Razones trigonométricas del ángulo suma y resta

Las razones trigonométricas del ángulo suma (una suma de dos ángulos  \(\alpha\) y \(\beta\)) son las fórmulas que permiten calcular el seno, coseno y tangente de la suma de dos ángulos. 

Así, a partir de ángulos conocidos, podemos estudiar triángulos y funciones trigonométricas. Esto te ayudará en la resolución de problemas de geometría y análisis matemático. Vamos allá!

¿Qué son las razones trigonométricas del ángulo suma?

Son expresiones que relacionan los senos y cosenos de dos ángulos. Se utilizan para calcular el valor de funciones trigonométricas cuando se suman ángulos. Estas se derivan de las propiedades de los triángulos y la geometría del círculo unitario.

Las fórmulas principales son las siguientes:

Estas identidades son muy útiles en problemas de trigonometría y geometría. La importancia de las razones trigonométricas del ángulo suma radica en su capacidad para simplificar el proceso de cálculo de funciones trigonométricas cuando se trabaja con ángulos compuestos.

¿Cómo se obtienen las razones trigonométricas de la suma de ángulos?

A partir del círculo unitario (de radio uno), donde cada punto representa un ángulo y su respectivo seno y coseno. La suma de dos ángulos implica encontrar las proyecciones en el eje Y y el eje X de los ángulos sumados, lo cual se traduce en las fórmulas mencionadas anteriormente.

Por ejemplo, al sumar los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\), se pueden aplicar las definiciones de seno y coseno para cada uno, lo que lleva a la derivación de las fórmulas de suma. Esta es una excelente forma de ver cómo las razones trigonométricas del ángulo suma están interconectadas con la geometría.

En términos prácticos, al tener los valores de \(\sin(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\), \(\sin(\beta)\) y \(\cos(\beta)\), puedes sustituirlos en las fórmulas de suma para encontrar el valor deseado de \(\sin(\alpha + \beta)\) o \(\cos(\alpha + \beta)\). Con esta visualización podrás entender cómo se derivan las fórmulas de suma y cómo se aplican en cálculos posteriores.

Ejemplo de cálculo del seno de la suma de ángulos

Imaginemos que queremos calcular el seno de \(75^\circ\), que se puede expresar como la suma de \(45^\circ\) y \(30^\circ\). Usando la fórmula:

\(\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)\)

Sabemos que:

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Ahora sustituimos estos valores en la fórmula:

\(\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)

Al realizar la multiplicación, obtenemos:

\(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Así, hemos calculado \(\sin(75^\circ)\) utilizando la razón trigonométrica del ángulo suma.

Razones trigonométricas de la resta de ángulos

Al igual que las razones trigonométricas de suma, también existen fórmulas para la resta de ángulos. Las principales son:

Como verás, estas fórmulas son muy parecidas a las anteriores. Puedes utilizaer alguna regla mnemotécnica para aprendértelas. Entender cómo funcionan estas identidades te permitirá resolver problemas más complejos en trigonometría.

Por ejemplo, si quisiéramos calcular \(\sin(15^\circ)\), podríamos expresarlo como \(\sin(45^\circ - 30^\circ)\) y aplicar la fórmula de seno de la resta.

Ejercicio práctico de trigonometría

Imagina que deseas calcular \(\tan(75^\circ)\). Sabemos que \(75^\circ\) se puede expresar como la suma de \(45^\circ\) y \(30^\circ\), así que aplicamos la fórmula:

\(\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}\)

Conocemos que:

\(\tan(45^\circ) = 1\)
\(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ahora sustituimos:

\(\tan(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}\)

Al simplificar, obtendremos el valor de \(\tan(75^\circ)\), lo que demuestra cómo aplicar las razones trigonométricas del ángulo suma en ejercicios prácticos.

Para profundizar en el tema, aquí puedes ver el siguiente video que explica de manera visual algunos ejercicios de suma de ángulos de funciones trigonométricas:

Integrales trigonométricas : fórmulas, trucos y ...

Integrales por sustitución: guía completa

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