teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass: máximos y mínimos en un intervalo cerrado

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 6 minutos · Actualizado hace 1 segundo

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué dice el teorema de Weierstrass? 🔍
  2. Las dos condiciones imprescindibles ⚠️
  3. ¿Qué garantiza (y qué NO garantiza) el teorema? 🧭
  4. Interpretación gráfica: sin levantar el lápiz ✏️
  5. Cómo aplicar el teorema paso a paso 🧩
  6. Teorema de Weierstrass y teorema de Bolzano: la conexión 🔗
  7. Un poco de historia: ¿quién fue Weierstrass? 🎓
  8. Ejercicios resueltos del teorema de Weierstrass (¡interactivos!) 🧮

📐 Matemáticas · Análisis y continuidad · Bachillerato

El teorema de Weierstrass responde a una pregunta que parece sencilla pero no lo es: ¿toda función tiene, seguro, un punto más alto y un punto más bajo? La respuesta es... depende. Este teorema te dice exactamente en qué casos puedes estar al cien por cien seguro de que existen. En esta guía vas a entender su enunciado, por qué sus dos condiciones no se pueden saltar (con contraejemplos que lo dejan clarísimo 👀), cómo se conecta con el teorema de Bolzano, y a resolver ejercicios interactivos explicados paso a paso. 📈

Gráfica de una función continua en un intervalo cerrado, con su máximo y su mínimo absolutos marcados a b MÁX MÍN

¿Qué dice el teorema de Weierstrass? 🔍

El teorema de Weierstrass, también llamado teorema de los valores extremos, es uno de los resultados más importantes cuando se estudian funciones continuas. Y su idea, en el fondo, es muy intuitiva: si dibujas una curva sin levantar el lápiz del papel, dentro de un tramo con principio y final bien definidos, esa curva tiene que tener, por fuerza, un punto más alto y un punto más bajo. Vamos a formalizarlo.

📌 Enunciado del teorema
Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en algún punto (o puntos) de ese intervalo.
🎯 Forma matemática del enunciado
$$\exists\,c,d\in[a,b]\ \ \text{tales que}\ \ f(c)\le f(x)\le f(d),\ \ \forall x\in[a,b]$$

donde $f(c)$ es el mínimo absoluto y $f(d)$ es el máximo absoluto de $f$ en $[a,b]$.

Nada más. El teorema no exige que $f$ sea derivable, ni que tenga una fórmula sencilla: solo pide continuidad y un intervalo cerrado. A cambio, te regala una garantía muy potente. 💪

Las dos condiciones imprescindibles ⚠️

Fíjate bien en el enunciado: hay dos condiciones, y ninguna es negociable. Si falla cualquiera de las dos, el teorema deja de aplicarse — y, como vas a ver ahora mismo, la función puede quedarse sin máximo, sin mínimo, o sin ninguno de los dos. 👇

Función con una discontinuidad de salto: el valor límite no se alcanza

SIN CONTINUIDAD ❌
La función "salta" y no llega a tomar el valor al que se acerca

Función continua en un intervalo abierto que no está acotada ↑

SIN INTERVALO CERRADO ❌
La función se dispara sin límite, o no incluye sus extremos

Estos dos ejemplos no son un capricho matemático: son la prueba de que ambas condiciones son necesarias. Quítale una al teorema y ya no puedes garantizar absolutamente nada. Los verás resueltos con todo detalle en los ejercicios 2 y 3 de más abajo. ⬇️

¿Qué garantiza (y qué NO garantiza) el teorema? 🧭

Este es, con diferencia, el punto donde más alumnos se confunden. El teorema de Weierstrass es un teorema de existencia, no un método de cálculo. Vamos a separar bien las dos cosas:

💡 Lo que SÍ garantiza

  • Que existe al menos un punto donde $f$ alcanza su valor más alto (máximo absoluto).
  • Que existe al menos un punto donde $f$ alcanza su valor más bajo (mínimo absoluto).
  • Que $f$ está acotada en $[a,b]$: no se dispara hacia el infinito.
⚠️ Lo que NO garantiza

  • No te dice en qué punto exacto están el máximo y el mínimo — para localizarlos hace falta la derivada.
  • No garantiza que sean únicos: puede haber varios puntos distintos con el mismo valor máximo (o mínimo).
  • No afirma nada si continuidad o intervalo cerrado fallan: simplemente deja de aplicarse (aunque la función podría tener máximo o mínimo igualmente, solo que sin esta garantía).
Teorema de Weierstrass

Interpretación gráfica: sin levantar el lápiz ✏️

Imagina que dibujas la gráfica de $f$ de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel, empezando en $x=a$ y terminando en $x=b$. Como no puedes "escaparte" del papel (el intervalo está acotado) ni dar saltos (la función es continua), tu trazo queda encerrado en una franja limitada. Y toda línea encerrada así tiene, por fuerza, un punto más alto y un punto más bajo. Eso es, literalmente, lo que afirma el teorema.

Fíjate en la gráfica del principio del artículo ⬆️: la curva es continua de principio a fin, y el intervalo $[a,b]$ está cerrado (por eso los extremos aparecen marcados con un punto relleno, indicando que están incluidos). El resultado: un máximo bien visible en la "colina" y un mínimo en el "valle" — y ninguno de los dos tiene por qué coincidir con los extremos $a$ o $b$.

Cómo aplicar el teorema paso a paso 🧩

El teorema de Weierstrass te garantiza que el máximo y el mínimo existen, pero no te dice dónde. Para localizarlos en la práctica, se sigue siempre este procedimiento:

1
Comprueba que $f$ es continua en todo $[a,b]$ (los polinomios, por ejemplo, siempre lo son).
2
Comprueba que $[a,b]$ es un intervalo cerrado y acotado (con sus dos extremos incluidos).
3
Si se cumplen ambas condiciones, calcula la derivada $f'(x)$ y halla los puntos críticos (donde $f'(x)=0$, o donde no existe) que estén dentro de $(a,b)$.
4
Evalúa $f$ en esos puntos críticos y también en los dos extremos, $a$ y $b$.
5
El mayor de todos los valores obtenidos es el máximo absoluto; el menor es el mínimo absoluto.
💡 Trucazo de examen
Nunca te olvides de evaluar también en los extremos $a$ y $b$ — es el error más común. El máximo o el mínimo puede estar perfectamente en un extremo del intervalo, no solo en un punto crítico interior (lo verás clarísimo en el Ejercicio 4).

Teorema de Weierstrass y teorema de Bolzano: la conexión 🔗

Estos dos teoremas suelen aparecer juntos en los exámenes, y por una buena razón: se complementan a la perfección. El teorema de Bolzano afirma que si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe algún punto $c\in(a,b)$ donde $f(c)=0$.

Combinando ambos teoremas se obtiene un resultado todavía más potente, conocido como la propiedad de Darboux (o teorema de los valores intermedios): una función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores comprendidos entre su mínimo y su máximo absolutos. Ni uno menos.

📌 En resumen
Weierstrass te dice que existen un máximo $M$ y un mínimo $m$. La propiedad de Darboux añade que, además, $f$ pasa por todos y cada uno de los valores entre $m$ y $M$, sin excepción. Lo verás aplicado en el Ejercicio 6. 👇

No lo confundas: otros teoremas de Weierstrass 🧐

Karl Weierstrass dejó tantos resultados importantes que su nombre aparece en varios teoremas distintos, y es fácil confundirlos si estudias con prisa. Aquí tienes la diferencia bien clara:

Teorema¿Sobre qué trata?¿Qué garantiza?
Teorema de Weierstrass (este artículo)Funciones continuas en un intervalo cerradoExistencia de un máximo y un mínimo absolutos
Teorema de Bolzano-WeierstrassSucesiones acotadas de números realesExistencia de al menos una subsucesión convergente
Teorema de aproximación de WeierstrassFunciones continuas en un intervalo cerradoSe pueden aproximar tanto como se quiera mediante un polinomio

Si en tu curso solo has visto el primero, no te preocupes: los otros dos suelen estudiarse más adelante, en la universidad.

Un poco de historia: ¿quién fue Weierstrass? 🎓

Karl Weierstrass (1815-1897) fue un matemático alemán al que se conoce como "el padre del análisis moderno". Antes de él, muchos resultados de cálculo se apoyaban en la intuición geométrica; Weierstrass se propuso ponerlo todo sobre una base absolutamente rigurosa, con las famosas definiciones de límite en términos de $\varepsilon$ y $\delta$ que seguramente uses en clase.

💡 ¿Sabías que...?
Weierstrass también construyó una función que es continua en todos los puntos, pero que no se puede derivar en ninguno de ellos. En su época esto fue una auténtica bomba: hasta entonces, se daba casi por hecho que toda función continua tenía que ser derivable "casi siempre". Hoy se la conoce como la función de Weierstrass. 🤯

Ejercicios resueltos del teorema de Weierstrass (¡interactivos!) 🧮

Ahora te toca practicar. Intenta resolver cada ejercicio en un papel antes de abrir la solución — es la única forma de que el aprendizaje se quede de verdad. Cada solución está explicada paso a paso. ¡Vamos allá! 💪

🏆 Progreso:

0/6

Nivel fácil

📝 Ejercicio 1 — Comprobar hipótesis y aplicar el teorema

¿Se puede aplicar el teorema de Weierstrass a $f(x)=x^2-4x+5$ en el intervalo $[0,3]$? Si es así, ¿qué garantiza?

👉 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
1
$f$ es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, así que en particular lo es en $[0,3]$. ✅
2
El intervalo $[0,3]$ es cerrado y acotado (tiene ambos extremos incluidos). ✅
3
Como se cumplen las dos hipótesis, el teorema de Weierstrass garantiza que $f$ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en $[0,3]$.
4
De propina: $f(x)=(x-2)^2+1$, vértice en $x=2$ (dentro del intervalo), con $f(2)=1$. En los extremos, $f(0)=5$ y $f(3)=2$.
Máximo: 5 (en x=0) · Mínimo: 1 (en x=2)
Nivel medio

📝 Ejercicio 2 — Contraejemplo: falla la continuidad

La función $$f(x)=\begin{cases}x & \text{si } 0\le x<1\\ 0 & \text{si } x=1\end{cases}$$ está definida en el intervalo cerrado $[0,1]$, pero no alcanza un máximo absoluto. ¿Contradice esto al teorema de Weierstrass?

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1
El intervalo $[0,1]$ sí es cerrado y acotado. ✅
2
Pero $f$ NO es continua en $x=1$: cuando $x$ se acerca a $1$ por la izquierda, $f(x)$ se acerca a $1$, pero $f(1)=0$. Hay un salto. ❌
3
Como falla la hipótesis de continuidad, el teorema simplemente no se puede aplicar aquí — no hay ninguna contradicción, porque el teorema solo promete algo cuando se cumplen sus dos condiciones.
4
De hecho, $f$ no tiene máximo: por mucho que nos acerquemos a $x=1$, siempre hay valores de $f(x)$ más cercanos a $1$, pero nunca llega a valer $1$ dentro del intervalo (en $x=1$ la función "cae" a $0$). Esto ilustra justo por qué la continuidad es imprescindible.
No hay contradicción: falla la continuidad
Nivel medio

📝 Ejercicio 3 — Contraejemplo: falla el intervalo cerrado

La función $f(x)=\dfrac{1}{x}$ es continua en el intervalo abierto $(0,1)$. ¿Alcanza un máximo o un mínimo absolutos ahí? ¿Contradice esto al teorema?

👉 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
1
$f(x)=1/x$ es continua en todo su dominio, y en particular en $(0,1)$. ✅ (continuidad OK)
2
Pero el intervalo $(0,1)$ es abierto, no cerrado (los extremos $0$ y $1$ no están incluidos). ❌
3
Al fallar la hipótesis de intervalo cerrado, el teorema no se puede aplicar aquí.
4
Y efectivamente, $f$ no tiene ni máximo ni mínimo en $(0,1)$: al acercarnos a $x=0^+$, $f(x)\to+\infty$ (no está acotada, no hay máximo); al acercarnos a $x=1^-$, $f(x)\to1$ pero nunca llega a valer $1$ dentro del intervalo abierto (tampoco hay mínimo alcanzado).
No hay contradicción: falla el intervalo cerrado
Nivel alto

📝 Ejercicio 4 — Localizar el máximo y el mínimo absolutos

Comprueba que $f(x)=x^3-3x$ cumple el teorema de Weierstrass en $[-2,2]$ y calcula su máximo y mínimo absolutos.

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1
$f$ es un polinomio (continuo en $\mathbb{R}$) y $[-2,2]$ es cerrado y acotado. Se cumplen las hipótesis: el máximo y el mínimo existen.
2
Derivamos para hallar los puntos críticos: $$f'(x)=3x^2-3$$
3
Igualamos a cero: $$3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$ Ambos están dentro de $[-2,2]$. ✅
4
Evaluamos $f$ en los 2 puntos críticos y en los 2 extremos del intervalo:
$$f(-2)=-8+6=-2 \qquad f(-1)=-1+3=2$$ $$f(1)=1-3=-2 \qquad f(2)=8-6=2$$
5
Comparando los cuatro valores ($-2,\,2,\,-2,\,2$):
Máximo: 2 (en x=−1 y x=2) · Mínimo: −2 (en x=−2 y x=1)
Nivel medio · Aplicación real

📝 Ejercicio 5 — Beneficio máximo de una empresa 💼

El beneficio, en miles de euros, de una empresa durante sus primeros meses sigue la función $$B(t)=-2t^2+12t+5$$ con $t\in[0,5]$ (meses). ¿Cuál es el beneficio máximo y cuándo se alcanza?

👉 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
1
$B$ es un polinomio (continuo) y $[0,5]$ es cerrado y acotado: el teorema de Weierstrass garantiza que existen un máximo y un mínimo.
2
Derivamos e igualamos a cero: $$B'(t)=-4t+12=0 \Rightarrow t=3$$ Este valor está dentro de $[0,5]$. ✅
3
Evaluamos en el punto crítico y en los extremos: $$B(0)=5 \qquad B(3)=-18+36+5=23 \qquad B(5)=-50+60+5=15$$
4
El mayor valor es $23$, así que el beneficio máximo se alcanza en el mes $3$.
Beneficio máximo: 23 000 € en t=3 meses
Nivel alto · Reto

📝 Ejercicio 6 — Conexión con el teorema de Bolzano 🔗

Si $f$ es continua en $[1,5]$ y el teorema de Weierstrass nos dice que su mínimo absoluto es $f(2)=-3$ y su máximo absoluto es $f(4)=7$, ¿podemos asegurar que existe algún $c\in[1,5]$ con $f(c)=0$?

👉 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
1
Sabemos que $f$ es continua en $[1,5]$, con mínimo absoluto $-3$ y máximo absoluto $7$.
2
Como consecuencia del teorema de Weierstrass junto con la propiedad de Darboux, una función continua toma todos los valores entre su mínimo y su máximo.
3
Como $0$ está entre $-3$ y $7$ (es decir, $-3\le 0\le 7$), sí podemos garantizar que existe al menos un $c\in[1,5]$ con $f(c)=0$. 🎯
4
Esto es, exactamente, el teorema de Bolzano aplicado entre los puntos donde se alcanzan el mínimo y el máximo.
Sí, existe c con f(c) = 0

Aplicaciones del teorema de Weierstrass en la vida real 🌍

✅ ¿Para qué sirve esto en el mundo real?

  • 💼 Economía y empresa: garantiza que existe un beneficio máximo (o un coste mínimo) en un periodo de tiempo concreto, como en el Ejercicio 5.
  • 🏗️ Ingeniería: asegura que una estructura sometida a una tensión que varía de forma continua tiene un valor máximo soportado en el tramo estudiado.
  • 🧮 Optimización en general: es la base teórica que justifica por qué buscar máximos y mínimos con la derivada tiene sentido — sin Weierstrass, no sabríamos si el candidato hallado es realmente el extremo global.
  • 🌡️ Física: garantiza una temperatura máxima y mínima alcanzada por un objeto durante un intervalo de tiempo acotado, si la función es continua.
  • 📚 Fundamento de otros teoremas: es la base para demostrar resultados posteriores de cálculo y optimización con restricciones.

Preguntas frecuentes sobre el teorema de Weierstrass ❓

¿El teorema de Weierstrass dice dónde están el máximo y el mínimo?+
No. Solo garantiza que existen. Para localizarlos hay que analizar los puntos críticos (con la derivada) y los extremos del intervalo, tal y como se explica en el apartado "Cómo aplicarlo paso a paso".
¿Qué pasa si la función no es continua en algún punto del intervalo?+
El teorema de Weierstrass no se puede aplicar: sus hipótesis no se cumplen, así que no hay ninguna garantía (aunque, en algunos casos, la función podría tener máximo y mínimo de todas formas, simplemente sin esa garantía).
¿Funciona el teorema en un intervalo abierto?+
No. El teorema exige explícitamente que el intervalo sea cerrado y acotado. En un intervalo abierto, una función continua puede no alcanzar ni máximo ni mínimo, como ocurre con f(x) = 1/x en (0,1).
¿Es lo mismo el teorema de Weierstrass que el teorema de Bolzano?+
No, son teoremas distintos aunque se usan juntos con frecuencia. El teorema de Weierstrass habla de máximos y mínimos de funciones continuas en intervalos cerrados. El teorema de Bolzano habla de la existencia de una raíz (o de un valor intermedio) de una función continua.
¿El teorema garantiza un máximo único?+
No necesariamente. El teorema garantiza que existe al menos un máximo y un mínimo absolutos, pero pueden alcanzarse en más de un punto del intervalo, como en el Ejercicio 4, donde el máximo se alcanza en dos puntos distintos.
¿Se puede aplicar a funciones definidas a trozos?+
Sí, siempre que la función sea continua en todo el intervalo cerrado, incluidos los puntos donde cambia de expresión. Hay que comprobar que no haya saltos justo en esos puntos de unión, como en el Ejercicio 2.

🗂️ Resumen exprés — todo lo que debes recordar

  • Hipótesis: $f$ continua en $[a,b]$ (cerrado y acotado).
  • Tesis: existen $c,d\in[a,b]$ con $f(c)=$ mínimo absoluto y $f(d)=$ máximo absoluto.
  • El teorema NO indica dónde están esos puntos, solo que existen.
  • Si falla la continuidad o el intervalo no es cerrado, el teorema no se puede aplicar.
  • Para hallarlos en la práctica: puntos críticos ($f'(x)=0$) + evaluación en los extremos $a$ y $b$.

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Consulta también:
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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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