Tipos de discontinuidades: evitable, salto finito/infinito, asintótica.

hace 5 meses · Actualizado hace 5 meses

🔎 Índice de contenidos

📌 ¿Qué es una Discontinuidad? Definición Matemática
✅ Las 3 Condiciones de Continuidad en un Punto
📚 Clasificación de los Tipos de Discontinuidades
🌳 Árbol de Decisión: Cómo clasificar cualquier discontinuidad sin errores
🟠 Tipo 1: Discontinuidad Evitable (o removible)
🔴 Tipo 2: Discontinuidad de Salto Finito (1.ª Especie Inevitable)
🔵 Tipo 3: Discontinuidad de Salto Infinito (Asintótica)
🟣 Tipo 4: Discontinuidad Esencial (2.ª Especie, Oscilante)
🧭 Método General para Estudiar Continuidad y Clasificar Discontinuidades
📊 Tabla Comparativa: Los 4 Tipos de Discontinuidades
⭐ Ejercicios Resueltos Paso a Paso
🚫 Errores Frecuentes al Clasificar Discontinuidades
❓ Preguntas Frecuentes sobre los Tipos de Discontinuidades

Hoy vas a entender los cuatro tipos de discontinuidades explicados desde cero, con todos los detalles para no equivocarte nunca.

Cuando estudias la continuidad de una función, inevitablemente te topas con puntos donde algo "se rompe": un agujero en la gráfica, un salto brusco, una asíntota que se dispara al infinito… Eso es una discontinuidad, y saber clasificarla correctamente es uno de los contenidos más evaluados en Bachillerato y en la Selectividad

📌 ¿Qué es una Discontinuidad? Definición Matemática

Definición: Una función \(f\) tiene una discontinuidad en \(x=a\) cuando no es continua en dicho punto, es decir, cuando falla al menos una de las tres condiciones de continuidad. En términos gráficos: la curva no puede trazarse "sin levantar el lápiz del papel" al pasar por \(x=a\).
\[ f \text{ es discontinua en } x=a \iff \text{falla alguna condición de continuidad en } a \]

💡 Importante para Selectividad: Las discontinuidades solo aparecen en puntos que no están en el dominio de la función (denominadores que se anulan, radicandos negativos, logaritmos de cero…) o en los puntos de cambio de las funciones definidas a trozos.

También es muy importante que entiendas bien el concepto de continuidad de una función.

✅ Las 3 Condiciones de Continuidad en un Punto

Para que \(f\) sea continua en \(x=a\) deben cumplirse simultáneamente estas tres condiciones. Si falla cualquiera de ellas, hay discontinuidad. El tipo de discontinuidad depende de cuál falla y cómo.

La función está definida en \(a\)

El punto \(x=a\) pertenece al dominio. La función tiene un valor en ese punto.

\(a \in \operatorname{Dom}(f) \Rightarrow \exists\, f(a)\)

Existe el límite en \(a\)

Los dos límites laterales existen, son finitos y coinciden entre sí.

\(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f = \lim_{x\to a^+}f = L\in\mathbb{R}\)

El límite coincide con \(f(a)\)

El valor al que tiende la función al acercarse a \(a\) es exactamente el valor de la función en \(a\).

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\)

📚 Clasificación de los Tipos de Discontinuidades

Los tipos de discontinuidades que debes conocer y con cuya nomenclatura exacta debes responder en el examen son:

🟠

Discontinuidad Evitable

El límite existe pero no coincide con \(f(a)\)

🔴

Discontinuidad de Salto Finito

Los límites laterales existen pero son distintos

🔵

Discontinuidad de Salto Infinito

Algún límite lateral es \(\pm\infty\)

🟣

Discontinuidad Esencial (2.ª especie)

Ningún límite lateral existe (oscilación)

🌳 Árbol de Decisión: Cómo clasificar cualquier discontinuidad sin errores

Ante cualquier punto \(x=a\) sospechoso, sigue este árbol. En 3 preguntas llegarás al tipo correcto sin posibilidad de error.

❓ PREGUNTA 1: ¿Los dos límites laterales existen y son finitos?
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\)

✅ SÍ — ambos finitos

❓ PREGUNTA 2: ¿Los límites son iguales?
\(L^- = L^+\;?\)

✅ SÍ iguales

❓ P3: ¿\(\lim = f(a)\)?

✅ Sí

CONTINUA ✓

❌ No

🟠 EVITABLE

❌ NO distintos

🔴 SALTO FINITO

Salto = \(|L^+ - L^-|\)

❌ NO — alguno es ∞ o no existe

❓ PREGUNTA 2: ¿Alguno es \(\pm\infty\)?

✅ Sí, \(\pm\infty\)

🔵 SALTO INFINITO

Asíntota vertical

No existe

🟣 ESENCIAL

2.ª especie

✅ = condición cumplida
❌ = condición fallida
\(L^-\) = lím. lateral izquierdo · \(L^+\) = lím. lateral derecho

🟠 Tipo 1: Discontinuidad Evitable (o removible)

📌 Definición
\(f\) tiene una discontinuidad evitable en \(x=a\) cuando los dos límites laterales existen, son finitos e iguales, pero su valor no coincide con \(f(a)\) o bien \(f(a)\) no está definida:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = L \in\mathbb{R}, \qquad f(a)\neq L \;\text{ o }\; f(a)\text{ no existe} \]

🔑 ¿Por qué se llama "evitable"?

Porque puede eliminarse redefiniendo la función: si estableces \(f(a):=L\), la función pasa a ser continua en \(a\). También se llama extender por continuidad. Este es el único tipo de discontinuidad que puede "arreglarse".

📝 Ejemplo resuelto
\[ f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \]Punto conflictivo: \(x=3\) (denominador = 0).\[ \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6 \]\(f(3)\) no existe. Límite \(L=6\) finito.
⟹ Discontinuidad evitable en \(x=3\)
Se evita definiendo \(f(3)=6\).

discontinuidad evitable

🔴 Tipo 2: Discontinuidad de Salto Finito (1.ª Especie Inevitable)

📌 Definición
\(f\) tiene una discontinuidad de salto finito en \(x=a\) cuando los dos límites laterales existen y son finitos pero son distintos entre sí:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x) = L_1 \in\mathbb{R}, \quad \lim_{x\to a^+}f(x) = L_2 \in\mathbb{R}, \quad \boxed{L_1 \neq L_2} \]El salto de la discontinuidad mide la distancia entre ambos niveles: \(\text{Salto} = |L_2 - L_1|\)

🔑 Características

También llamada discontinuidad inevitable de 1.ª especie.
Aparece típicamente en funciones definidas a trozos.
La gráfica "salta" de \(L_1\) a \(L_2\) bruscamente en \(x=a\).
No se puede eliminar redefiniendo ningún punto.
\(f(a)\) puede existir o no; su valor no cambia el tipo.

📝 Ejemplo resuelto
\[ f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si}\; x\leq 1 \\ x^2+3 & \text{si}\; x > 1 \end{cases} \]\[ L_1 = \lim_{x\to 1^-}(2x+1) = 3 \]\[ L_2 = \lim_{x\to 1^+}(x^2+3) = 4 \]\(L_1=3 \neq L_2=4\), ambos finitos.
⟹ Salto finito en \(x=1\), salto = 1

discontinuidad de salto finito

🔵 Tipo 3: Discontinuidad de Salto Infinito (Asintótica)

📌 Definición
\(f\) tiene una discontinuidad de salto infinito en \(x=a\) cuando al menos uno de los límites laterales es \(\pm\infty\):
\[ \lim_{x\to a^-}f(x) = \pm\infty \quad \text{y/o} \quad \lim_{x\to a^+}f(x) = \pm\infty \]En este caso \(x=a\) es una asíntota vertical de la función. También llamada discontinuidad de segunda especie asintótica.

🔑 Cómo identificarla

Aparece en funciones racionales \(P(x)/Q(x)\) cuando \(Q(a)=0\) pero \(P(a)\neq 0\). También en funciones con logaritmos o raíces en denominador. Toda asíntota vertical corresponde a un salto infinito y viceversa.

📝 Ejemplo resuelto
\[ f(x) = \frac{1}{x-2} \]Punto: \(x=2\).
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2} = -\infty \]\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2} = +\infty \]⟹ Salto infinito en \(x=2\). A.V.: \(x=2\).

Puedes visualizar muy bien las gráficas con el programa Desmos. Muy recomendable.

🟣 Tipo 4: Discontinuidad Esencial (2.ª Especie, Oscilante)

📌 Definición
\(f\) tiene una discontinuidad esencial en \(x=a\) cuando alguno de los límites laterales no existe ni siquiera como infinito: la función oscila sin tender a ningún valor.
\[ \nexists\;\lim_{x\to a^-}f(x) \quad\text{o}\quad \nexists\;\lim_{x\to a^+}f(x) \]

📝 Ejemplo clásico
\[ f(x) = \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \text{ en } x=0 \]Cuando \(x\to 0\), el argumento \(1/x\to\infty\) y el seno oscila infinitamente entre \(-1\) y \(1\). No existe \(\lim_{x\to 0}f(x)\).
⟹ Discontinuidad esencial en \(x=0\)

🔑 Frecuencia en EBAU

La discontinuidad esencial rara vez aparece en Selectividad. Sin embargo, es parte del temario completo. Conocerla te permite responder preguntas teóricas y diferencial la clasificación de 1.ª y 2.ª especie correctamente.

🧭 Método General para Estudiar Continuidad y Clasificar Discontinuidades

Identifica los puntos conflictivos.
Anula el denominador, busca radicandos negativos, logaritmos de cero y los puntos de cambio en funciones a trozos. Solo esos son candidatos a discontinuidad.

Calcula los dos límites laterales en cada punto.
\(L^- = \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) y \(L^+ = \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Siempre los dos, aunque la función no sea a trozos.

Aplica el árbol de decisión y concluye el tipo.

\(L^-=L^+=L\) finito y \(L=f(a)\) → continua.
\(L^-=L^+=L\) finito pero \(f(a)\neq L\) o \(\nexists f(a)\) → evitable.
\(L^-\neq L^+\), ambos finitos → salto finito. Calcula el salto: \(|L^+-L^-|\).
Algún límite es \(\pm\infty\) → salto infinito. Indica la asíntota vertical.
Algún límite no existe → esencial.

Redacta la conclusión de forma explícita.
Escribe: "La función tiene una discontinuidad de [tipo] en \(x=a\) porque los límites laterales son \(L^-=[valor]\) y \(L^+=[valor]\)…". Esto garantiza la puntuación completa en EBAU.

📊 Tabla Comparativa: Los 4 Tipos de Discontinuidades

Tipo	\(\lim^-\)	\(\lim^+\)	\(\lim^-=\lim^+\)	\(\lim=f(a)\)	Gráfica	¿Reparable?
🟠 Evitable	Sí, \(L\)	Sí, \(L\)	✅ Sí	❌ No	Agujero ○	✅ Sí
🔴 Salto finito	Sí, \(L_1\)	Sí, \(L_2\)	❌ \(L_1\neq L_2\)	❌ No	Salto brusco	❌ No
🔵 Salto infinito	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)	—	❌ No	Asíntota vertical	❌ No
🟣 Esencial	∄	∄	❌ No	❌ No	Oscilación	❌ No

⭐ Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Seis ejercicios de dificultad progresiva: desde la clasificación básica hasta problemas tipo EBAU con parámetros. Intenta resolverlos antes de ver la solución.

EJ 1
Discontinuidad evitable — Función racional

📝 Enunciado
Estudia la continuidad de \(f(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x-2}\) y clasifica la discontinuidad.

Punto conflictivo: \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). Dom\((f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Factorizamos: \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\).
\[\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+3)=5\]Límite finito, \(L=5\). Los dos laterales coinciden.

\(f(2)\) no existe (fuera del dominio).

✅ Conclusión: Discontinuidad evitable en \(x=2\), con límite \(L=5\). Se elimina extendiendo \(f(2):=5\).

EJ 2
Función a trozos — Dos discontinuidades de salto finito

📝 Enunciado
Estudia la continuidad en los puntos de ruptura:
\[ f(x) = \begin{cases} x^2-1 & x < 0 \\ 3 & x = 0 \\ 2x+1 & 0 < x \leq 3 \\ x^2-4 & x > 3 \end{cases} \]

Estudio en \(x=0\):
\[L^- = \lim_{x\to 0^-}(x^2-1) = -1\qquad L^+ = \lim_{x\to 0^+}(2x+1) = 1\qquad f(0)=3\]\(L^-=-1\neq L^+=1\) → salto finito en \(x=0\). Salto \(=|1-(-1)|=2\).

Estudio en \(x=3\):
\[L^- = \lim_{x\to 3^-}(2x+1) = 7\qquad L^+ = \lim_{x\to 3^+}(x^2-4) = 5\qquad f(3)=7\]\(L^-=7\neq L^+=5\) → salto finito en \(x=3\). Salto \(=|7-5|=2\).

✅ Conclusión: Dos discontinuidades de salto finito: en \(x=0\) (salto=2) y en \(x=3\) (salto=2).

EJ 3
Racional: evitable + salto infinito en la misma función

📝 Enunciado
Clasifica todas las discontinuidades de \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}\).

Denominador: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) → puntos \(x=2\) y \(x=3\).

Numerador: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Simplificando:
\[f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+2}{x-3}\quad(x\neq 2)\]

En \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x-3}=\frac{4}{-1}=-4\). Finito, \(f(2)\) no existe → evitable, \(L=-4\).

En \(x=3\):
\[\lim_{x\to 3^-}\frac{x+2}{x-3}=\frac{5}{0^-}=-\infty\qquad\lim_{x\to 3^+}\frac{x+2}{x-3}=\frac{5}{0^+}=+\infty\]→ Salto infinito. A.V. \(x=3\).

✅ Resumen: \(x=2\): evitable (\(L=-4\)) | \(x=3\): salto infinito (A.V.)

EJ 4
Hallar el parámetro \(k\) para que sea continua — Tipo EBAU muy frecuente

📝 Enunciado
Halla el valor de \(k\in\mathbb{R}\) para que la siguiente función sea continua en \(x=2\):
\[ f(x) = \begin{cases} kx^2 - 3 & \text{si } x \leq 2 \\ x + k & \text{si } x > 2 \end{cases} \]

\(L^- = \displaystyle\lim_{x\to 2^-}(kx^2-3) = 4k-3\)

\(L^+ = \displaystyle\lim_{x\to 2^+}(x+k) = 2+k\)

\(f(2) = 4k-3\) (coincide con \(L^-\)).

Condición \(L^-=L^+\):
\[4k-3 = 2+k \Rightarrow 3k=5 \Rightarrow k=\frac{5}{3}\]Verificación: \(L^- = \frac{20}{3}-3=\frac{11}{3}\); \(L^+=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\). ✅

✅ Resultado: \(\boldsymbol{k = \dfrac{5}{3}}\)

EJ 5
Análisis completo — 3 discontinuidades diferentes

📝 Enunciado
Clasifica todas las discontinuidades:
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x+1} & x < 0 \\ 1 & x = 0 \\ \dfrac{1}{x} & 0 < x \leq 2 \\ 3x-5 & x > 2 \end{cases} \]

\(x=-1\) (en primer trozo):
\[\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\Rightarrow\lim_{x\to -1}(x-1)=-2\]Finito, \(f(-1)\) no existe → evitable con \(L=-2\).

\(x=0\) (cambio de trozo):
\[L^-=\lim_{x\to 0^-}\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{-1}{1}=-1\qquad L^+=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\]\(L^+=+\infty\) → salto infinito en \(x=0\).

\(x=2\) (cambio de trozo):
\[L^-=\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\qquad L^+=\lim_{x\to 2^+}(3x-5)=1\qquad f(2)=\frac{1}{2}\]\(L^-=\tfrac{1}{2}\neq L^+=1\) → salto finito en \(x=2\). Salto\(=|1-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2}\).

✅ Resumen: \(x=-1\): evitable (\(L=-2\)) | \(x=0\): salto infinito | \(x=2\): salto finito (salto=\(\tfrac{1}{2}\))

🏆 EBAU
Parámetro + tipo según \(k\)

📝 Enunciado
Sea \(f(x)=\begin{cases}x^2-k & x\leq 1\\3x+1 & x>1\end{cases}\)
a) Halla \(k\) para que \(f\) sea continua en \(x=1\).
b) Si \(k=0\), ¿qué tipo de discontinuidad tiene en \(x=1\)?

Apartado a:
\[L^-=\lim_{x\to 1^-}(x^2-k)=1-k\qquad L^+=\lim_{x\to 1^+}(3x+1)=4\qquad f(1)=1-k\]\[1-k=4\Rightarrow\boxed{k=-3}\]

Apartado b (\(k=0\)):
\[L^-=1,\quad L^+=4,\quad L^-\neq L^+,\text{ ambos finitos}\]→ Discontinuidad de salto finito. Salto \(=|4-1|=3\).

✅ Resultados: a) \(k=-3\) | b) Salto finito, salto = 3

🚫 Errores Frecuentes al Clasificar Discontinuidades

❌ Error 1: Llamar "evitable" a cualquier punto fuera del dominio

Si \(f(a)\) no existe pero los límites laterales son \(\pm\infty\), la discontinuidad es de salto infinito, no evitable. Primero comprueba siempre los límites laterales y solo entonces aplica la definición.

❌ Error 2: Omitir el valor del salto

En una discontinuidad de salto finito siempre calcula y escribe: Salto = \(|L^+ - L^-|\). En Selectividad es un punto aparte que se evalúa de forma independiente.

❌ Error 3: Confundir el signo de los infinitos en el salto infinito

En \(\lim_{x\to a^\pm}\frac{1}{x-a}\): si \(x\to a^-\), entonces \(x-a<0\), por lo que el límite es \(-\infty\). Si \(x\to a^+\), es \(+\infty\). Indica siempre el signo correcto al describir la asíntota.

❌ Error 4: Olvidar algún punto de ruptura en funciones a trozos

Cada punto donde cambia la regla de la función es candidato a discontinuidad. Debes estudiarlos todos. Que \(f(a)\) esté definida no garantiza la continuidad; hay que verificar que coincide con los límites laterales.

❌ Error 5: Usar el límite global en vez de los laterales

Siempre calcula \(\lim^-\) y \(\lim^+\) por separado. Si los calculas directamente con el límite global sin verificar los laterales, puedes perderte una discontinuidad de salto finito.

❓ Preguntas Frecuentes sobre los Tipos de Discontinuidades

🤔 ¿Cuántos tipos hay según la EBAU/Selectividad?

Las directrices oficiales establecen tres: evitable, salto finito y salto infinito. Algunos temarios añaden la esencial (2.ª especie). Usa siempre los tres términos oficiales y añade el cuarto si tu libro lo recoge.

🤔 ¿Toda asíntota vertical es un salto infinito?

Sí. Asíntota vertical en \(x=a\) ⟺ discontinuidad de salto infinito en \(x=a\). La relación es de equivalencia exacta.

🤔 ¿La discontinuidad evitable siempre tiene \(f(a)\) indefinida?

No. Puede darse que \(f(a)\) esté definida con un valor incorrecto (distinto al límite). Lo que importa es que \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) pero \(f(a)\neq L\), independientemente de si \(f(a)\) existe o no.

🤔 ¿Puede la misma función tener distintos tipos en distintos puntos?

Sí. Como vimos en el Ejercicio 3, una misma función puede tener una discontinuidad evitable en un punto y un salto infinito en otro. Cada punto se clasifica de forma independiente.

🤔 ¿Cómo estudio la continuidad de una función con valor absoluto?

Convierte \(|g(x)|\) en función a trozos: \(|g(x)|=g(x)\) si \(g(x)\geq0\) y \(-g(x)\) si \(g(x)<0\). Los puntos de cambio son las raíces de \(g(x)=0\). Luego aplica el método habitual de límites laterales.

📚 Resumen: lo esencial sobre los tipos de discontinuidades

🟠 Evitable: \(L^-=L^+=L\) finito, pero \(f(a)\neq L\). El único tipo reparable: define \(f(a)=L\).
🔴 Salto finito: \(L^-\neq L^+\), ambos finitos. Calcula el salto: \(|L^+-L^-|\). Inevitable.
🔵 Salto infinito: Algún límite es \(\pm\infty\). Genera asíntota vertical. Inevitable.
🟣 Esencial: Algún límite no existe (oscila). La más grave; casi no aparece en EBAU.
🧭 Protocolo infalible: Identifica puntos conflictivos → calcula \(L^-\) y \(L^+\) → árbol de decisión → redacta conclusión.
🚫 Nunca confundas "f(a) no definida" con "evitable": primero revisa los límites laterales.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...