teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy 📘: interpretación y ejemplos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 1 día · Actualizado hace 1 día

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es el Teorema de Cauchy? 🤔
  2. Enunciado formal y condiciones 📜
  3. Relación con Rolle y Lagrange 🎯
  4. Demostración del teorema de Cauchy 🪜
  5. Ejercicios resueltos 💪
  6. Errores más comunes ⚠️
  7. Comprobación numérica 🧮
  8. Tabla resumen 📋

📘 2º de Bachillerato · Selectividad / EBAU

Teorema de Cauchy: la generalización que demuestra la regla de L'Hôpital

Si ya conoces el teorema de Rolle y el del valor medio de Lagrange, el Teorema de Cauchy es el siguiente paso lógico: en vez de comparar una función con la recta que une sus extremos, compara dos funciones entre sí. Aquí lo vas a entender de verdad, paso a paso y con ejercicios resueltos. 🚀

f '(c)g '(c)
=existe c ∈ (a,b)
f(b) − f(a)g(b) − g(a)

⚡ Respuesta rápida

El Teorema de Cauchy (o teorema del valor medio generalizado) dice que si \(f\) y \(g\) son continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\) y \(g'(x) \neq 0\) en todo el intervalo abierto, entonces existe al menos un punto \(c \in (a,b)\) tal que:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Es la versión "con dos funciones" del teorema de Lagrange: si tomas \(g(x)=x\) recuperas exactamente su fórmula, y es la herramienta que permite demostrar rigurosamente la regla de L'Hôpital.

¿Qué es el Teorema de Cauchy? 🤔

El Teorema de Cauchy, también llamado teorema del valor medio generalizado o teorema de los incrementos finitos generalizado, es una ampliación del teorema de Lagrange que estudiaste antes.En lugar de comparar el crecimiento de una única función \(f\) con la recta \(y=x\), compara el crecimiento de dos funciones \(f\) y \(g\) entre sí, a lo largo del mismo intervalo.

La idea intuitiva es la siguiente: imagina dos coches que recorren la misma carretera durante el mismo intervalo de tiempo \([a,b]\), cada uno con su propia función de posición, \(f(t)\) y \(g(t)\). El teorema garantiza que existe un instante \(c\) en el que la razón entre sus velocidades instantáneas, \(f'(c)/g'(c)\), coincide exactamente con la razón entre sus desplazamientos totales, \([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]\).

Aunque el enunciado parece más abstracto que el de Lagrange, su verdadera importancia está en que es la pieza teórica que permite demostrar la regla de L'Hôpital, esa técnica que usas para resolver límites indeterminados del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\).

💡 Un vistazo rápido a su "familia"

Rolle, Lagrange y Cauchy no son tres teoremas independientes: son el mismo resultado visto con distinto nivel de generalidad. Rolle es un caso particular de Lagrange, y Lagrange es un caso particular de Cauchy. Entenderlo así te ahorra tener que memorizar tres cosas sueltas.

Enunciado formal y condiciones 📜

✔️Continuidad de \(f\): \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\).
✔️Continuidad de \(g\): \(g\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\).
✔️Derivabilidad de \(f\): \(f\) es derivable en el intervalo abierto \((a,b)\).
✔️Derivabilidad de \(g\): \(g\) es derivable en el intervalo abierto \((a,b)\).
✔️Derivada de \(g\) no nula: \(g'(x) \neq 0\) para todo \(x\) del intervalo abierto \((a,b)\).
✅ Conclusión del teorema

Si se cumplen las cinco condiciones anteriores, entonces existe (al menos) un punto \(c \in (a,b)\) tal que:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Relación con Rolle y Lagrange 🎯

TeoremaHipótesis claveConclusión
Rolle\(f\) continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\), \(f(a)=f(b)\)\(\exists c: f'(c)=0\)
Lagrange (valor medio)\(f\) continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\)\(\exists c: f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Cauchy (valor medio generalizado)\(f,g\) continuas en \([a,b]\), derivables en \((a,b)\), \(g'(x)\neq 0\)\(\exists c: \dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
⚠️ No confundas los tres teoremas

El de Cauchy es el más general de los tres: si tomas \(g(x)=x\) obtienes exactamente el de Lagrange, y si además \(f(a)=f(b)\) obtienes el de Rolle. En un examen, si te dan dos funciones distintas, es Cauchy; si solo hay una, es Lagrange (o Rolle si coinciden los extremos).

Demostración del teorema de Cauchy 🪜

1

Definimos una función auxiliar: \( \varphi(x) = [f(b)-f(a)]\,g(x) - [g(b)-g(a)]\,f(x) \). Como \(f\) y \(g\) son continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\), \(\varphi\) también lo es.
2

Comprobamos que \(\varphi(a) = \varphi(b)\). Sustituyendo y desarrollando ambos extremos, los dos coinciden con el valor \(f(b)g(a) - f(a)g(b)\).
3

Como \(\varphi\) cumple las tres hipótesis del teorema de Rolle (continua, derivable, mismos valores en los extremos), existe \(c \in (a,b)\) tal que \(\varphi'(c) = 0\).
4

Derivamos: \( \varphi'(x) = [f(b)-f(a)]\,g'(x) - [g(b)-g(a)]\,f'(x) \). Sustituyendo \(\varphi'(c)=0\) y despejando (usando que \(g'(c) \neq 0\) y \(g(b) \neq g(a)\)) llegamos a la fórmula del teorema: \( f'(c)/g'(c) = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] \).
💡 Truco para recordar la función auxiliar

Fíjate en que \(\varphi(x)\) se construye "cruzando" los incrementos: el incremento de \(f\) multiplica a \(g(x)\), y el incremento de \(g\) multiplica a \(f(x)\), con signo menos. Ese cruce es justo lo que hace que \(\varphi(a)\) y \(\varphi(b)\) coincidan, dejando el terreno preparado para aplicar Rolle.

Ejercicios resueltos 💪

Practica encontrando el punto \(c\) que garantiza el teorema en cada caso. Verás que a veces sale un número exacto y otras hay que resolver una ecuación algo más laboriosa.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Comprueba el Teorema de Cauchy para \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x\) en \([1,3]\) y encuentra el valor de \(c\).

\[ f(x)=x^2, \quad g(x)=x, \quad [a,b]=[1,3] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: \(f\) y \(g\) son continuas y derivables en todo \(\mathbb{R}\), y \(g'(x)=1 \neq 0\), así que se cumplen las hipótesis.
Paso 2: Calculamos el lado derecho: \( \dfrac{f(3)-f(1)}{g(3)-g(1)} = \dfrac{9-1}{3-1} = \dfrac{8}{2} = 4 \).
Paso 3: Como \(f'(x)=2x\) y \(g'(x)=1\), planteamos \( \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = 2c = 4 \), de donde \(c=2\), que sí pertenece a \((1,3)\).
✅ Resultado: \( c = 2 \)
teorema de Cauchy
🟢 Básico

Ejercicio 2. Aplica el teorema a \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=x^2\) en \([1,2]\).

\[ f(x)=x^3, \quad g(x)=x^2, \quad [a,b]=[1,2] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: En \((1,2)\), \(g'(x)=2x \neq 0\) porque \(x>0\), así que las hipótesis se cumplen.
Paso 2: Lado derecho: \( \dfrac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \dfrac{8-1}{4-1} = \dfrac{7}{3} \).
Paso 3: Con \(f'(x)=3x^2\) y \(g'(x)=2x\): \( \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{3c^2}{2c} = \dfrac{3c}{2} = \dfrac{7}{3} \), de donde \(c=\dfrac{14}{9}\).
✅ Resultado: \( c = \dfrac{14}{9} \approx 1{,}556 \)
🟡 Medio

Ejercicio 3. Encuentra el punto \(c\) del Teorema de Cauchy para \(f(x)=\operatorname{sen}x\) y \(g(x)=\cos x\) en \([0,\pi/2]\).

\[ f(x)=\operatorname{sen}x, \quad g(x)=\cos x, \quad [a,b]=\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: En \((0,\pi/2)\), \(g'(x)=-\operatorname{sen}x \neq 0\) porque el seno es estrictamente positivo ahí. Se cumplen las hipótesis.
Paso 2: Lado derecho: \( \dfrac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)} = \dfrac{1-0}{0-1} = -1 \).
Paso 3: Con \(f'(x)=\cos x\) y \(g'(x)=-\operatorname{sen}x\): \( \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = -\cot c = -1 \), luego \(\cot c = 1\), es decir \(c = \pi/4\).
✅ Resultado: \( c = \dfrac{\pi}{4} \)
🟡 Medio

Ejercicio 4. Aplica el teorema a \(f(x)=\sqrt{x}\) y \(g(x)=x\) en \([4,9]\).

\[ f(x)=\sqrt{x}, \quad g(x)=x, \quad [a,b]=[4,9] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: \(f\) es derivable en \((4,9)\) y \(g'(x)=1 \neq 0\), así que se cumplen las hipótesis.
Paso 2: Lado derecho: \( \dfrac{f(9)-f(4)}{g(9)-g(4)} = \dfrac{3-2}{9-4} = \dfrac{1}{5} \).
Paso 3: Con \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) y \(g'(x)=1\): \( \dfrac{1}{2\sqrt{c}} = \dfrac{1}{5} \), de donde \(\sqrt{c}=2{,}5\) y \(c=6{,}25\).
✅ Resultado: \( c = 6{,}25 \)
🟡 Medio

Ejercicio 5. Encuentra \(c\) para \(f(x)=\ln x\) y \(g(x)=x^2\) en \([1,2]\).

\[ f(x)=\ln x, \quad g(x)=x^2, \quad [a,b]=[1,2] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: En \((1,2)\), \(g'(x)=2x \neq 0\) y \(\ln x\) es derivable, así que se cumplen las hipótesis.
Paso 2: Lado derecho: \( \dfrac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \dfrac{\ln 2 - 0}{4-1} = \dfrac{\ln 2}{3} \approx 0{,}231 \).
Paso 3: Con \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\) y \(g'(x)=2x\): \( \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{1}{2c^2} = \dfrac{\ln 2}{3} \), de donde \(c^2 = \dfrac{3}{2\ln 2} \approx 2{,}164\) y \(c \approx 1{,}471\).
✅ Resultado: \( c \approx 1{,}471 \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Encuentra \(c\) para \(f(x)=x^3-2x\) y \(g(x)=x^2\) en \([1,2]\).

\[ f(x)=x^3-2x, \quad g(x)=x^2, \quad [a,b]=[1,2] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: En \((1,2)\), \(g'(x)=2x \neq 0\), así que se cumplen las hipótesis.
Paso 2: Lado derecho: \( \dfrac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \dfrac{4-(-1)}{4-1} = \dfrac{5}{3} \).
Paso 3: Con \(f'(x)=3x^2-2\) y \(g'(x)=2x\): \( \dfrac{3c^2-2}{2c} = \dfrac{5}{3} \).
Paso 4: Multiplicando en cruz: \( 9c^2 - 10c - 6 = 0 \). Resolviendo con la fórmula general, \( c = \dfrac{10 \pm \sqrt{316}}{18} \). La solución positiva dentro de \((1,2)\) es \(c \approx 1{,}543\) (la otra, \(c \approx -0{,}432\), se descarta por no pertenecer al intervalo).
✅ Resultado: \( c \approx 1{,}543 \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 7. Explica por qué el Teorema de Cauchy no se puede aplicar a \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=x^2\) en \([-1,1]\).

\[ f(x)=x^3, \quad g(x)=x^2, \quad [a,b]=[-1,1] \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: \(f\) y \(g\) son continuas en \([-1,1]\) y derivables en \((-1,1)\), así que esas dos condiciones sí se cumplen.
Paso 2: Pero \(g'(x)=2x\), y \(g'(0)=0\), con \(0 \in (-1,1)\). La hipótesis "\(g'(x) \neq 0\) en todo el intervalo" falla.
Paso 3: La consecuencia se nota enseguida: \(g(1)=1\) y \(g(-1)=1\), así que \(g(b)-g(a)=0\) y la fracción \([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]\) ni siquiera está definida.
✅ Conclusión: el teorema no es aplicable porque \(g'(x)\) se anula dentro del intervalo abierto

Errores más comunes ⚠️

❌ Olvidar comprobar que \(g'(x)\neq 0\) en todo el intervalo abierto
No basta con que \(g'(c)\) no se anule en el punto que encuentras al final: la hipótesis exige que \(g'(x)\) no se anule en ningún punto de \((a,b)\), antes incluso de empezar a resolver.
❌ Confundir Cauchy con Lagrange cuando hay dos funciones
Si el enunciado da dos funciones \(f\) y \(g\) distintas, la fórmula correcta divide por \(g(b)-g(a)\), no por \(b-a\). Usar la fórmula de Lagrange en un problema de Cauchy es el error más habitual.
❌ No comprobar la continuidad en el intervalo cerrado
Es fácil centrarse solo en la derivabilidad y olvidar que \(f\) y \(g\) también deben ser continuas en los extremos \(a\) y \(b\), no solo en el interior del intervalo.
❌ Esperar siempre un valor de \(c\) "bonito"
A veces \(c\) sale un número entero o una fracción simple, pero otras veces obligas a resolver una ecuación de segundo grado (o de otro tipo) y el resultado es un decimal, como en el Ejercicio 6.
❌ Pensar que \(g(a)=g(b)\) es solo "mala suerte"
Si \(g(a)=g(b)\), por el propio teorema de Rolle aplicado a \(g\) tiene que existir un punto donde \(g'\) se anule. Es decir, esa igualdad es automáticamente una señal de que la hipótesis \(g'(x)\neq 0\) ha fallado.

Comprobación numérica 🧮

Antes de fiarte del resultado algebraico, siempre puedes verificarlo dando valores a \(c\) cerca de la solución y comprobando que la igualdad se cumple justo ahí.

Verificación del Ejercicio 1 (\(f=x^2\), \(g=x\) en \([1,3]\))
cf '(c)/g '(c) = 2c
1,83,6
1,93,8
2,04,0 ✅
2,14,2
2,24,4

✅ El valor objetivo era 4, y solo se alcanza exactamente en \(c=2\).

Verificación del Ejercicio 3 (\(f=\operatorname{sen}x\), \(g=\cos x\) en \([0,\pi/2]\))
c (rad)−cot(c)
0,60−1,462
0,70−1,187
0,785 ≈ π/4−1,000 ✅
0,90−0,794
1,00−0,642

✅ El valor objetivo era −1, y se alcanza al llegar a \(c=\pi/4 \approx 0{,}785\).

Verificación del Ejercicio 6 (\(f=x^3-2x\), \(g=x^2\) en \([1,2]\))
c(3c²−2)/(2c)
1,501,583
1,521,622
1,5431,666 ✅
1,561,699
1,601,775

✅ El valor objetivo era 5/3 ≈ 1,667, y se alcanza en \(c \approx 1{,}543\).

Tabla resumen 📋

ConceptoFórmula
Teorema de Cauchy (general)\( \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)
Caso particular \(g(x)=x\) → Lagrange\( f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
Función auxiliar de la demostración\( \varphi(x) = [f(b)-f(a)]g(x) - [g(b)-g(a)]f(x) \)
Condición indispensable\( g'(x) \neq 0 \ \ \forall x \in (a,b) \)
Consecuencia inmediata de esa condición\( g(a) \neq g(b) \)

Preguntas frecuentes ❓

¿Cuál es la diferencia entre el Teorema de Cauchy y el Teorema de Lagrange?

Lagrange compara el crecimiento de \(f\) con la recta \(y=x\) (es decir, con el tiempo o la variable independiente). Cauchy compara el crecimiento de dos funciones cualesquiera, \(f\) y \(g\), entre sí. De hecho, Lagrange es el caso particular de Cauchy que se obtiene tomando \(g(x)=x\).

¿Por qué es imprescindible que \(g'(x) \neq 0\) en todo el intervalo?

Porque si \(g'\) se anulara en algún punto de \((a,b)\), el teorema de Rolle aplicado a \(g\) obligaría a que, en algún caso, \(g(a)=g(b)\), y entonces la fracción \([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]\) del enunciado dejaría de tener sentido al dividir entre cero.

¿Para qué sirve este teorema en la práctica?

Su aplicación más importante es teórica: es el paso clave que se usa para demostrar la regla de L'Hôpital, la técnica que permite calcular límites indeterminados del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\) derivando numerador y denominador por separado.

¿El punto \(c\) es siempre único?

No necesariamente. El teorema solo garantiza que existe al menos un punto \(c\) que cumple la igualdad; en algunas funciones puede haber varios puntos distintos que también la cumplan.

¿Qué ocurre si \(f\) o \(g\) no son derivables en algún punto del intervalo?

El teorema deja de aplicarse directamente en ese intervalo completo. Si el problema lo permite, hay que restringirse a un subintervalo donde sí se cumplan todas las hipótesis (continuidad, derivabilidad y \(g'(x)\neq 0\)).

¿Es un contenido habitual en Selectividad/EBAU?

Suele aparecer sobre todo como base teórica —para justificar por qué funciona la regla de L'Hôpital o en preguntas sobre continuidad y derivabilidad— más que como un ejercicio de cálculo puro para encontrar \(c\), aunque este último tipo también puede plantearse.

🚀 ¿Quieres seguir con análisis matemático?

Consulta también:
Regla de L'Hôpital,
Teorema de Rolle
y
Tabla de derivadas.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Teorema de Cauchy 📘: interpretación y ejemplos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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