresión incorrecta
Incorrecto: Para el límite por la izquierda en x=2 de {x+1 si x<2; x²-1 si x≥2}: usar x²-1
Correcto: Límite por la izquierda → usar el tramo que aplica para x<2, es decir x+1: lím=3
👉 El límite por la izquierda en x=a usa la expresión del intervalo izquierdo; el de la derecha, la del derecho.

❌

Error 4 — Asumir que una función a trozos siempre es discontinua
Incorrecto: Concluir que hay discontinuidad en x=1 sin calcular los límites
Correcto: Calcular los límites y f(1); si los tres coinciden la función ES continua en x=1
👉 Que una función esté definida a trozos no implica discontinuidad. ¡Puede ser perfectamente continua!

❌

Error 5 — Al hallar k, igualar las expresiones en un punto equivocado
Incorrecto: Para continuidad en x=3: igualar k·1+1 = 1²-1 (usando x=1)
Correcto: Igualar siempre evaluando los tramos en el PUNTO DE FRONTERA: k·3+1 = 3²-1
👉 Al imponer continuidad en x=a, sustituye x=a en ambas expresiones. No uses otro valor.

❓ Preguntas frecuentes

¿Una función a trozos puede ser continua en todo su dominio? ▼

Sí. Una función a trozos es continua en todo su dominio si y solo si es continua en cada punto de cambio. En el interior de cada intervalo, si la expresión es un polinomio, raíz, exponencial, etc., ya es continua por serlo esas funciones. El valor absoluto \(|x|\) es el ejemplo más clásico: es continua en todo ℝ aunque esté definida a trozos.

¿Qué pasa si un punto de x no pertenece a ningún intervalo? ▼

Si un punto x=a no pertenece a ninguno de los intervalos definidos, entonces f(a) no está definida: ese punto no pertenece al dominio. La función simplemente no existe en ese valor. En la gráfica, ese punto se omite completamente (no hay ni punto abierto ni cerrado).

¿Cómo se calcula la derivada de una función a trozos? ▼

Se deriva cada tramo por separado en el interior de su intervalo. En los puntos de cambio hay que verificar si la derivada existe: la función debe ser continua en ese punto y los límites de la derivada por izquierda y derecha deben coincidir. Si la función es continua pero tiene un "pico" (como el valor absoluto en x=0), la derivada no existe en ese punto.

¿Qué diferencia hay entre una discontinuidad de salto y una discontinuidad evitable? ▼

En una discontinuidad de salto, los límites laterales existen pero son distintos: hay un brinco en la gráfica. En una discontinuidad evitable, el límite existe pero no coincide con el valor de la función (o la función no está definida allí): hay un "hueco" aislado. En funciones a trozos, lo más frecuente es el salto; la discontinuidad evitable aparece cuando se define mal un punto aislado.

¿Cómo identifico en el enunciado si un intervalo es abierto o cerrado? ▼

Las claves están en los símbolos de desigualdad:

\(<\) y \(>\): intervalo abierto en ese extremo → punto hueco ○
\(\leq\) y \(\geq\): intervalo cerrado en ese extremo → punto relleno ●
"si \(x \in (a,b)\)": abierto en ambos extremos
"si \(x \in [a,b]\)": cerrado en ambos extremos

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 7 claves de las funciones definidas a trozos

Evaluar: localiza el punto en su intervalo → aplica esa expresión
Punto ●: condición con ≤ o ≥ → extremo incluido
Punto ○: condición con < o > → extremo excluido
Continuidad en x=a: lím izq = lím der = f(a) → continua; si no → salto
Hallar k: iguala ambas expresiones evaluadas en el punto frontera
Dominio: unión de todos los subdominios de cada intervalo
Función a trozos ≠ discontinua: puede ser perfectamente continua (ej.: |x|)

🚀 ¿Quieres seguir con el análisis de funciones?

Consulta también:
Estudio de una función,
Tipos de discontinuidades
y
Continuidad de una función.

Problemas de optimización 📈: máximos, mínimo...

Estudio de una función. Guía completa

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...