🔎 Índice de contenidos
- 🎯 ¿Por qué son Importantes las Derivadas con Logaritmos?
- 🔴 Derivada del Logaritmo Neperiano ln(x)
- 🔗 Regla de la Cadena con Logaritmos: ln(u)
- 🔢 Derivada de Logaritmos en Cualquier Base
- ⚙ Reglas Combinadas con Logaritmos
- ⚡ Derivación Logarítmica: el Truco para Funciones Difíciles
- 🎯 Ejercicios Interactivos con Solución
- 📊 Resumen Visual: Derivadas con Logaritmos
🎯 ¿Por qué son Importantes las Derivadas con Logaritmos?
Las derivadas con logaritmos aparecen constantemente en Bachillerato y Selectividad. Los logaritmos están en todas partes: en la biología (crecimiento bacteriano), en la economía (interés compuesto), en la física (escala Richter de terremotos) y, por supuesto, en los exámenes de matemáticas. 🌍
📖 ¿Qué vas a aprender?
En este artículo dominarás las tres situaciones que aparecen en los exámenes:
- Derivada directa de \(\ln(x)\) y \(\log_a(x)\)
- Regla de la cadena aplicada a funciones logarítmicas compuestas
- Reglas combinadas: logaritmo con producto, cociente y potencia
- Derivación logarítmica: para funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\)
📈
\( [\ln(x)]' = \dfrac{1}{x} \)
Fórmula base más importante
🔗
Regla de la cadena
\( [\ln(u)]' = \dfrac{u'}{u} \)
🔢
Cualquier base
\( [\log_a(x)]' = \dfrac{1}{x\ln a} \)
⚡
Derivación log.
Truco para \( f(x)^{g(x)} \)
🔴 Derivada del Logaritmo Neperiano ln(x)
La fórmula más importante que debes memorizar es la derivada del logaritmo natural o neperiano. A partir de ella se derivan todas las demás:
Fórmula fundamental
\[
\left[\ln(x)\right]' = \frac{1}{x}
\]
\left[\ln(x)\right]' = \frac{1}{x}
\]
Válida para \( x > 0 \)
💡 ¿Por qué es tan especial \( e \)?
El número \( e \approx 2{,}71828\ldots \) es la base del logaritmo neperiano. Una de sus propiedades más asombrosas es precisamente que la función \( e^x \) es su propia derivada: \( (e^x)' = e^x \). Y como consecuencia directa de esa propiedad, \( [\ln(x)]' = 1/x \).
✏ Ejemplos directos
🟢 \( f(x) = \ln(x) \) → \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
🟢 \( f(x) = 5\ln(x) \) → \( f'(x) = \dfrac{5}{x} \) (constante por fuera)
🟢 \( f(x) = \ln(x) + x^2 \) → \( f'(x) = \dfrac{1}{x} + 2x \) (derivada término a término)
🟢 \( f(x) = 3\ln(x) - \sqrt{x} \) → \( f'(x) = \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
🔗 Regla de la Cadena con Logaritmos: ln(u)
En la mayoría de los exámenes, dentro del logaritmo no hay solo una \( x \), sino una función más compleja. Aquí entra la regla de la cadena: la fórmula más útil para derivar logaritmos.
★ Regla de la cadena aplicada al logaritmo
\[ \left[\ln\!\left(u(x)\right)\right]' = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
La derivada del logaritmo de una función es: la derivada de lo de dentro dividida entre lo de dentro
📌 Cómo aplicarla paso a paso
- Identifica la función \( u(x) \) que está dentro del logaritmo.
- Calcula la derivada de \( u(x) \): obtienes \( u'(x) \).
- Escribe el resultado: \( \dfrac{u'(x)}{u(x)} \)
- Simplifica si es posible.
✏ Ejemplo 1 — Regla de la cadena básica
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \ln(3x + 1) \)
- Lo de dentro: \( u(x) = 3x + 1 \)
- Derivada de lo de dentro: \( u'(x) = 3 \)
- Aplicamos: \( f'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{3}{3x+1} \)
✅ \( f'(x) = \dfrac{3}{3x+1} \)
✏ Ejemplo 2 — Con función cuadrática dentro
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \ln(x^2 + 5x) \)
- Lo de dentro: \( u(x) = x^2 + 5x \)
- Derivada: \( u'(x) = 2x + 5 \)
- Aplicamos: \( f'(x) = \dfrac{2x+5}{x^2+5x} \)
- Podemos factorizar: \( f'(x) = \dfrac{2x+5}{x(x+5)} \)
✅ \( f'(x) = \dfrac{2x+5}{x^2+5x} \)
✏ Ejemplo 3 — Con función trigonométrica dentro
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \ln(\sin x) \)
- Lo de dentro: \( u(x) = \sin(x) \)
- Derivada: \( u'(x) = \cos(x) \)
- Aplicamos: \( f'(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \)
✅ \( f'(x) = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \)
💡 Truco mnemotécnico
Para \( \ln(u) \): "derivada de lo de dentro, partido por lo de dentro". Si lo de dentro es solo \( x \), la derivada de \( x \) es 1, así que queda \( 1/x \). Todo encaja.
🔢 Derivada de Logaritmos en Cualquier Base
Hasta ahora hemos trabajado con el logaritmo natural. ¿Qué ocurre con \( \log_2(x) \), \( \log_5(x) \) o el logaritmo decimal \( \log_{10}(x) \)?
★ Derivada del logaritmo en base a
\[ \left[\log_a(x)\right]' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \]
Con regla de la cadena: \( \left[\log_a(u)\right]' = \dfrac{u'}{u \cdot \ln(a)} \)
📌 ¿Por qué esta fórmula?
Usando el cambio de base: \( \log_a(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(a)} \). Como \( \ln(a) \) es una constante, derivar es inmediato:
\[ \left[\log_a(x)\right]' = \left[\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\right]' = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln(a)} \]
✏ Ejemplos con distintas bases
🟢 \( f(x) = \log_2(x) \) → \( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2} \)
🟢 \( f(x) = \log_{10}(x) \) → \( f'(x) = \dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{1}{2{,}303\,x} \)
🟢 \( f(x) = \log_3(x^2) \) → \( u=x^2,\; u'=2x \) → \( f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 \ln 3} = \dfrac{2}{x\ln 3} \)
🟢 \( f(x) = \log_5(2x-1) \) → \( u'=2 \) → \( f'(x) = \dfrac{2}{(2x-1)\ln 5} \)
💡 Caso especial: logaritmo decimal \( \log(x) \)
En España, cuando se escribe \( \log(x) \) sin especificar base, se sobrentiende que la base es 10. Su derivada es \( \dfrac{1}{x\ln 10} \). Recuerda: \( \ln 10 \approx 2{,}303 \).
⚙ Reglas Combinadas con Logaritmos
Las funciones del examen casi nunca vienen solas. Los logaritmos se combinan con productos, cocientes y potencias. Aquí tienes los tres casos con sus fórmulas y ejemplos.
☆ Regla del producto
🔴 Derivada de \( f\cdot g \)
\( (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \)
Ej: \( h(x)=x\ln(x) \)
\( h'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln(x)+1 \)
☆ Regla del cociente
🟣 Derivada de \( f/g \)
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2} \)
Ej: \( h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} \)
\( h'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln(x)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \)
☆ Potencia de logaritmo
🟢 Derivada de \( \ln^n(x) \)
\( \left[\ln^n(x)\right]' = \dfrac{n\ln^{n-1}(x)}{x} \)
Ej: \( h(x)=\ln^2(x) \)
\( h'(x)=\dfrac{2\ln(x)}{x} \)
☆ Propiedades del log
🔴 Simplificar antes de derivar
\( \ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\ln u - \ln v \)
\( \ln(u\cdot v)=\ln u + \ln v \)
\( \ln(u^n)=n\ln(u) \)
Usa estas propiedades para simplificar ✔
✏ Ejemplo con regla del producto
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = x^3 \ln(x) \)
- Identificamos: \( f_1=x^3 \) y \( f_2=\ln(x) \)
- Derivadas: \( f_1'=3x^2 \) y \( f_2'=\dfrac{1}{x} \)
- Aplicamos el producto: \( f'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \dfrac{1}{x} \)
- Simplificamos: \( f'(x) = 3x^2\ln(x) + x^2 = x^2(3\ln(x)+1) \)
✅ \( f'(x) = x^2\!\left(3\ln x + 1\right) \)
✏ Ejemplo con regla del cociente
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2} \)
- Numerador \( f=\ln(x) \), denominador \( g=x^2 \)
- Derivadas: \( f'=\dfrac{1}{x} \), \( g'=2x \)
- Aplicamos cociente: \( f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln(x)\cdot 2x}{x^4} \)
- Simplificamos: \( f'(x)=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4}=\dfrac{x(1-2\ln x)}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3} \)
✅ \( f'(x) = \dfrac{1-2\ln x}{x^3} \)
✏ Ejemplo con propiedades del logaritmo
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) \)
- Aplicamos propiedad: \( f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1) \)
- Derivada de \( \ln(x+1) \): \( \dfrac{1}{x+1} \)
- Derivada de \( \ln(x-1) \): \( \dfrac{1}{x-1} \)
- \( f'(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2-1} \)
✅ \( f'(x) = \dfrac{-2}{x^2-1} \) 💡 ¡Usando propiedades, el cálculo fue mucho más sencillo!
⚡ Derivación Logarítmica: el Truco para Funciones Difíciles
¿Alguna vez te has encontrado con una función como \( y = x^x \) o \( y = (\sin x)^{\cos x} \) y no sabías cómo derivarla? La derivación logarítmica es la solución.
📖 ¿Cuándo usar derivación logarítmica?
- Cuando el exponente también es una función de x: \( f(x)^{g(x)} \)
- Cuando tenemos productos o cocientes de muchas funciones
- Cuando la función tiene raíces con exponentes complicados
📌 Método de derivación logarítmica
- Aplica logaritmo neperiano a ambos lados: \( \ln y = \ln\!\left[f(x)\right] \)
- Simplifica usando las propiedades del logaritmo.
- Deriva ambos lados respecto a x. El lado izquierdo da \( \dfrac{y'}{y} \) (regla de la cadena).
- Despeja \( y' \): multiplica ambos lados por \( y \).
- Sustituye \( y \) por la expresión original.
✏ Ejemplo clásico: \( y = x^x \)
- Aplicamos \( \ln \): \( \ln y = \ln(x^x) = x\ln(x) \)
- Derivamos ambos lados: \( \dfrac{y'}{y} = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln(x)+1 \)
- Despejamos: \( y' = y\cdot(\ln x+1) \)
- Sustituimos \( y=x^x \): \( y' = x^x(\ln x + 1) \)
✅ \( (x^x)' = x^x(\ln x + 1) \) 😊 ¡Imposible con las reglas normales!
✏ Ejemplo: producto de muchas funciones
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x) = \dfrac{(x+1)^2\sqrt{x-3}}{x^4} \)
- Aplicamos \( \ln \): \( \ln f = 2\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x-3) - 4\ln(x) \)
- Derivamos: \( \dfrac{f'}{f} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{1}{2(x-3)} - \dfrac{4}{x} \)
- Multiplicamos por \( f \): \( f' = \dfrac{(x+1)^2\sqrt{x-3}}{x^4}\cdot\!\left(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{2(x-3)}-\dfrac{4}{x}\right) \)
✅ Resultado expresado en forma factorizada. 📈 Sin derivación logarítmica, habría sido un cociente enorme.
📊 Tabla Resumen de Fórmulas
| Función | Derivada | Regla usada |
|---|---|---|
| \( \ln(x) \) | \( \dfrac{1}{x} \) | 🔴 Directa |
| \( \ln(u) \) | \( \dfrac{u'}{u} \) | 🔵 Cadena |
| \( \log_a(x) \) | \( \dfrac{1}{x\ln a} \) | 🔴 Directa base a |
| \( \log_a(u) \) | \( \dfrac{u'}{u\ln a} \) | 🔵 Cadena base a |
| \( k\cdot\ln(x) \) | \( \dfrac{k}{x} \) | 🔶 Constante por función |
| \( \ln^n(x) \) | \( \dfrac{n\ln^{n-1}(x)}{x} \) | 🔵 Cadena (potencia) |
| \( f\cdot\ln(g) \) | \( f'\ln(g)+f\cdot\dfrac{g'}{g} \) | 🔷 Producto |
| \( \dfrac{\ln(f)}{g} \) | \( \dfrac{\frac{1}{f}\cdot f'\cdot g - \ln(f)\cdot g'}{g^2} \) | 🔸 Cociente |
| \( f(x)^{g(x)} \) | \( f^g\left(g'\ln f + g\dfrac{f'}{f}\right) \) | ⚡ Deriv. logarítmica |
📚
Consejo de examen (Selectividad): Antes de derivar, simplifica siempre usando las propiedades del logaritmo. Separar un cociente en diferencia de logaritmos o sacar el exponente como factor puede ahorrarte la mitad del trabajo.
🎯 Ejercicios Interactivos con Solución
Intenta resolver cada ejercicio y pulsa Ver solución para ver todos los pasos explicados. 💪
🔵 Fichas Básicas: Regla de la Cadena
1
Dificultad:
Básica
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln(4x) \)
2
Dificultad:
Básica
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln(x^2-3) \)
3
Dificultad:
Básica
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x}\right) \)
🟠 Fichas Medias: Reglas Combinadas
4
Dificultad:
Media
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=x^2\ln(x) \)
5
Dificultad:
Media
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2} \)
6
Dificultad:
Media
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln^3(x) \)
Es decir, \( f(x) = [\ln(x)]^3 \)
Es decir, \( f(x) = [\ln(x)]^3 \)
7
Dificultad:
Media
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\log_3(5x^2) \)
🔴 Fichas Avanzadas: Composición y Derivación Logarítmica
8
Dificultad:
Alta
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln(3x^2-2x+1) \)
9
Dificultad:
Alta
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln\!\left(\cos(x^2)\right) \)
Doble aplicación de la cadena
Doble aplicación de la cadena
10
Dificultad:
Alta
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) \)
Usa propiedades del logaritmo
Usa propiedades del logaritmo
11
Dificultad:
Alta
Calcula \( f'(x) \) si \( f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^2+1}\right) \)
12
Dificultad:
Avanzada
Derivación logarítmica: calcula \( y' \) si \( y=x^{\sin x} \)
📊 Resumen Visual: Derivadas con Logaritmos
| Situación | Qué hacer | Resultado |
|---|---|---|
| Solo \(\ln(x)\) | Fórmula directa | \(1/x\) |
| \(\ln(\text{algo})\) | Cadena: derivada de lo de dentro / lo de dentro | \(u'/u\) |
| \(\log_a(\text{algo})\) | Cadena con factor \(\ln a\) | \(u'/(u\ln a)\) |
| \(\ln(\text{algo})\cdot\text{algo}\) | Regla del producto | \(f'g+fg'\) |
| \(\ln(\text{algo})/\text{algo}\) | Regla del cociente | \((f'g-fg')/g^2\) |
| \(\ln(a\cdot b)\) o \(\ln(a/b)\) | Propiedad logaritmo → simplifica | \(\ln a\pm\ln b\) |
| \(f(x)^{g(x)}\) | Derivación logarítmica | \(y'\) tras aplicar \(\ln\) |
❓ Preguntas Frecuentes sobre Derivadas con Logaritmos
¿Cuál es la derivada de ln(x)? ▼
¿Qué diferencia hay entre derivar ln(x) y ln(u)? ▼
¿Cómo se deriva un logaritmo en base 10? ▼
¿Cuándo conviene usar las propiedades del logaritmo antes de derivar? ▼
¿Qué es la derivación logarítmica y cuándo se usa? ▼
¿Salen derivadas con logaritmos en Selectividad? ▼
🚀
¿Quieres aprender más?:
Derivadas trigonométricas,
Derivada de una fracción
Tabla de derivadas.
👇 ¿Tienes dudas con algún ejercicio? Déjala en los comentarios.
Espero que te haya gustado este artículo sobre Derivadas con logaritmos: guía y ejercicios. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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