- Soy Matemáticas
- Bachillerato
- Ejercicios de Derivadas Resueltos Paso a Paso
hace 9 meses · Actualizado hace 5 meses
🔎 Índice de contenidos
- Derivadas Básicas (Funciones Elementales)
- function toggleSolution(card) { var solution = card.querySelector('.solution'); if (solution.style.display === 'none' || solution.style.display === '') { solution.style.display = 'block'; solution.style.transition = 'max-height 0.3s ease-out'; solution.style.maxHeight = 'none'; } else { solution.style.display = 'none'; solution.style.maxHeight = '0'; }}
- Derivadas con la regla de la cadena (composición)
- Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
- Ejercicios de derivadas de Funciones Trigonométricas
- Derivadas de Funciones con Raíces (Funciones Irracionales)
¿Te agobias con las derivadas? Estoy aquí para ayudarte. Practica con ejercicios de derivadas resueltos. Para que lo entiendas mejor, están separados en 7 grupos, con un nivel creciente de dificultad. Por si te hiciera falta, te dejo por aquí la tabla de derivadas.
Derivadas Básicas (Funciones Elementales)
Ejercicio 1:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 5x^4\)
Paso 1: Aplicamos la regla de la potencia: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\).
Paso 2: \(f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3\).
Solución: \(f'(x) = 20x^3\)
Paso 2: \(f'(x) = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3\).
Solución: \(f'(x) = 20x^3\)
Ejercicio 2:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 3x^5 + 2x^3 - 7x\)
Paso 1: Derivamos término a término:
\(\frac{d}{dx}(3x^5) = 15x^4\)
\(\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2\)
\(\frac{d}{dx}(-7x) = -7\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 15x^4 + 6x^2 - 7\).
Solución: \(f'(x) = 15x^4 + 6x^2 - 7\)
\(\frac{d}{dx}(3x^5) = 15x^4\)
\(\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2\)
\(\frac{d}{dx}(-7x) = -7\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 15x^4 + 6x^2 - 7\).
Solución: \(f'(x) = 15x^4 + 6x^2 - 7\)
Ejercicio 3:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 9x - 12\)
Paso 1: Derivada del término independiente es 0.
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2\)
\(\frac{d}{dx}(-6x^2) = -12x\)
\(\frac{d}{dx}(9x) = 9\)
\(\frac{d}{dx}(-12) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = 12x^2 - 12x + 9\).
Solución: \(f'(x) = 12x^2 - 12x + 9\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2\)
\(\frac{d}{dx}(-6x^2) = -12x\)
\(\frac{d}{dx}(9x) = 9\)
\(\frac{d}{dx}(-12) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = 12x^2 - 12x + 9\).
Solución: \(f'(x) = 12x^2 - 12x + 9\)
Ejercicio 4:
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x} + 5x^2\)
Paso 1: Reescribimos: \(f(x) = x^{1/2} + 5x^2\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}(5x^2) = 10x\)
Paso 3: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}(5x^2) = 10x\)
Paso 3: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x\)
Ejercicio 5:
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{3}{x^2} - \frac{2}{x} + 7\)
Paso 1: Reescribimos: \(f(x) = 3x^{-2} - 2x^{-1} + 7\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(3x^{-2}) = 3 \cdot (-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}\)
\(\frac{d}{dx}(-2x^{-1}) = -2 \cdot (-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(7) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2}\).
Solución: \(f'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2}\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(3x^{-2}) = 3 \cdot (-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}\)
\(\frac{d}{dx}(-2x^{-1}) = -2 \cdot (-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(7) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2}\).
Solución: \(f'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2}\)
Ejercicio 6:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 2\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - x^2\)
Paso 1: Reescribimos: \(f(x) = 2x^{1/3} + 4x^{1/2} - x^2\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(2x^{1/3}) = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{2}{3x^{2/3}} = \frac{2}{3\sqrt{x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x\)
Paso 3: \(f'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x}} - 2x\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x}} - 2x\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(2x^{1/3}) = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{2}{3x^{2/3}} = \frac{2}{3\sqrt{x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x\)
Paso 3: \(f'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x}} - 2x\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x}} - 2x\)
Ejercicio 7:
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^x + 3\ln(x) - 5x\)
Paso 1: Reglas: \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\), \(\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
\(\frac{d}{dx}(3\ln(x)) = \frac{3}{x}\)
\(\frac{d}{dx}(-5x) = -5\)
Paso 3: \(f'(x) = e^x + \frac{3}{x} - 5\).
Solución: \(f'(x) = e^x + \frac{3}{x} - 5\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
\(\frac{d}{dx}(3\ln(x)) = \frac{3}{x}\)
\(\frac{d}{dx}(-5x) = -5\)
Paso 3: \(f'(x) = e^x + \frac{3}{x} - 5\).
Solución: \(f'(x) = e^x + \frac{3}{x} - 5\)
Ejercicio 8:
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x) + 2\cos(x) - 3x^2\)
Paso 1: Reglas: \(\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\), \(\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\)
\(\frac{d}{dx}(2\cos(x)) = -2\sin(x)\)
\(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x\)
Paso 3: \(f'(x) = \cos(x) - 2\sin(x) - 6x\).
Solución: \(f'(x) = \cos(x) - 2\sin(x) - 6x\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\)
\(\frac{d}{dx}(2\cos(x)) = -2\sin(x)\)
\(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x\)
Paso 3: \(f'(x) = \cos(x) - 2\sin(x) - 6x\).
Solución: \(f'(x) = \cos(x) - 2\sin(x) - 6x\)
Ejercicio 9:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 5e^x - \frac{4}{x^3} + 2\sin(x) + \sqrt{x}\)
Paso 1: Reescribimos: \(f(x) = 5e^x - 4x^{-3} + 2\sin(x) + x^{1/4}\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(5e^x) = 5e^x\)
\(\frac{d}{dx}(-4x^{-3}) = 12x^{-4} = \frac{12}{x^4}\)
\(\frac{d}{dx}(2\sin(x)) = 2\cos(x)\)
\(\frac{d}{dx}(x^{1/4}) = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\)
Paso 3: \(f'(x) = 5e^x + \frac{12}{x^4} + 2\cos(x) + \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\).
Solución: \(f'(x) = 5e^x + \frac{12}{x^4} + 2\cos(x) + \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(5e^x) = 5e^x\)
\(\frac{d}{dx}(-4x^{-3}) = 12x^{-4} = \frac{12}{x^4}\)
\(\frac{d}{dx}(2\sin(x)) = 2\cos(x)\)
\(\frac{d}{dx}(x^{1/4}) = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\)
Paso 3: \(f'(x) = 5e^x + \frac{12}{x^4} + 2\cos(x) + \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\).
Solución: \(f'(x) = 5e^x + \frac{12}{x^4} + 2\cos(x) + \frac{1}{4\sqrt{x^3}}\)
Ejercicio 10:
Calcula la derivada de: \(f(x) = 3x^4 - 2e^x + \frac{5}{\sqrt{x}} + 4\ln(x) - \cos(x) + 7\)
Paso 1: Reescribimos: \(f(x) = 3x^4 - 2e^x + 5x^{-1/2} + 4\ln(x) - \cos(x) + 7\).
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(3x^4) = 12x^3\)
\(\frac{d}{dx}(-2e^x) = -2e^x\)
\(\frac{d}{dx}(5x^{-1/2}) = -\frac{5}{2}x^{-3/2} = -\frac{5}{2\sqrt{x^3}}\)
\(\frac{d}{dx}(4\ln(x)) = \frac{4}{x}\)
\(\frac{d}{dx}(-\cos(x)) = \sin(x)\)
\(\frac{d}{dx}(7) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = 12x^3 - 2e^x - \frac{5}{2\sqrt{x^3}} + \frac{4}{x} + \sin(x)\).
Solución: \(f'(x) = 12x^3 - 2e^x - \frac{5}{2\sqrt{x^3}} + \frac{4}{x} + \sin(x)\)
Paso 2: \(\frac{d}{dx}(3x^4) = 12x^3\)
\(\frac{d}{dx}(-2e^x) = -2e^x\)
\(\frac{d}{dx}(5x^{-1/2}) = -\frac{5}{2}x^{-3/2} = -\frac{5}{2\sqrt{x^3}}\)
\(\frac{d}{dx}(4\ln(x)) = \frac{4}{x}\)
\(\frac{d}{dx}(-\cos(x)) = \sin(x)\)
\(\frac{d}{dx}(7) = 0\)
Paso 3: \(f'(x) = 12x^3 - 2e^x - \frac{5}{2\sqrt{x^3}} + \frac{4}{x} + \sin(x)\).
Solución: \(f'(x) = 12x^3 - 2e^x - \frac{5}{2\sqrt{x^3}} + \frac{4}{x} + \sin(x)\)
Ejercicios de derivadas con la regla del producto
Ejercicio 1 (Nivel básico - Producto de monomios):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x \cdot x^3\)
Paso 1: Identificamos las funciones: \(u(x) = x\) por lo que \(u'(x) = 1\), y \(v(x) = x^3\) por lo que \(v'(x) = 3x^2\).
Paso 2: Aplicamos la regla del producto: \(f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' = 1 \cdot x^3 + x \cdot 3x^2 = x^3 + 3x^3 = 4x^3\).
Solución: \(f'(x) = 4x^3[/latex>
Paso 2: Aplicamos la regla del producto: \(f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' = 1 \cdot x^3 + x \cdot 3x^2 = x^3 + 3x^3 = 4x^3\).
Solución: \(f'(x) = 4x^3[/latex>
Ejercicio 2 (Nivel básico - Producto simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (3x + 2)(x - 5)\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 3x + 2\) por lo que \(u'(x) = 3\), y \(v(x) = x - 5\) por lo que \(v'(x) = 1\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 3 \cdot (x - 5) + (3x + 2) \cdot 1 = 3x - 15 + 3x + 2 = 6x - 13\).
Solución: \(f'(x) = 6x - 13[/latex>
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 3 \cdot (x - 5) + (3x + 2) \cdot 1 = 3x - 15 + 3x + 2 = 6x - 13\).
Solución: \(f'(x) = 6x - 13[/latex>
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Producto con polinomios):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2 + 1\) por lo que \(u'(x) = 2x\), y \(v(x) = 2x - 3\) por lo que \(v'(x) = 2\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 2x \cdot (2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 2 = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2\).
Solución: \(f'(x) = 6x^2 - 6x + 2\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 2x \cdot (2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 2 = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2\).
Solución: \(f'(x) = 6x^2 - 6x + 2\)
Ejercicio 4 (Nivel medio - Producto de polinomios de grado mayor):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (x^2 - 4x + 1)(3x^2 + 2x)\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2 - 4x + 1\) por lo que \(u'(x) = 2x - 4\), y \(v(x) = 3x^2 + 2x\) por lo que \(v'(x) = 6x + 2\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (2x - 4)(3x^2 + 2x) + (x^2 - 4x + 1)(6x + 2)\). No expandimos para mantener la forma de la regla.
Solución: \(f'(x) = (2x - 4)(3x^2 + 2x) + (x^2 - 4x + 1)(6x + 2)\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (2x - 4)(3x^2 + 2x) + (x^2 - 4x + 1)(6x + 2)\). No expandimos para mantener la forma de la regla.
Solución: \(f'(x) = (2x - 4)(3x^2 + 2x) + (x^2 - 4x + 1)(6x + 2)\)
Ejercicio 5 (Nivel medio - Producto con exponencial):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x^2 \cdot e^x\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2\) por lo que \(u'(x) = 2x\), y \(v(x) = e^x\) por lo que \(v'(x) = e^x\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2)\).
Solución: \(f'(x) = e^x (x^2 + 2x)\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2)\).
Solución: \(f'(x) = e^x (x^2 + 2x)\)
Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Producto con logaritmo):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (2x^3 - x) \cdot \ln(x)\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 2x^3 - x\) por lo que \(u'(x) = 6x^2 - 1\), y \(v(x) = \ln(x)\) por lo que \(v'(x) = \frac{1}{x}\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (6x^2 - 1) \ln(x) + (2x^3 - x) \cdot \frac{1}{x} = (6x^2 - 1) \ln(x) + 2x^2 - 1\).
Solución: \(f'(x) = (6x^2 - 1) \ln(x) + 2x^2 - 1\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (6x^2 - 1) \ln(x) + (2x^3 - x) \cdot \frac{1}{x} = (6x^2 - 1) \ln(x) + 2x^2 - 1\).
Solución: \(f'(x) = (6x^2 - 1) \ln(x) + 2x^2 - 1\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 7 (Nivel alto - Producto con función trigonométrica):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (x^2 + 3x) \cdot \sin(x)\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2 + 3x\) por lo que \(u'(x) = 2x + 3\), y \(v(x) = \sin(x)\) por lo que \(v'(x) = \cos(x)\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (2x + 3) \sin(x) + (x^2 + 3x) \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = (2x + 3) \sin(x) + (x^2 + 3x) \cos(x)\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (2x + 3) \sin(x) + (x^2 + 3x) \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = (2x + 3) \sin(x) + (x^2 + 3x) \cos(x)\)
Ejercicio 8 (Nivel alto - Producto de tres funciones):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x \cdot e^x \cdot \cos(x)\)
Pista: Para tres funciones: \((u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w'\)
Pista: Para tres funciones: \((u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w'\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x\) por lo que \(u'(x) = 1\), \(v(x) = e^x\) por lo que \(v'(x) = e^x\), \(w(x) = \cos(x)\) por lo que \(w'(x) = -\sin(x)\).
Paso 2: Aplicamos la regla general: \(f'(x) = 1 \cdot e^x \cdot \cos(x) + x \cdot e^x \cdot \cos(x) + x \cdot e^x \cdot (-\sin(x)) = e^x \cos(x) + x e^x \cos(x) - x e^x \sin(x)\).
Paso 3: Factorizamos: \(f'(x) = e^x [\cos(x) + x \cos(x) - x \sin(x)]\).
Solución: \(f'(x) = e^x (\cos(x) (1 + x) - x \sin(x))[/latex>
Paso 2: Aplicamos la regla general: \(f'(x) = 1 \cdot e^x \cdot \cos(x) + x \cdot e^x \cdot \cos(x) + x \cdot e^x \cdot (-\sin(x)) = e^x \cos(x) + x e^x \cos(x) - x e^x \sin(x)\).
Paso 3: Factorizamos: \(f'(x) = e^x [\cos(x) + x \cos(x) - x \sin(x)]\).
Solución: \(f'(x) = e^x (\cos(x) (1 + x) - x \sin(x))[/latex>
Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Producto complejo con raíz):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (x^3 - 2x + 5) \cdot \sqrt{x}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^3 - 2x + 5\) por lo que \(u'(x) = 3x^2 - 2\), y \(v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\) por lo que \(v'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \sqrt{x} + (x^3 - 2x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Solución: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \sqrt{x} + \frac{x^3 - 2x + 5}{2\sqrt{x}}\)
Nota: Dominio: \(x \geq 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \sqrt{x} + (x^3 - 2x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Solución: \(f'(x) = (3x^2 - 2) \sqrt{x} + \frac{x^3 - 2x + 5}{2\sqrt{x}}\)
Nota: Dominio: \(x \geq 0\).
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Producto con múltiples tipos de funciones):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (3x^2 + e^x) \cdot (\ln(x) + \sin(x))\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 3x^2 + e^x\) por lo que \(u'(x) = 6x + e^x\), y \(v(x) = \ln(x) + \sin(x)\) por lo que \(v'(x) = \frac{1}{x} + \cos(x)\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (6x + e^x) (\ln(x) + \sin(x)) + (3x^2 + e^x) \left( \frac{1}{x} + \cos(x) \right)\).
Solución: \(f'(x) = (6x + e^x) (\ln(x) + \sin(x)) + (3x^2 + e^x) \left( \frac{1}{x} + \cos(x) \right)\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = (6x + e^x) (\ln(x) + \sin(x)) + (3x^2 + e^x) \left( \frac{1}{x} + \cos(x) \right)\).
Solución: \(f'(x) = (6x + e^x) (\ln(x) + \sin(x)) + (3x^2 + e^x) \left( \frac{1}{x} + \cos(x) \right)\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicios de derivadas con la regla del cociente
Ejercicio 1 (Nivel básico - Cociente simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x}{x + 1}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x\) por lo que \(u'(x) = 1\), y \(v(x) = x + 1\) por lo que \(v'(x) = 1\).
Paso 2: Aplicamos la regla del cociente: \(f'(x) = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla del cociente: \(f'(x) = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}\)
Ejercicio 2 (Nivel básico - Numerador constante):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{5}{2x + 3}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 5\) por lo que \(u'(x) = 0\), y \(v(x) = 2x + 3\) por lo que \(v'(x) = 2\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{0 \cdot (2x + 3) - 5 \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{-10}{(2x + 3)^2}\).
Solución: \(f'(x) = -\frac{10}{(2x + 3)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{0 \cdot (2x + 3) - 5 \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{-10}{(2x + 3)^2}\).
Solución: \(f'(x) = -\frac{10}{(2x + 3)^2}\)
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Polinomios simples):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2 + 1\) por lo que \(u'(x) = 2x\), y \(v(x) = x - 2\) por lo que \(v'(x) = 1\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{2x (x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{2x (x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\)
Ejercicio 4 (Nivel medio - Polinomios de grado 2):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 4}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 3x^2 - 2x\) por lo que \(u'(x) = 6x - 2\), y \(v(x) = x^2 + 4\) por lo que \(v'(x) = 2x\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(6x - 2)(x^2 + 4) - (3x^2 - 2x)(2x)}{(x^2 + 4)^2}\). Numerador: \(6x^3 + 24x - 2x^2 - 8 - (6x^3 - 4x^2) = 2x^2 + 24x - 8\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x^2 + 24x - 8}{(x^2 + 4)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(6x - 2)(x^2 + 4) - (3x^2 - 2x)(2x)}{(x^2 + 4)^2}\). Numerador: \(6x^3 + 24x - 2x^2 - 8 - (6x^3 - 4x^2) = 2x^2 + 24x - 8\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x^2 + 24x - 8}{(x^2 + 4)^2}\)
Ejercicio 5 (Nivel medio - Cociente con polinomio de grado 3):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^3 - 5x + 2}{2x^2 + 1}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^3 - 5x + 2\) por lo que \(u'(x) = 3x^2 - 5\), y \(v(x) = 2x^2 + 1\) por lo que \(v'(x) = 4x\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(3x^2 - 5)(2x^2 + 1) - (x^3 - 5x + 2)(4x)}{(2x^2 + 1)^2}\). Numerador: \(6x^4 + 3x^2 - 10x^2 - 5 - 4x^4 + 20x^2 - 8x = 2x^4 + 13x^2 - 8x - 5\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x^4 + 13x^2 - 8x - 5}{(2x^2 + 1)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(3x^2 - 5)(2x^2 + 1) - (x^3 - 5x + 2)(4x)}{(2x^2 + 1)^2}\). Numerador: \(6x^4 + 3x^2 - 10x^2 - 5 - 4x^4 + 20x^2 - 8x = 2x^4 + 13x^2 - 8x - 5\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x^4 + 13x^2 - 8x - 5}{(2x^2 + 1)^2}\)
Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Cociente con exponencial en numerador):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{e^x}{x^2 + 3}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = e^x\) por lo que \(u'(x) = e^x\), y \(v(x) = x^2 + 3\) por lo que \(v'(x) = 2x\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{e^x (x^2 + 3) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{e^x (x^2 + 3 - 2x)}{(x^2 + 3)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{e^x (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{e^x (x^2 + 3) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{e^x (x^2 + 3 - 2x)}{(x^2 + 3)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{e^x (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\)
Ejercicio 7 (Nivel alto - Cociente con logaritmo):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2 - 1}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = \ln(x)\) por lo que \(u'(x) = \frac{1}{x}\), y \(v(x) = x^2 - 1\) por lo que \(v'(x) = 2x\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} (x^2 - 1) - \ln(x) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{\frac{x^2 - 1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x - \frac{1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x - \frac{1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 1\) o \(x < -1\), y \(x > 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} (x^2 - 1) - \ln(x) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{\frac{x^2 - 1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x - \frac{1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x - \frac{1}{x} - 2x \ln(x)}{(x^2 - 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 1\) o \(x < -1\), y \(x > 0\).
Ejercicio 8 (Nivel alto - Cociente con función trigonométrica):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 2x}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = \sin(x)\) por lo que \(u'(x) = \cos(x)\), y \(v(x) = x^2 + 2x\) por lo que \(v'(x) = 2x + 2\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{\cos(x) (x^2 + 2x) - \sin(x) (2x + 2)}{(x^2 + 2x)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{\cos(x) (x^2 + 2x) - \sin(x) (2x + 2)}{(x^2 + 2x)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{\cos(x) (x^2 + 2x) - \sin(x) (2x + 2)}{(x^2 + 2x)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{\cos(x) (x^2 + 2x) - \sin(x) (2x + 2)}{(x^2 + 2x)^2}\)
Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Cociente con exponencial y logaritmo):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{x^2 + e^x}{\ln(x) + 1}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = x^2 + e^x\) por lo que \(u'(x) = 2x + e^x\), y \(v(x) = \ln(x) + 1\) por lo que \(v'(x) = \frac{1}{x}\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(2x + e^x)(\ln(x) + 1) - (x^2 + e^x) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln(x) + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{(2x + e^x)(\ln(x) + 1) - \frac{x^2 + e^x}{x}}{(\ln(x) + 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(2x + e^x)(\ln(x) + 1) - (x^2 + e^x) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln(x) + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{(2x + e^x)(\ln(x) + 1) - \frac{x^2 + e^x}{x}}{(\ln(x) + 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Cociente complejo con múltiples funciones):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{3x^3 - \sin(x)}{e^x + \ln(x)}\)
Paso 1: Identificamos: \(u(x) = 3x^3 - \sin(x)\) por lo que \(u'(x) = 9x^2 - \cos(x)\), y \(v(x) = e^x + \ln(x)\) por lo que \(v'(x) = e^x + \frac{1}{x}\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(9x^2 - \cos(x))(e^x + \ln(x)) - (3x^3 - \sin(x))(e^x + \frac{1}{x})}{(e^x + \ln(x))^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{(9x^2 - \cos(x))(e^x + \ln(x)) - (3x^3 - \sin(x))(e^x + \frac{1}{x})}{(e^x + \ln(x))^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{(9x^2 - \cos(x))(e^x + \ln(x)) - (3x^3 - \sin(x))(e^x + \frac{1}{x})}{(e^x + \ln(x))^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{(9x^2 - \cos(x))(e^x + \ln(x)) - (3x^3 - \sin(x))(e^x + \frac{1}{x})}{(e^x + \ln(x))^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Derivadas con la regla de la cadena (composición)
Ejercicio 1 (Nivel básico - Potencia de un binomio):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (2x + 3)^5\)
Paso 1: Identificamos la función interior \(u(x) = 2x + 3\), por lo que \(u'(x) = 2\). La exterior es \(g(u) = u^5\), con \(g'(u) = 5u^4\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4\).
Solución: \(f'(x) = 10(2x + 3)^4\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4\).
Solución: \(f'(x) = 10(2x + 3)^4\)
Ejercicio 2 (Nivel básico - Potencia de un polinomio simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (x^2 - 1)^3\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = x^2 - 1\), por lo que \(u'(x) = 2x\). La exterior es \(g(u) = u^3\), con \(g'(u) = 3u^2\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = 3(x^2 - 1)^2 \cdot 2x = 6x (x^2 - 1)^2\).
Solución: \(f'(x) = 6x (x^2 - 1)^2\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = 3(x^2 - 1)^2 \cdot 2x = 6x (x^2 - 1)^2\).
Solución: \(f'(x) = 6x (x^2 - 1)^2\)
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Raíz de un polinomio):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{4x^2 + 9}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = (4x^2 + 9)^{1/2}\). Identificamos \(u(x) = 4x^2 + 9\), por lo que \(u'(x) = 8x\). La exterior es \(g(u) = u^{1/2}\), con \(g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2}\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (4x^2 + 9)^{-1/2} \cdot 8x = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (4x^2 + 9)^{-1/2} \cdot 8x = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 9}}\)
Ejercicio 4 (Nivel medio - Exponencial con función en el exponente):
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^{3x^2 - 2x}\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = 3x^2 - 2x\), por lo que \(u'(x) = 6x - 2\). La exterior es \(g(u) = e^u\), con \(g'(u) = e^u\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = e^{3x^2 - 2x} \cdot (6x - 2)\).
Solución: \(f'(x) = (6x - 2) e^{3x^2 - 2x}\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = e^{3x^2 - 2x} \cdot (6x - 2)\).
Solución: \(f'(x) = (6x - 2) e^{3x^2 - 2x}\)
Ejercicio 5 (Nivel medio - Logaritmo con función interior):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \ln(x^2 + 5x + 1)\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = x^2 + 5x + 1\), por lo que \(u'(x) = 2x + 5\). La exterior es \(g(u) = \ln u\), con \(g'(u) = \frac{1}{u}\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 5x + 1} \cdot (2x + 5) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 1}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 1}\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 5x + 1} \cdot (2x + 5) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 1}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 1}\)
Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Seno con función interior):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(3x^2 + x)\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = 3x^2 + x\), por lo que \(u'(x) = 6x + 1\). La exterior es \(g(u) = \sin u\), con \(g'(u) = \cos u\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \cos(3x^2 + x) \cdot (6x + 1)\).
Solución: \(f'(x) = (6x + 1) \cos(3x^2 + x)\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = \cos(3x^2 + x) \cdot (6x + 1)\).
Solución: \(f'(x) = (6x + 1) \cos(3x^2 + x)\)
Ejercicio 7 (Nivel alto - Composición doble):
Calcula la derivada de: \(f(x) = (2x^3 + 1)^{10}\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = 2x^3 + 1\), por lo que \(u'(x) = 6x^2\). La exterior es \(g(u) = u^{10}\), con \(g'(u) = 10u^9\).
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = 10(2x^3 + 1)^9 \cdot 6x^2 = 60x^2 (2x^3 + 1)^9\).
Solución: \(f'(x) = 60x^2 (2x^3 + 1)^9\)
Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena: \(f'(x) = 10(2x^3 + 1)^9 \cdot 6x^2 = 60x^2 (2x^3 + 1)^9\).
Solución: \(f'(x) = 60x^2 (2x^3 + 1)^9\)
Ejercicio 8 (Nivel alto - Cadena con exponencial y potencia):
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^{(x^2 + 3)^2}\)
Paso 1: Identificamos la exterior \(g(u) = e^u\) con \(g'(u) = e^u\), donde \(u(x) = (x^2 + 3)^2\). Para \(u\), derivamos por cadena: \(u'(x) = 2(x^2 + 3) \cdot 2x = 4x(x^2 + 3)\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = e^{(x^2 + 3)^2} \cdot 4x(x^2 + 3)\).
Solución: \(f'(x) = 4x (x^2 + 3) e^{(x^2 + 3)^2}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = e^{(x^2 + 3)^2} \cdot 4x(x^2 + 3)\).
Solución: \(f'(x) = 4x (x^2 + 3) e^{(x^2 + 3)^2}\)
Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Composición triple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin\left((x^2 + 1)^3\right)\)
Paso 1: Identificamos la exterior \(g(u) = \sin u\) con \(g'(u) = \cos u\), donde \(u(x) = (x^2 + 1)^3\). Para \(u\), derivamos por cadena: \(u'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x (x^2 + 1)^2\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \cos\left( (x^2 + 1)^3 \right) \cdot 6x (x^2 + 1)^2\).
Solución: \(f'(x) = 6x (x^2 + 1)^2 \cos\left( (x^2 + 1)^3 \right)\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \cos\left( (x^2 + 1)^3 \right) \cdot 6x (x^2 + 1)^2\).
Solución: \(f'(x) = 6x (x^2 + 1)^2 \cos\left( (x^2 + 1)^3 \right)\)
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Cadena compleja con logaritmo):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 2x + 5}\right)\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = \ln\left( (x^2 + 2x + 5)^{1/2} \right)\). Identificamos exterior \(g(u) = \ln u\) con \(g'(u) = \frac{1}{u}\), donde \(u(x) = (x^2 + 2x + 5)^{1/2}\). Para \(u\): \(u'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 2x + 5)^{-1/2} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}\).
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \cdot \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} = \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\)
Paso 2: Aplicamos la regla: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \cdot \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} = \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\)
Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Ejercicio 1 (Nivel básico - Exponencial simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^x + 3x^2\)
Paso 1: Derivamos término a término. Para \(e^x\), la derivada es \(e^x\). Para \(3x^2\), es \(6x\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = e^x + 6x\).
Solución: \(f'(x) = e^x + 6x\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = e^x + 6x\).
Solución: \(f'(x) = e^x + 6x\)
Ejercicio 2 (Nivel básico - Logaritmo natural simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \ln(x) + 5x\)
Paso 1: Derivamos término a término. Para \(\ln(x)\), la derivada es \(\frac{1}{x}\). Para \(5x\), es \(5\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{x} + 5\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{x} + 5\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{x} + 5\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{x} + 5\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Exponencial con coeficiente):
Calcula la derivada de: \(f(x) = 3e^x - 2\ln(x) + x^3\)
Paso 1: Derivamos término a término: \(\frac{d}{dx}(3e^x) = 3e^x\), \(\frac{d}{dx}(-2\ln(x)) = -\frac{2}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 3x^2\).
Solución: \(f'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 3x^2\)
Nota: Dominio: \(x > 0[/latex>.
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 3x^2\).
Solución: \(f'(x) = 3e^x - \frac{2}{x} + 3x^2\)
Nota: Dominio: \(x > 0[/latex>.
Ejercicio 4 (Nivel medio - Exponencial con cadena simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^{2x}\)
Paso 1: Reescribimos como \(f(x) = e^{u(x)}\) donde \(u(x) = 2x\), por lo que \(u'(x) = 2\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\).
Solución: \(f'(x) = 2e^{2x}\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\).
Solución: \(f'(x) = 2e^{2x}\)
Ejercicio 5 (Nivel medio - Logaritmo con cadena):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \ln(3x + 5)\)
Paso 1: Reescribimos como \(f(x) = \ln u(x)\) donde \(u(x) = 3x + 5\), por lo que \(u'(x) = 3\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{3x + 5} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 5}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3}{3x + 5}\)
Nota: Dominio: \(3x + 5 > 0 \implies x > -\frac{5}{3}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{3x + 5} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 5}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3}{3x + 5}\)
Nota: Dominio: \(3x + 5 > 0 \implies x > -\frac{5}{3}\).
Ejercicio 6 (Nivel medio - Exponencial de base distinta de e):
Calcula la derivada de: \(f(x) = 2^x + 5^{2x}\)
Paso 1: Para \(a^x\), la derivada es \(a^x \ln a\). Así, \(\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2\). Para \(5^{2x}\), reescribimos como \((5^2)^x = 25^x\), derivada \(25^x \ln 25\), o por cadena: \(5^{2x} \ln 5 \cdot 2\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 2^x \ln 2 + 2 \cdot 5^{2x} \ln 5\).
Solución: \(f'(x) = 2^x \ln 2 + 2 \cdot 5^{2x} \ln 5\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 2^x \ln 2 + 2 \cdot 5^{2x} \ln 5\).
Solución: \(f'(x) = 2^x \ln 2 + 2 \cdot 5^{2x} \ln 5\)
Ejercicio 7 (Nivel medio-alto - Producto con exponencial):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x^2 \cdot e^x\)
Paso 1: Aplicamos la regla del producto: \(u(x) = x^2\) con \(u'(x) = 2x\), \(v(x) = e^x\) con \(v'(x) = e^x\).
Paso 2: \(f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x (2x + x^2)\).
Solución: \(f'(x) = e^x (x^2 + 2x)\)
Paso 2: \(f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x (2x + x^2)\).
Solución: \(f'(x) = e^x (x^2 + 2x)\)
Ejercicio 8 (Nivel alto - Cociente con logaritmo):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}\)
Paso 1: Aplicamos la regla del cociente: \(u(x) = \ln(x)\) con \(u'(x) = \frac{1}{x}\), \(v(x) = x^2\) con \(v'(x) = 2x\).
Paso 2: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln(x)}{x^4} = \frac{x(1 - 2 \ln(x))}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}\)
Nota: Dominio: \(x > 0[/latex>.
Paso 2: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln(x)}{x^4} = \frac{x(1 - 2 \ln(x))}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}\)
Nota: Dominio: \(x > 0[/latex>.
Ejercicio 9 (Nivel alto - Exponencial con cadena compleja):
Calcula la derivada de: \(f(x) = e^{x^2 + 3x - 1}\)
Paso 1: Reescribimos como \(f(x) = e^{u(x)}\) donde \(u(x) = x^2 + 3x - 1\), por lo que \(u'(x) = 2x + 3\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = e^{x^2 + 3x - 1} \cdot (2x + 3)\).
Solución: \(f'(x) = (2x + 3) e^{x^2 + 3x - 1}\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = e^{x^2 + 3x - 1} \cdot (2x + 3)\).
Solución: \(f'(x) = (2x + 3) e^{x^2 + 3x - 1}\)
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Logaritmo de función compuesta):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \ln(x^2 + e^x)\)
Paso 1: Reescribimos como \(f(x) = \ln u(x)\) donde \(u(x) = x^2 + e^x\), por lo que \(u'(x) = 2x + e^x\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + e^x} \cdot (2x + e^x)\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + e^x} \cdot (2x + e^x)\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x + e^x}{x^2 + e^x}\)
Ejercicios de derivadas de Funciones Trigonométricas
Ejercicio 1 (Nivel básico - Funciones trigonométricas simples):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\)
Paso 1: Derivamos término a término. \(\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\), \(\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\).
Solución: \(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\).
Solución: \(f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\)
Ejercicio 2 (Nivel básico - Combinación con polinomios):
Calcula la derivada de: \(f(x) = 2\sin(x) - 3\cos(x) + x^2\)
Paso 1: Derivamos término a término: \(\frac{d}{dx}(2\sin(x)) = 2\cos(x)\), \(\frac{d}{dx}(-3\cos(x)) = 3\sin(x)\), \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 2\cos(x) + 3\sin(x) + 2x\).
Solución: \(f'(x) = 2\cos(x) + 3\sin(x) + 2x\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = 2\cos(x) + 3\sin(x) + 2x\).
Solución: \(f'(x) = 2\cos(x) + 3\sin(x) + 2x\)
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Tangente y cotangente):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(x) + \cot(x)\)
Paso 1: Derivamos término a término: \(\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)\), \(\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)\).
Solución: \(f'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)\).
Solución: \(f'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)\)
Ejercicio 4 (Nivel medio - Trigonométrica con regla de la cadena):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(3x)\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = 3x\), \(u'(x) = 3\). Exterior \(g(u) = \sin u\), \(g'(u) = \cos u\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)\).
Solución: \(f'(x) = 3\cos(3x)\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)\).
Solución: \(f'(x) = 3\cos(3x)\)
Ejercicio 5 (Nivel medio - Cadena con función interior más compleja):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \cos(x^2 + 2x)\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = x^2 + 2x\), \(u'(x) = 2x + 2\). Exterior \(g(u) = \cos u\), \(g'(u) = -\sin u\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = -\sin(x^2 + 2x) \cdot (2x + 2) = -2(x + 1) \sin(x^2 + 2x)\).
Solución: \(f'(x) = -2(x + 1) \sin(x^2 + 2x)\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = -\sin(x^2 + 2x) \cdot (2x + 2) = -2(x + 1) \sin(x^2 + 2x)\).
Solución: \(f'(x) = -2(x + 1) \sin(x^2 + 2x)\)
Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Producto con trigonométrica):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x \cdot \sin(x)\)
Paso 1: Aplicamos regla del producto: \(u(x) = x\), \(u'(x) = 1\); \(v(x) = \sin(x)\), \(v'(x) = \cos(x)\).
Paso 2: \(f'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = \sin(x) + x \cos(x)\)
Paso 2: \(f'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = \sin(x) + x \cos(x)\)
Ejercicio 7 (Nivel alto - Función trigonométrica inversa simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \arcsin(x) + \arctan(x)\)
Paso 1: Derivamos término a término: \(\frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\), \(\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1 + x^2}\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{1 + x^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{1 + x^2}\)
Nota: Dominio: \(-1 < x < 1\) para \arcsin.
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{1 + x^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{1 + x^2}\)
Nota: Dominio: \(-1 < x < 1\) para \arcsin.
Ejercicio 8 (Nivel alto - Trigonométrica inversa con cadena):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \arcsin(2x)\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = 2x\), \(u'(x) = 2\). Exterior \(g(u) = \arcsin u\), \(g'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\)
Nota: Dominio: \(|2x| < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\)
Nota: Dominio: \(|2x| < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\).
Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Composición compleja):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin^3(x) = (\sin(x))^3\)
Paso 1: Identificamos \(u(x) = \sin(x)\), \(u'(x) = \cos(x)\). Exterior \(g(u) = u^3\), \(g'(u) = 3u^2\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = 3(\sin(x))^2 \cdot \cos(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x)\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = 3(\sin(x))^2 \cdot \cos(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x)\).
Solución: \(f'(x) = 3 \sin^2(x) \cos(x)\)
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Combinación de trigonométricas directas e inversas):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \arctan(x^2 + 1) + \sin(e^x)\)
Paso 1: Para primera parte, \(u(x) = x^2 + 1\), \(u'(x) = 2x\). Exterior \(g(u) = \arctan u\), \(g'(u) = \frac{1}{1 + u^2}\), así \(\frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2}\). Para segunda, por cadena: \(\cos(e^x) \cdot e^x\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} + e^x \cos(e^x)\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} + e^x \cos(e^x)\)
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} + e^x \cos(e^x)\).
Solución: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} + e^x \cos(e^x)\)
Derivadas de Funciones con Raíces (Funciones Irracionales)
Ejercicio 1 (Nivel básico - Raíz cuadrada simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = x^{1/2}\). Usamos la regla de potencia: \(f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}\).
Paso 2: Simplificamos: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Simplificamos: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 2 (Nivel básico - Raíz con coeficiente):
Calcula la derivada de: \(f(x) = 3\sqrt{x} + 2x\)
Paso 1: Derivamos término a término. Para \(3\sqrt{x} = 3x^{1/2}\), derivada \(3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}\). Para \(2x\), es \(2\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 3 (Nivel básico-medio - Raíz cúbica):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = x^{1/3}\). Usamos la regla de potencia: \(f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}\).
Paso 2: Simplificamos: \(f'(x) = \frac{1}{3 x^{2/3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\)
Paso 2: Simplificamos: \(f'(x) = \frac{1}{3 x^{2/3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}\)
Ejercicio 4 (Nivel medio - Raíz de un polinomio simple):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x + 5}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = (x + 5)^{1/2}\). Identificamos \(u(x) = x + 5\), \(u'(x) = 1\). Exterior \(g(u) = u^{1/2}\), \(g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x + 5)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}\)
Nota: Dominio: \(x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x + 5)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}\)
Nota: Dominio: \(x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5\).
Ejercicio 5 (Nivel medio - Raíz cuadrada de polinomio cuadrático):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = (x^2 + 4)^{1/2}\). Identificamos \(u(x) = x^2 + 4\), \(u'(x) = 2x\). Exterior \(g(u) = u^{1/2}\), \(g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 4)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 4)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\)
Ejercicio 6 (Nivel medio-alto - Raíz cúbica con cadena):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 1}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = (2x^2 - 3x + 1)^{1/3}\). Identificamos \(u(x) = 2x^2 - 3x + 1\), \(u'(x) = 4x - 3\). Exterior \(g(u) = u^{1/3}\), \(g'(u) = \frac{1}{3} u^{-2/3}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{3} (2x^2 - 3x + 1)^{-2/3} \cdot (4x - 3) = \frac{4x - 3}{3 (2x^2 - 3x + 1)^{2/3}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{4x - 3}{3 \sqrt[3]{(2x^2 - 3x + 1)^2}}\)
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{3} (2x^2 - 3x + 1)^{-2/3} \cdot (4x - 3) = \frac{4x - 3}{3 (2x^2 - 3x + 1)^{2/3}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{4x - 3}{3 \sqrt[3]{(2x^2 - 3x + 1)^2}}\)
Ejercicio 7 (Nivel alto - Producto con raíz):
Calcula la derivada de: \(f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}\). Derivada por potencia: \(f'(x) = \frac{5}{2} x^{3/2}\).
Paso 2: Alternativa por producto: \(u = x^2\), \(u' = 2x\); \(v = x^{1/2}\), \(v' = \frac{1}{2} x^{-1/2}\). Entonces \(f'(x) = 2x \cdot \sqrt{x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x^{3/2} + \frac{1}{2} x^{3/2} = \frac{5}{2} x^{3/2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{5}{2} x^{3/2} = \frac{5}{2} x \sqrt{x}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Alternativa por producto: \(u = x^2\), \(u' = 2x\); \(v = x^{1/2}\), \(v' = \frac{1}{2} x^{-1/2}\). Entonces \(f'(x) = 2x \cdot \sqrt{x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x^{3/2} + \frac{1}{2} x^{3/2} = \frac{5}{2} x^{3/2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{5}{2} x^{3/2} = \frac{5}{2} x \sqrt{x}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Ejercicio 8 (Nivel alto - Cociente con raíz):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}\)
Paso 1: Aplicamos regla del cociente: \(u = x^{1/2}\), \(u' = \frac{1}{2} x^{-1/2}\); \(v = x + 1\), \(v' = 1\).
Paso 2: \(f'(x) = \frac{ \frac{1}{2\sqrt{x}} (x + 1) - \sqrt{x} \cdot 1 }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{x + 1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{x + 1 - 2x}{2\sqrt{x}} }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{1 - x}{2\sqrt{x}} }{ (x + 1)^2 } = \frac{1 - x}{2\sqrt{x} (x + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1 - x}{2\sqrt{x} (x + 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\) y \(x \neq -1\).
Paso 2: \(f'(x) = \frac{ \frac{1}{2\sqrt{x}} (x + 1) - \sqrt{x} \cdot 1 }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{x + 1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{x + 1 - 2x}{2\sqrt{x}} }{ (x + 1)^2 } = \frac{ \frac{1 - x}{2\sqrt{x}} }{ (x + 1)^2 } = \frac{1 - x}{2\sqrt{x} (x + 1)^2}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1 - x}{2\sqrt{x} (x + 1)^2}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\) y \(x \neq -1\).
Ejercicio 9 (Nivel muy alto - Raíz de función compleja):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x^3 - 2x^2 + 5x}\)
Paso 1: Reescribimos \(f(x) = (x^3 - 2x^2 + 5x)^{1/2}\). Identificamos \(u(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\), \(u'(x) = 3x^2 - 4x + 5\). Exterior \(g(u) = u^{1/2}\), \(g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2}\).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x^3 - 2x^2 + 5x)^{-1/2} \cdot (3x^2 - 4x + 5) = \frac{3x^2 - 4x + 5}{2 \sqrt{x^3 - 2x^2 + 5x}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3x^2 - 4x + 5}{2 \sqrt{x^3 - 2x^2 + 5x}}\)
Nota: Dominio: \(x^3 - 2x^2 + 5x \geq 0\) y \(x \neq 0\) (para evitar división por cero en simplificación).
Paso 2: Por cadena: \(f'(x) = \frac{1}{2} (x^3 - 2x^2 + 5x)^{-1/2} \cdot (3x^2 - 4x + 5) = \frac{3x^2 - 4x + 5}{2 \sqrt{x^3 - 2x^2 + 5x}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{3x^2 - 4x + 5}{2 \sqrt{x^3 - 2x^2 + 5x}}\)
Nota: Dominio: \(x^3 - 2x^2 + 5x \geq 0\) y \(x \neq 0\) (para evitar división por cero en simplificación).
Ejercicio 10 (Nivel muy alto - Combinación de raíces diferentes):
Calcula la derivada de: \(f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\)
Paso 1: Reescribimos: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), \(\sqrt[3]{x^2} = (x^2)^{1/3} = x^{2/3}\), \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\). Derivadas: \(\frac{1}{2} x^{-1/2}\), \(\frac{2}{3} x^{-1/3}\), \(- \left( -\frac{1}{2} x^{-3/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-3/2}\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{3 x^{1/3}} + \frac{1}{2 x^{3/2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + \frac{1}{2 x^{3/2}}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
Paso 2: Sumamos: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{3 x^{1/3}} + \frac{1}{2 x^{3/2}}\).
Solución: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + \frac{1}{2 x^{3/2}}\)
Nota: Dominio: \(x > 0\).
¿Tienes alguna duda? Puedes esxpresarla en los comentarios. ¡Felices matemáticas!
Integrales Racionales. Guía completa y ejercicios
Propiedades de los determinantes: ejemplos y ejerc...Espero que te haya gustado este artículo sobre Ejercicios de Derivadas Resueltos Paso a Paso. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...
Integrales trigonométricas : fórmulas, trucos y ejercicios resueltos
Como resolver la indeterminación 0/0
Comprendiendo la indeterminación infinito menos infinito en límites
Cómo saber si una función es derivable
Tabla de derivadas.Guía Completa con Ejercicios Prácticos🔍
Guía completa: integrales por partes paso a paso
Deja una respuesta Cancelar la respuesta
- Soy Matemáticas
- Bachillerato
- Ejercicios de Derivadas Resueltos Paso a Paso
| Copyright © 2015-2025 Soy Matemáticas|
🎁 ACCESO GRATUITO POR TIEMPO LIMITADO
¡¡CURSO GRATIS!!
Experto en Álgebra de Secundaria
Durante unos días puedes acceder GRATIS a mi curso completo de álgebra de secundaria y bachillerato. A cambio, solo te pido que si el curso te ayuda, me dejes una reseña positiva en Udemy.
✓ Explicaciones paso a paso de todo el álgebra de secundaria
✓ Cientos de ejercicios y problemas prácticos, más de 11 horas de vídeos
✓ Acceso de por vida al curso + soporte personalizado
Tu cupón del 100% de descuento:
El cupón se aplicará automáticamente al hacer clic en el botón de abajo. Si no funciona, cópialo y pégalo en Udemy para obtener el curso gratis.
⚠️ Acceso gratuito disponible solo durante unos días. Después, el curso vuelve a su precio habitual.
¿No te entra el cupón automáticamente?
Usa este enlace directo con el cupón del 100% incluido:
Quiero aprender más sobre: