¿Cómo?! ¿Los números también tienen categorías? Casi todos tenemos un número favorito, pero hoy no vamos a hablar de esto, sino de un número realmente sorprendente y muy presente, aunque algo desconocido en la sociedad: el número de oro o el número áureo.

Influenciados por la naturaleza, los hombres han determinado ciertos cánones de belleza y armonía. Con el paso de los tiempo, las matemáticas nos han mostrado cómo esos cánones obedecían a leyes precisas y a números concretos.

¿Qué es el número de oro?

¿Todavía no te crees que existe un número de oro?

El número de oro está muy presente en el mundo en que vivimos.

La proporción de oro ha sido anunciada como la más bella proporción en arte y arquitectura durante siglos. Ejemplos notables son el Partenón, o cuadros como la Gioconda o Las Meninas, además de en otras creaciones célebres.

Pero esta proporción divina no es sólo una marca de belleza, sino uno de los números más intrigantes de nuestra existencia. Está muy presente en la naturaleza, en el arte, en el cuerpo humano e incluso en las cosas cotidianas.

El gran Leonardo da Vinci consideraba esta proporción como la medida de la belleza perfecta.

El número de oro: Un número infinito e irrepetible

Representado por la letra griega Phi (Φ,φ), en honor al famoso escultor griego Fidias (siglo 5 a. C.)  El símbolo se lo adjudicó en el año 1900 el matemático Mark Barr.

Se trata de un número irracional (es decir, no puede expresarse en forma de fracción)

numero de oro

Euclides y la proporción aúrea

En el libro 6 de Los Elementos, Euclides nos informa como podemos obtener la proporción de oro.

Nos instruye que tomemos un segmento de línea y lo dividamos en dos segmentos más pequeños, de manera que la relación entre el segmento de línea entero (a+b) y el segmento a sea la misma que la relación entre el segmento a y el segmento b, de la siguiente manera:

el numero de oro

Mediante esta igualdad queda representada la también conocida como la proporción áurea:

numero aureo

El rectángulo áureo

Esta proporción se representa más comúnmente como el rectángulo de oro, un rectángulo con una relación de longitud lateral de 1.618:1

Estos rectángulos tienen una bonita propiedad: si cortas un cuadrado, te quedarás con otro rectángulo de oro. Puedes verlo en la siguiente ilustración y puedes comprobarlo cortando cualquier triángulo, como por ejemplo un folio tamaño A4, porque no creo que te apetezca cortar tu DNI… 😉

el número de oro

¿Cómo calcular el valor del número de oro?

Para encontrar de dónde viene el valor 1.618033… debemos resolver la proporción antes planteada. Para simplificar, vamos a asumir que b=1 y a=x. De este modo podremos saber cuánto vale x. ¡Que grande es el álgebra!

el número aureo

Paso 1

Tomando los productos cruzados obtienes:

numero fi

Y operando en cada término nos queda:

numero aureo valor

Paso 2

Pasamos todos los términos al primer miembro para establecer la ecuación igual a cero:

numero oro

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado, que teniendo en cuenta su ecuación general:

el numero fi

Cuyos valores de coeficientes son:

numero de oro matematicas

Paso 3

Reemplazar estos valores en la fórmula cuadrática y resolvemos.

Cómo estamos trabajando con longitudes, sólo necesitamos la solución positiva.

Y ahí está! La proporción de oro, como se prometió!

numero de oro valor

Si en la proporción de oro que te he comentado antes:

número aúreo

Sustituyes  a=1.618 y b=1 nos queda:

que es el numero de oro

¿Notas algo interesante al comprobar que (1.618 + 1)/1.618 = 1.618?

¡Podemos escribir el número de oro en términos de sí mismo! Lo cual es totalmente asombroso. Si en lugar de 1.618 escribimos φ, obtenemos la siguiente igualdad

numero phi

O su equivalente:

numero aureo simbolo

Podemos rizar el rizo. Que ocurrirá si ahora sustituimos φ por 1+ 1/φ en el denominador … Esto:

numero aureo ejemplos

Wow, esto es genial! ¡Hagámoslo de nuevo!

numero de oro fórmula

Podríamos seguir haciendo esto hasta el infinito. Lo que es bastante espectacular. Resulta que el número de oro se puede escribir como una fracción continua infinita.

Fibonacci y el número áureo

Podemos utilizar este fracción continua para aproximarnos a la proporción de oro y descubrir una relación interesante con la sucesión de Fibonacci.Vamos allá:

Paso 1

Para empezar vamos a modificar un poquito nuestra fracción continua. Vamos a añadir subíndices para indicar que el siguiente valor de φ(n+1), se puede generar a partir del valor anterior de φ(n). Mejor lo ves:

cual es el numero de oro

Al tratarse de una fracción continua infinita, a medida que n aumenta, la aproximación se acerca más al verdadero valor de φ

Paso 2

Para encontrar φ_0 = 1, entonces obtenemos que φ_1=2 Veámoslo:

numero de oro phi

Paso 3

Ahora sólo tienes que repetir el proceso para aproximarte cada vez más al número de oro. Pero no te esfuerces demasiado, que nunca lo alcanzarás. Es infinito.

numero de oro definicion

Paso 4,5,6,…

Sigue  repitiendo este proceso y te podrás aproximar a φ tanto como quieras. Por ejemplo:

simbolo aureo

Ya tenemos el primer decimal, ¡bien!

Sorpresa!! 

Puedes comprobar que cada aproximación es la proporción de dos números adyacentes de la famosa sucesión de Fibonacci.

Sí!!   Ya no necesitamos pasar por la molestia de introducir los valores en la fracción continua, simplemente podemos dividir los términos sucesivos de la Secuencia Fibonacci.

cual es el numero aureo

A medida que avanzamos en cada cálculo, nos encontramos con que nuestra aproximación al número de oro se está acercando cada vez más a su verdadero valor.

De hecho, el límite de los cálculos que estamos efectuando converge a φ, a nuestro enigmático número de oro.

Y este número está presente en la naturaleza de forma notable (en el cuerpo humano, en la disposición de los pétalos de las flores, en el grosor que tienen las ramas de los árboles, en la caracola de algunos animales, en la distribución de las pipas en un girasol, …)

Por eso algunos expertos han postulado que el número φ sea al crecimiento orgánico lo que el número PI es a la medición del círculo: el número en el que están basados todos los cálculos y fenómenos.

Visualmente, también podemos ver cómo la sucesión de Fibonacci genera rectángulos cada vez más cercanos al codiciado Rectángulo de oro:

numero dorado

Pitágoras se estrelló en su propia estrella

Según la tradición, la famosa estrella pentagonal era un símbolo de los seguidores de Pitágoras. Ellos pensaban que el mundo estaba configurado por un orden numérico, en el cual sólo existían los números fraccionarios. El azar o la casualidad decidió que dentro de este símbolo se encontrara nuestro enigmático y sorprendente número φ

numero aureo naturaleza

El número φ  se encuentra por ejemplo, en la relación entre la diagonal del pentágono regular y uno de sus lados. Te dejo que lo compruebes tu mismo. Lo encontrarás además en otros sitios. Te dejo pistas con las letras …

El número áureo en la naturaleza

La proporción áurea la tenemos representada en varios escenarios de la naturaleza:

Cabezas de semillas, piñas, frutas y vegetales: Mira la variedad de semillas en el centro de un girasol y notarás lo que parecen patrones en espiral que se curvan a la izquierda y a la derecha. Sorprendentemente, si cuentas estas espirales, su total será un número de Fibonacci. Si divides las espirales en las que apuntan a la izquierda y a la derecha, obtendrás dos números consecutivos de Fibonacci. Se pueden descifrar patrones espirales en piñas y coliflores que también reflejan la secuencia Fibonacci de esta manera.

Flores y ramas: Algunas plantas expresan la secuencia Fibonacci en sus puntos de crecimiento, los lugares donde se forman o se dividen las ramas de los árboles. Un tronco crece hasta producir una rama, resultando en dos puntos de crecimiento. El tronco principal produce otra rama, resultando en tres puntos de crecimiento. Luego, el tronco y la primera rama producen dos puntos de crecimiento más, con lo que el total se eleva a cinco. Este patrón continúa, siguiendo los números de Fibonacci. Además, si cuentas el número de pétalos en una flor, a menudo encontrará que el total es uno de los números en la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, los lirios y el iris tienen tres pétalos, los copos de mantequilla y las rosas silvestres tienen cinco, los delphiniums tienen ocho pétalos y así sucesivamente.

numero phi naturaleza

Abejas melíferas: Una colonia de abejas melíferas está formada por una reina, unos cuantos zánganos y muchas obreras. Las abejas hembra (reinas y obreras) tienen dos padres, un zángano y una reina. Los zánganos, por otro lado, nacen de huevos no fertilizados. Esto significa que sólo tienen un padre. Por lo tanto, los números de Fibonacci expresan el árbol genealógico de un zángano en que él tiene un padre, dos abuelos, tres bisabuelos y así sucesivamente.

El cuerpo humano: Mírate bien en el espejo. Notarás que la mayoría de las partes de tu cuerpo siguen los números uno, dos, tres y cinco. Tienes una nariz, dos ojos, tres segmentos para cada miembro y cinco dedos en cada mano. Las proporciones y medidas del cuerpo humano también se pueden dividir en términos de la proporción de oro. Las moléculas de ADN siguen esta secuencia, midiendo 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho para cada ciclo completo de la doble hélice.

Aunque muchos artistas y diseñadores pueden discrepar sobre si el número de oro implica belleza o no, creo que es  seguro decir que este número es matemáticamente intrigante.

¿Conocías este número? Me he dejado en el tintero otras muchas cosas interesantes y curiosidades acerca del número de oro. En otra ocasión … O tal puedes contarlas tú. Espero tus comentarios.

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Un blog que pretende ayudarte con las matemáticas

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