Derivada de la tangente: sec²(x), regla cadena y ejemplos 📐

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

📐 Derivada de la Tangente

Guía completa para Bachillerato · Tres fórmulas equivalentes · Demostración · Ejercicios interactivos paso a paso

📋 TABLA DE DERIVADAS

🔍 ¿Qué es la derivada de la tangente?

La derivada de la tangente es uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial trigonométrico. Aparece constantemente en problemas de Bachillerato y EBAU y es imprescindible conocerla antes de enfrentarte a cualquier ejercicio de derivadas de funciones trigonométricas.

Recuerda que la función tangente se define como el cociente entre seno y coseno:

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Partiendo de esta definición, y aplicando la regla de derivación del cociente, obtenemos su derivada.

💡 ¿Por qué es importante dominarla?

La derivada de la tangente aparece en problemas de rectas tangentes a curvas, optimización, y en la derivación de funciones trigonométricas compuestas. En selectividad es una de las funciones más frecuentes en los ejercicios de derivadas.

📌 Las tres fórmulas equivalentes

Una de las ventajas de la derivada de la tangente es que tiene tres expresiones equivalentes, todas correctas. Puedes usar la que más te convenga en cada ejercicio:

Fórmula 1

\[ \left(\tan x\right)'= \dfrac{1}{\cos^2 x} \]

La más usada en Bachillerato

Fórmula 2

\[ \left(\tan x\right)'= \sec^2 x \]

Notación con secante

Fórmula 3

\[ \left(\tan x\right)'= 1 + \tan^2 x \]

Útil en integrales y EDOs

🎯¿Cuál usar? En Bachillerato español lo más habitual es la Fórmula 1 (\(\frac{1}{\cos^2 x}\)). Si tu profesor usa notación anglosajona, encontrarás la Fórmula 2 (\(\sec^2 x\)). Las tres son igualmente válidas: elige la que te resulte más cómoda.

🔬 Demostración desde la regla del cociente

Vamos a demostrar de dónde viene la fórmula. Partimos de \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) y aplicamos la regla de derivación del cociente \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\):

🧮 Demostración completa

Identificamos: \(u = \sin x\) y \(v = \cos x\)

Sus derivadas: \(u' = \cos x\) y \(v' = -\sin x\)

Aplicamos la regla del cociente:
\[ \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \dfrac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \]\[ = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]Por la identidad pitagórica \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\[ = \dfrac{1}{\cos^2 x} \]Dividiendo numerador y denominador por \(\cos^2 x\) obtenemos también:
\[ = \dfrac{1/\cos^2 x}{1} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \quad \checkmark \]

🔗 Regla de la cadena con tangente

En la mayoría de ejercicios la tangente no tendrá solo una x dentro, sino una función compuesta. Cuando eso ocurre, hay que aplicar la regla de la cadena:

\[ \left(\tan\,f(x)\right)' = \dfrac{f'(x)}{\cos^2\!\left(f(x)\right)} = f'(x)\cdot\sec^2\!\left(f(x)\right) \]

El proceso tiene siempre los mismos pasos:

Identifica función exterior e interior
La función exterior es \(\tan(\cdot)\) y la interior es \(f(x)\), lo que hay dentro.

Aplica la fórmula de la derivada de la tangente
\(\frac{1}{\cos^2(\cdot)}\) evaluada en la función interior.

Multiplica por la derivada de la función interior
\(\cdot\, f'(x)\)

Simplifica el resultado
Busca factores comunes y simplifica al máximo.

✅Regla de oro: Si dentro de la tangente hay algo más que una simple \(x\), siempre debes multiplicar por la derivada de ese "algo". Olvidarse de este paso es el error número 1 en exámenes.

⚙️ Derivada de la tangente. Método paso a paso

Antes de derivar, hazte siempre estas tres preguntas:

❓

¿Qué hay dentro de la tan()?

Si es solo "x" → fórmula directa
Si es f(x) → regla de la cadena

🔗

¿Hay más operaciones?

Suma/resta → deriva cada término
Producto → regla del producto
Cociente → regla del cociente

✂️

¿Se puede simplificar?

Busca factores comunes
Simplifica fracciones
Aplica identidades trig.

📊 Tabla resumen de fórmulas

Función	Derivada	Observación
\(\tan(x)\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)	Fórmula básica
\(\tan(f(x))\)	\(\dfrac{f\'(x)}{\cos^2(f(x))}\)	Regla de la cadena
\(\tan(ax)\)	\(\dfrac{a}{\cos^2(ax)}\)	Interior lineal
\(\tan(ax+b)\)	\(\dfrac{a}{\cos^2(ax+b)}\)	Interior afín
\(\tan^n(x)\)	\(\dfrac{n\tan^{n-1}(x)}{\cos^2(x)}\)	Potencia de tangente
\(\tan(\sqrt{x})\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}\)	Interior raíz
\(\arctan(x)\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)	Tangente inversa

Derivada de la tangente

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlos tú primero! 💪

01
Derivada básica de tan(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(x)\)

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①Reconoce la función: es directamente la tangente de \(x\), sin composición.

②Aplica la fórmula directa:
\(\left(\tan x\right)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

③No hay regla de la cadena porque el interior es solo \(x\) y su derivada es 1.

✅ \(f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)

02
Derivada de tan(ax) — interior lineal
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(3x)\)

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①Exterior / Interior:
Exterior: \(\tan(\cdot)\) — Interior: \(u = 3x\)

②Fórmula con regla de la cadena:
\(\left(\tan f(x)\right)' = \dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\)

③Deriva el interior:
\((3x)' = 3\)

④Sustituye:
\(\dfrac{3}{\cos^2(3x)}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{3}{\cos^2(3x)}\)

03
Derivada de tan(x²) — interior cuadrático
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(x^2)\)

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①Exterior / Interior:
Exterior: \(\tan(\cdot)\) — Interior: \(u = x^2\)

②Fórmula con regla de la cadena:
\(\left(\tan f(x)\right)' = \dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\)

③Deriva el interior:
\((x^2)' = 2x\)

④Sustituye:
\(\dfrac{2x}{\cos^2(x^2)}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)}\)

04
Tangente elevada a una potencia
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan^3(x)\)

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①Reconoce la estructura: es \([\tan(x)]^3\). Hay dos composiciones: potencia cúbica y tangente.

②Aplica regla del la potencia primero:
\(\left(u^3\right)' = 3u^2 \cdot u'\) con \(u = \tan(x)\)

③Deriva la tangente:
\(u' = (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

④Multiplica:
\(3\tan^2(x) \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

⑤Simplifica:
\(\dfrac{3\tan^2(x)}{\cos^2(x)}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{3\tan^2(x)}{\cos^2(x)}\)

05
Producto: x · tan(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = x \cdot \tan(x)\)

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①Identifica el producto:
\(u = x\) y \(v = \tan(x)\) → regla del producto \((uv)' = u'v + uv'\)

②Deriva \(u\):
\(u' = 1\)

③Deriva \(v\):
\(v' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

④Aplica la regla del producto:
\(1 \cdot \tan(x) + x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

✅ \(f'(x) = \tan(x) + \dfrac{x}{\cos^2(x)}\)

06
Tangente de una función compuestaAVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(x^2 + 3x - 1)\)

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①Interior: \(u = x^2 + 3x - 1\)

②Fórmula:
\(\left(\tan f(x)\right)' = \dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\)

③Deriva el interior:
\((x^2+3x-1)' = 2x+3\)

④Sustituye:
\(\dfrac{2x+3}{\cos^2(x^2+3x-1)}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{2x+3}{\cos^2(x^2+3x-1)}\)

07
Cociente con tangenteSELECTIVIDAD
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \dfrac{\tan(x)}{x^2}\)

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①Identifica el cociente: \(u = \tan(x)\), \(v = x^2\) → regla del cociente \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)

②Deriva \(u\):
\(u' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)

③Deriva \(v\):
\(v' = 2x\)

④Aplica la regla del cociente:
\(\dfrac{\dfrac{x^2}{\cos^2 x} - 2x\tan(x)}{x^4}\)

⑤Simplifica (divide por x):
\(\dfrac{\dfrac{x}{\cos^2 x} - 2\tan(x)}{x^3}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{x - 2\tan(x)\cos^2(x)}{x^3\cos^2(x)}\)

08
Tangente con raíz en el interiorAVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Interior: \(u = \sqrt{x} = x^{1/2}\)

②Fórmula con cadena:
\(\left(\tan f(x)\right)' = \dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\)

③Deriva el interior:
\((\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

④Sustituye:
\(\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\cos^2(\sqrt{x})}\)

⑤Simplifica la fracción compleja:
\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}\cdot\cos^2(\sqrt{x})}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}\,\cos^2(\sqrt{x})}\)

🚫 Errores más frecuentes

Estos son los fallos que cometen el 80% de los alumnos. ¡Evítalos!

❌

Error 1 — Olvidarse de la regla de la cadena
Incorrecto: \(\left(\tan(x^2)\right)' = \dfrac{1}{\cos^2(x^2)}\)
Correcto: \(\left(\tan(x^2)\right)' = \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)}\)
👉 Si dentro de la tan() hay algo más que "x", SIEMPRE multiplica por la derivada interior.

❌

Error 2 — Confundir la fórmula con la del seno/coseno
Incorrecto: Escribir \((\tan x)' = \cos x\) o \((\tan x)' = -\sin x\)
Correcto: \((\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)
👉 La derivada de la tangente NO es el seno ni el coseno. Es 1/cos²(x).

❌

Error 3 — Elevar mal el coseno al derivar tan²(x)
Incorrecto: Escribir \((\tan^2 x)' = \dfrac{2}{\cos^2 x}\)
Correcto: \((\tan^2 x)' = \dfrac{2\tan(x)}{\cos^2(x)}\)
👉 Hay que aplicar regla de la potencia: baja el exponente y multiplica por la derivada de tan(x).

❌

Error 4 — Aplicar la regla del producto cuando no toca
Incorrecto: En \(\tan(3x)\) tratar el 3 como un factor separado y usar regla del producto
Correcto: El 3 está dentro de la tangente: es la derivada del interior, \((3x)' = 3\)
👉 La regla del producto solo se usa cuando la tangente es uno de los factores de una multiplicación, no cuando el número está dentro de la tangente.

🔄 Derivada de la arcotangente (tangente inversa)

La arcotangente \(\arctan(x)\) (también escrita \(\tan^{-1}(x)\)) es la función inversa de la tangente. Su derivada es completamente diferente:

\[ \left(\arctan(x)\right)' = \dfrac{1}{1+x^2} \]

Con regla de la cadena, si el argumento es una función \(f(x)\):

\[ \left(\arctan(f(x))\right)' = \dfrac{f'(x)}{1+[f(x)]^2} \]

📌 Ejemplos rápidos de arcotangente

\(\left(\arctan(2x)\right)' = \dfrac{2}{1+(2x)^2} = \dfrac{2}{1+4x^2}\)
\(\left(\arctan(x^2)\right)' = \dfrac{2x}{1+x^4}\)
\(\left(\arctan(e^x)\right)' = \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\)

⚠️¡No confundas! \(\arctan(x)\) y \(\tan(x)\) tienen derivadas completamente distintas. \(\arctan(x)\) da \(\dfrac{1}{1+x^2}\), mientras que \(\tan(x)\) da \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\). En exámenes esta confusión es muy frecuente.

❓ Preguntas frecuentes

¿Es lo mismo \(\sec^2 x\) que \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)? ▼

Sí, son exactamente lo mismo. La secante se define como \(\sec x = \dfrac{1}{\cos x}\), por lo que \(\sec^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\). En España se usa más la notación con coseno, mientras que en libros anglosajones es más frecuente \(\sec^2 x\).

¿Por qué \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)? ▼

Es una consecuencia directa de la identidad pitagórica. Si dividimos \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) entre \(\cos^2 x\), obtenemos \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\). Por eso las tres fórmulas de la derivada son equivalentes.

¿Cuál es el dominio de la derivada de \(\tan(x)\)? ▼

La derivada \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) no está definida cuando \(\cos x = 0\), es decir, en \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) para cualquier entero \(k\). Coincide exactamente con los puntos donde la propia tangente no está definida (sus asíntotas verticales).

¿Cómo derivo \(\tan^2(x)\) frente a \(\tan(x^2)\)? ▼

Son dos funciones muy diferentes:

\([\tan(x)]^2\): primero potencia, luego tangente → \(\dfrac{2\tan(x)}{\cos^2(x)}\)
\(\tan(x^2)\): tangente de una función → \(\dfrac{2x}{\cos^2(x^2)}\)

Fíjate bien en dónde está el exponente antes de derivar.

¿Cuándo conviene usar \(1+\tan^2 x\) en vez de \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)? ▼

La forma \(1+\tan^2 x\) es útil cuando en el mismo ejercicio ya tienes expresiones con tangente y quieres evitar cambiar de función. También aparece de forma natural al resolver ecuaciones diferenciales y al calcular ciertas integrales por partes.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 5 claves de la derivada de la tangente

La fórmula es \(\left(\tan x\right)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) — memorízala, aparece constantemente
Tiene 3 formas equivalentes: \(\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1+\tan^2 x\)
Si hay función compuesta dentro → regla de la cadena (multiplica por \(f'(x)\))
\(\arctan(x)\) es la inversa y su derivada es \(\dfrac{1}{1+x^2}\) — completamente distinta
No está definida en \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) (asíntotas de la tangente)

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...