Estudio de una función: dominio, asíntotas y pasos clave ✨

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

🔎 Índice de contenidos

📈 Estudio de una Función
🔍 ¿Qué es el estudio de una función y para qué sirve?
1️⃣ Paso 1 — Dominio
2️⃣ Paso 2 — Simetría
3️⃣ Paso 3 — Cortes con los ejes
4️⃣ Paso 4 — Continuidad y discontinuidades
5️⃣ Paso 5 — Asíntotas
6️⃣ Paso 6 — Monotonía y extremos (1.ª derivada)
7️⃣ Paso 7 — Curvatura y puntos de inflexión (2.ª derivada)
📊 Tabla resumen: los 10 pasos del estudio de una función
🎯 Ejercicios resueltos interactivos
🚫 Errores más frecuentes en el estudio de una función
❓ Preguntas frecuentes sobre el estudio de una función
📝 Resumen: los 10 pasos del estudio de una función

📈 Estudio de una Función

Guía completa para 2.º Bachillerato y Selectividad · Los 10 pasos · Gráficas de los ejemplos · Ejercicios interactivos resueltos

Dominio
Asíntotas
Monotonía
Extremos
Curvatura
P. Inflexión

🔍 ¿Qué es el estudio de una función y para qué sirve?

El estudio completo de una función es un proceso sistemático que permite conocer el comportamiento de una función \(f(x)\) en todos sus detalles: dónde está definida, cómo crece y decrece, qué extremos tiene, hacia dónde tiende en los infinitos y cómo se curva. El objetivo final es representarla gráficamente con exactitud y rigor.

Es uno de los temas con más peso en la selectividad (EBAU) porque integra casi todas las herramientas del análisis: límites, derivadas, álgebra y geometría.

📋 Los 10 pasos del estudio completo de una función

Dominio — ¿Para qué valores de x está definida f?
Simetría — ¿Es par, impar o no tiene simetría?
Cortes con los ejes — ¿Dónde corta los ejes X e Y?
Continuidad — ¿Es continua? ¿Qué tipo de discontinuidades tiene?
Asíntotas — Verticales, horizontales y oblicuas
Monotonía y extremos — Creciente/decreciente, máximos y mínimos (f')
Curvatura y puntos de inflexión — Cóncava/convexa (f'')
Signo de la función — ¿Cuándo es f > 0 y cuándo f < 0?
Recorrido (imagen) — ¿Qué valores toma f?
Representación gráfica — Dibujo con todos los elementos

1️⃣ Paso 1 — Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de \(x\) para los que la función está definida. El dominio es siempre el primer paso porque determina en qué intervalos se estudian todos los demás parámetros.

Tipo de función	Restricciones del dominio	Cómo encontrar el dominio
Polinómica	Ninguna	Dom = ℝ siempre
Racional \(p(x)/q(x)\)	\(q(x) \neq 0\)	Dom = ℝ − {ceros de q(x)}
Irracional par \(\sqrt[2n]{f(x)}\)	\(f(x) \geq 0\)	Resolver la inecuación \(f(x) \geq 0\)
Logarítmica \(\ln(f(x))\)	\(f(x) > 0\)	Resolver la inecuación \(f(x) > 0\)
Exponencial \(a^{f(x)}\)	Ninguna	Dom = ℝ
Trigonométrica \( an(x)\)	\(x \neq \pi/2 + k\pi\)	Dom = ℝ − {π/2+kπ, k∈ℤ}

🧮 Ejemplos de cálculo de dominio

\[f(x) = \frac{x+1}{x^2-4} \Rightarrow x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \Rightarrow \text{Dom} = \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\]\[g(x) = \sqrt{x-3} \Rightarrow x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \Rightarrow \text{Dom} = [3,+\infty)\]\[h(x) = \ln(x^2-1) \Rightarrow x^2-1 > 0 \Rightarrow |x|>1 \Rightarrow \text{Dom} = (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\]

2️⃣ Paso 2 — Simetría

Estudiar la simetría permite aprovechar la mitad del trabajo: si la función es par o impar, basta con estudiar la mitad de su dominio.

⚖ Función PAR

\[f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \text{Dom}\]

Simétrica respecto al eje Y. La gráfica es un espejo derecha-izquierda.

Ejemplos: x², cos(x), |x|, x⁴

↺ Función IMPAR

\[f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \text{Dom}\]

Simétrica respecto al origen. La gráfica girada 180° es igual.

Ejemplos: x, x³, sin(x), 1/x

⚠️Si al calcular \(f(-x)\) no obtienes ni \(f(x)\) ni \(-f(x)\), la función no tiene simetría (ni par ni impar) y pasas al siguiente paso. No confundas: la mayoría de funciones reales no son ni par ni impar.

3️⃣ Paso 3 — Cortes con los ejes

Los puntos de corte con los ejes son la "ancla" de la gráfica y dan información visual inmediata sobre la función.

Corte con el eje Y

Sustituye \(x = 0\) en \(f(x)\):

\[y_0 = f(0)\]Solo existe si \(0 \in \text{Dom}(f)\).
El punto de corte es \((0, f(0))\).

Cortes con el eje X

Resuelve \(f(x) = 0\):

\[f(x) = 0 \Rightarrow x_1, x_2, \ldots\]Puede haber 0, 1 o varios cortes.
Los puntos de corte son \((x_i, 0)\).

🎯En funciones racionales \(f(x) = p(x)/q(x)\): los cortes con el eje X son las raíces del numerador \(p(x)=0\) que estén en el dominio. La función no corta el eje X en los puntos excluidos del dominio (zeros de \(q\)).

4️⃣ Paso 4 — Continuidad y discontinuidades

Una función es continua en un punto \(x = a\) si se cumplen las tres condiciones:

\[ \text{1. } f(a) \text{ existe} \quad \text{2. } \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe} \quad \text{3. } \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]

Tipo de discontinuidad	Condición	Gráficamente
Evitable (o removible)	El límite existe pero \(\neq f(a)\) o f(a) no existe	Hueco en la gráfica (punto vacío)
Esencial de 1.ª especie (salto finito)	Los límites laterales existen pero son distintos: \(L^- \neq L^+\)	Salto vertical finito en la gráfica
Esencial de 2.ª especie (salto infinito)	Al menos uno de los límites laterales es ±∞	Asíntota vertical (la curva "escapa" a infinito)

💡Las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb{R}\). Las racionales son continuas en su dominio. Las funciones definidas a trozos pueden tener discontinuidades en los puntos de unión entre trozos — ahí hay que verificar las tres condiciones.

5️⃣ Paso 5 — Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la gráfica de la función se va acercando indefinidamente sin llegar a tocarla (aunque en algunas funciones sí puede cruzarla).

A. Asíntotas Verticales

\[ x = a \text{ es A.V.} \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \;\text{ o }\; \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \]

Las asíntotas verticales están en los puntos excluidos del dominio. Para cada punto \(x=a \notin \text{Dom}\), calcula los límites laterales.

B. Asíntotas Horizontales

\[ y = L \text{ es A.H.} \iff \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \;\text{ o }\; \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \]

Se estudian los límites en el infinito. Si el grado del numerador = grado del denominador en una función racional, \(L = \) cociente de los coeficientes líderes.

C. Asíntotas Oblicuas

\[ y = mx + n \text{ es A.O.} \iff \begin{cases} m = \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} \neq 0 \\ n = \lim_{x\to\pm\infty}[f(x) - mx] \end{cases} \]

Las asíntotas oblicuas solo pueden existir cuando no hay asíntota horizontal (\(m \neq 0\)). En funciones racionales, aparecen cuando el grado del numerador = grado del denominador + 1.

6️⃣ Paso 6 — Monotonía y extremos (1.ª derivada)

La primera derivada \(f'(x)\) determina cuándo la función crece y cuándo decrece, y permite localizar los máximos y mínimos relativos.

\[ f\'(x) > 0 \;\Rightarrow\; f \text{ creciente} \qquad f\'(x) < 0 \;\Rightarrow\; f \text{ decreciente} \]

Algoritmo para estudiar la monotonía:

Calcula f'(x): Deriva la función usando las reglas de derivación.

Encuentra los puntos críticos: Resuelve \(f\'(x_0) = 0\). También considera los puntos donde \(f\'(x)\) no existe (pero \(f\) sí).

Construye la tabla de signos: Divide el dominio en intervalos separados por los puntos críticos. Estudia el signo de \(f\'(x)\) en cada intervalo.

Clasifica los extremos: Si \(f\'\) cambia de + a − → máximo relativo. Si cambia de − a + → mínimo relativo. Si no cambia → punto de inflexión de tangente horizontal.

🧮 Criterio alternativo: la 2.ª derivada en el punto crítico

Si \(f\'(x_0) = 0\):
\[f\'\'(x_0) < 0 \Rightarrow x_0 \text{ es un MÁXIMO relativo}\]\[f\'\'(x_0) > 0 \Rightarrow x_0 \text{ es un MÍNIMO relativo}\]\[f\'\'(x_0) = 0 \Rightarrow \text{criterio no concluyente (usa tabla de signos)}\]

7️⃣ Paso 7 — Curvatura y puntos de inflexión (2.ª derivada)

La segunda derivada \(f''(x)\) determina la curvatura de la función (si está "curvada hacia arriba" o "hacia abajo") y permite localizar los puntos de inflexión.

∪ CONVEXA

\[f\'\'(x) > 0\]

Curvada hacia arriba (como una U). La tangente queda por debajo de la curva.

∩ CÓNCAVA

\[f\'\'(x) < 0\]

Curvada hacia abajo (como una ∩). La tangente queda por encima de la curva.

\[ \text{Punto de inflexión en } x_0 \iff f\'\'(x_0) = 0 \text{ Y } f\'\' \text{ cambia de signo en } x_0 \]

⚠️¡Ojo! Que \(f\'\'(x_0) = 0\) es condición necesaria pero no suficiente para un punto de inflexión. Hay que verificar que \(f\'\'(x)\) cambia de signo en \(x_0\). Si no cambia (por ejemplo en \(f(x)=x^4\) en \(x=0\)), no hay punto de inflexión.

📊 Tabla resumen: los 10 pasos del estudio de una función

Paso	Qué se estudia	Herramienta	Qué se obtiene
1 — Dominio	Valores de x válidos	Álgebra: inecuaciones, identidades	Conjunto de definición (intervalos)
2 — Simetría	Par, impar o sin simetría	\(f(-x) = ?\)	Simplifica el trabajo a la mitad
3 — Cortes	Intersecciones con los ejes	\(f(0)\) y \(f(x)=0\)	Puntos de referencia en la gráfica
4 — Continuidad	Continuidad en cada punto	Límites laterales	Tipos de discontinuidades
5 — Asíntotas	Rectas a las que tiende	Límites en ±∞ y en puntos excluidos	A.V., A.H. y A.O.
6 — Monotonía	Creciente / decreciente	\(f\'(x) > 0\) o \(< 0\)	Intervalos de crecimiento y extremos
7 — Curvatura	Cóncava / convexa	\(f\'\'(x) > 0\) o \(< 0\)	Intervalos de curvatura y P.I.
8 — Signo	f > 0 o f < 0	Estudio del signo de \(f(x)\)	Cuándo está por encima/debajo del eje X
9 — Recorrido	Valores que toma f	Análisis de extremos y asíntotas	Imagen (rango) de la función
10 — Gráfica	Representación visual	Todos los datos anteriores	Gráfica completa y precisa

🏆En selectividad, los pasos que más puntos dan y se piden siempre son: dominio, asíntotas, monotonía+extremos, curvatura+puntos de inflexión y representación. La simetría y el signo son opcionales en muchos exámenes pero mejoran la nota.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Cada ficha incluye el estudio completo paso a paso y la gráfica exacta de la función. Haz clic para abrir y ver la solución.

01
Función polinómica cúbica: f(x) = x³ − 3x
►

📝 Realiza el estudio completo de \(f(x) = x^3 - 3x\) y represéntala gráficamente.

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①Dominio: Polinómica → Dom(f) = ℝ

②Simetría: \(f(-x) = (-x)^3-3(-x) = -x^3+3x = -(x^3-3x) = -f(x)\) → función impar (simétrica respecto al origen)

③Cortes:
Eje Y: \(f(0) = 0\) → \((0,0)\)
Eje X: \(x^3-3x=0 \Rightarrow x(x^2-3)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{3}\)
Puntos: \((0,0)\), \((\sqrt{3},0)\approx(1{,}73,0)\), \((-\sqrt{3},0)\)

④Continuidad: Continua en ℝ (polinómica)

⑤Asíntotas: Ninguna (polinómica → tiende a ±∞)

⑥Monotonía: \(f\'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)\)
Puntos críticos: \(x=\pm 1\)
Tabla: \((-\infty,-1)\): +↗ · \((-1,1)\): −↘ · \((1,+\infty)\): +↗
Máx relativo: \(f(-1) = 2\) · Mín relativo: \(f(1) = -2\)

⑦Curvatura: \(f\'\'(x) = 6x\)
\(f\'\'=0 \Rightarrow x=0\). Cambia de signo: punto de inflexión en \((0,0)\)
(-\u221e,0): f\'\' < 0 → cóncava · (0,+\u221e): f\'\' > 0 → convexa

✅ Impar · Dom=ℝ · Extremos: Máx(−1,2), Mín(1,−2) · P.I.(0,0)

02
Función racional con asíntota oblicua: f(x) = (x²−4)/(x−1)
►

📝 Estudia \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-1}\) y represéntala.

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①Dominio: \(x-1 \neq 0 \Rightarrow\) Dom = \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

②Simetría: \(f(-x) = \dfrac{x^2-4}{-x-1} \neq \pm f(x)\) → sin simetría

③Cortes:
Eje Y: \(f(0) = \dfrac{-4}{-1} = 4\) → \((0,4)\)
Eje X: \(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\) → \((-2,0)\) y \((2,0)\)

④A. Vertical: \(\lim_{x\to 1^\pm}\dfrac{x^2-4}{x-1} = \pm\infty\) → \(x=1\)

⑤A. Oblicua: \(m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2-4}{x(x-1)} = 1\)
\(n = \lim_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2-4}{x-1}-x\right] = \lim\dfrac{x^2-4-x^2+x}{x-1} = \lim\dfrac{x-4}{x-1} = 1\)
A.O.: \(y = x+1\)

⑥Monotonía: \(f\'(x) = \dfrac{2x(x-1)-(x^2-4)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}\)
Discriminante de \(x^2-2x+4\): \(\Delta = 4-16 < 0\) → siempre positivo
→ \(f\'(x) > 0\) siempre: siempre creciente (no hay extremos)

✅ A.V.: x=1 · A.O.: y=x+1 · Siempre creciente · Sin extremos relativos

03
Racional con dos asíntotas verticales: f(x) = x/(x²−1)
►

📝 Estudia \(f(x) = \dfrac{x}{x^2-1}\).

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①Dominio: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\neq 0\) → Dom = \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\)

②Simetría: \(f(-x) = \dfrac{-x}{x^2-1} = -f(x)\) → función impar

③Cortes:
Eje Y: \(f(0) = 0\) → \((0,0)\)
Eje X: \(x=0\) → \((0,0)\)

④Asíntotas:
A.V.: \(x=-1\) y \(x=1\) (límites infinitos)
A.H.: \(\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2-1} = 0\) → \(y=0\)

⑤Monotonía: \(f\'(x) = \dfrac{(x^2-1)-x\cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} < 0\) siempre
→ siempre decreciente en cada intervalo del dominio. Sin extremos.

⑥Curvatura: \(f\'\'(x) = \dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\)
\(f\'\'=0 \Rightarrow x=0\) → P.I. en \((0,0)\)

✅ Impar · A.V.: x=±1 · A.H.: y=0 · Decreciente · P.I.(0,0)

04
Función irracional: f(x) = √(x²−1)
►

📝 Estudia \(f(x) = \sqrt{x^2-1}\).

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①Dominio: \(x^2-1 \geq 0 \Rightarrow |x|\geq 1\) → Dom = \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)

②Simetría: \(f(-x) = \sqrt{(-x)^2-1} = \sqrt{x^2-1} = f(x)\) → función par

③Cortes:
Eje Y: \(0\notin\) Dom → no corta
Eje X: \(\sqrt{x^2-1}=0 \Rightarrow x=\pm 1\) → \((-1,0)\) y \((1,0)\)

④Continuidad: Continua en su dominio. No hay asíntotas verticales. \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-1} = +\infty\) → sin A.H.
A.O.: \(m=\lim\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}=1\), \(n=\lim(\sqrt{x^2-1}-x)=-\frac{1}{2}\cdot 0 = 0\)
En realidad: \(\sqrt{x^2-1} \sim x\) → A.O.: \(y=x\) y \(y=-x\) (por simetría)

⑤Monotonía: \(f\'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\)
Para \(x>1\): \(f\'>0\) → creciente · Para \(x<-1\): \(f\'<0\) → decreciente
Mínimos en \(x=\pm 1\): \(f(\pm 1)=0\)

✅ Par · Dom=(-∞,-1]∪[1,+∞) · Mínimos en (±1,0) · A.O.: y=±x

05
Función con exponencial: f(x) = x²·e⁻ˣAVANZADO
►

📝 Realiza el estudio completo de \(f(x) = x^2 e^{-x}\).

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①Dominio: Dom(f) = ℝ (polinomio × exponencial)

②Simetría: \(f(-x) = x^2 e^x \neq \pm f(x)\) → sin simetría

③Cortes:
Eje Y: \(f(0) = 0\) → \((0,0)\)
Eje X: \(x^2 e^{-x}=0 \Rightarrow x=0\) (único corte, doble)

④Asíntotas:
\(\lim_{x\to+\infty}x^2 e^{-x} = 0\) (exponencial domina) → A.H.: \(y=0\) cuando \(x\to+\infty\)
\(\lim_{x\to-\infty}x^2 e^{-x} = +\infty\) → no hay asíntota en \(-\infty\)

⑤Monotonía: \(f\'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x)\)
Puntos críticos: \(x=0\) y \(x=2\)
Tabla: \((-\infty,0)\): −↘ · \((0,2)\): +↗ · \((2,+\infty)\): −↘
Mín relativo: \(f(0)=0\) · Máx relativo: \(f(2)=4e^{-2}\approx 0{,}54\)

⑥Curvatura: \(f\'\'(x) = e^{-x}(x^2-4x+2)\)
\(f\'\'=0\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}\approx 0{,}59\) y \(3{,}41\) → P.I.

✅ Mín(0,0) · Máx(2, 4e⁻²) · A.H.: y=0 (x→+∞) · P.I. en x=2±√2

06
Función racional impar con A.O.: f(x) = (x²+1)/xAVANZADO
►

📝 Estudia \(f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}\).

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①Dominio: \(x\neq 0\) → Dom = \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

②Simetría: \(f(-x)=\dfrac{x^2+1}{-x}=-f(x)\) → impar

③Cortes:
Eje Y: \(0\notin\) Dom → no corta
Eje X: \(x^2+1=0\) → sin solución real → no corta eje X

④Asíntotas:
A.V.: \(x=0\)
A.O.: \(f(x)=x+1/x\) → \(m=1\), \(n=0\) → A.O.: \(y=x\)

⑤Monotonía: \(f\'(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\)
Puntos críticos: \(x=\pm 1\)
\((-\infty,-1)\): +↗ · \((-1,0)\): −↘ · \((0,1)\): −↘ · \((1,+\infty)\): +↗
Máx relativo: \(f(-1)=-2\) · Mín relativo: \(f(1)=2\)

⑥Curvatura: \(f\'\'(x)=\dfrac{2}{x^3}\)
Para x>0: convexa · Para x<0: cóncava
\(f\'\'=0\) no tiene solución → sin P.I.

✅ Impar · A.V.:x=0, A.O.:y=x · Máx(−1,−2), Mín(1,2) · Sin P.I.

07
Función logarítmica: f(x) = ln(x²−1)AVANZADO
►

📝 Estudia \(f(x) = \ln(x^2-1)\).

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①Dominio: \(x^2-1>0 \Rightarrow |x|>1\) → Dom = \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

②Simetría: \(f(-x)=\ln((-x)^2-1)=\ln(x^2-1)=f(x)\) → par

③Cortes:
Eje Y: \(0\notin\) Dom → no corta
Eje X: \(\ln(x^2-1)=0 \Rightarrow x^2-1=1 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

④A.V.: \(\lim_{x\to 1^+}\ln(x^2-1) = -\infty\) → \(x=1\) y \(x=-1\)

⑤Monotonía: \(f\'(x) = \dfrac{2x}{x^2-1}\)
Para \(x>1\): \(f\'>0\) → creciente
Para \(x<-1\): \(f\'<0\) → decreciente
No hay extremos (la función → −∞ en los bordes del dominio)

⑥Curvatura: \(f\'\'(x)=\dfrac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}<0\) siempre
→ siempre cóncava · Sin P.I.

✅ Par · A.V.: x=±1 · Creciente en (1,+∞) · Siempre cóncava · Sin P.I.

08
Estudio completo estilo selectividad: f(x) = x³ − 3x² + 4SELECTIVIDAD
►

📝 Realiza el estudio completo de \(f(x) = x^3-3x^2+4\) y represéntala.

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①Dominio: Polinómica → Dom(f) = ℝ

②Simetría: \(f(-x)=-x^3-3x^2+4 \neq \pm f(x)\) → sin simetría

③Cortes:
Eje Y: \(f(0)=4\) → \((0,4)\)
Eje X: \(x^3-3x^2+4=0\)
Prueba \(x=-1\): \(-1-3+4=0\) ✅
Factoriza: \((x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2=0\)
Raíces: \(x=-1\) (simple) y \(x=2\) (doble) → \((-1,0)\) y \((2,0)\)

④Continuidad: Continua en ℝ · Sin asíntotas

⑤Monotonía: \(f\'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
Puntos críticos: \(x=0\) y \(x=2\)
\((-\infty,0)\): +↗ · \((0,2)\): −↘ · \((2,+\infty)\): +↗
Máx relativo: \(f(0)=4\) · Mín relativo: \(f(2)=8-12+4=0\)

⑥Curvatura: \(f\'\'(x)=6x-6=6(x-1)\)
\(f\'\'=0 \Rightarrow x=1\), \(f(1)=1-3+4=2\) → P.I. en \((1,2)\)
\((-\infty,1)\): \(f < 0\) cóncava · \((1,+\infty)\): \(f > 0\) convexa

✅ Máx(0,4) · Mín(2,0) · P.I.(1,2) · Raíces: x=−1 (simple), x=2 (doble)

🚫 Errores más frecuentes en el estudio de una función

Estos son los fallos que más penalizan en la selectividad:

❌

Error 1 — Calcular la asíntota horizontal sin hacer el límite en +∞ Y en −∞
Incorrecto: Solo calcular \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) y concluir que es la única A.H.
Correcto: Calcular los dos límites: \(x\to+\infty\) y \(x\to-\infty\). Pueden dar asíntotas distintas.
👉 Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas (una a la derecha y otra a la izquierda).

❌

Error 2 — Confundir asíntota oblicua con su dirección
Incorrecto: Para \(f(x) = (x^2-1)/(x+1)\), simplificar directamente y decir "no hay A.O."
Correcto: Cuando numerador = denominador simplificable, puede haber un agujero (discontinuidad evitable) pero no A.O. Verificar siempre.
👉 Simplifica antes de buscar asíntotas. Si (x+1) cancela en numerador y denominador, hay discontinuidad evitable en x=-1.

❌

Error 3 — Olvidar que f\'\'(x₀)=0 no garantiza punto de inflexión
Incorrecto: Ver f\'\'(x₀)=0 y concluir directamente que hay punto de inflexión en x₀
Correcto: Verificar que f\'\'(x) cambia de signo en x₀. Si no cambia, NO hay punto de inflexión.
👉 Ejemplo: f(x)=x⁴ tiene f\'\'(0)=0 pero no hay P.I. en x=0 porque f\'\'>0 a ambos lados.

❌

Error 4 — No comprobar que el punto crítico está en el dominio
Incorrecto: Para f(x)=x/(x²-1), encontrar que f\'(x)=0 en x=0 y concluir que es un extremo
Correcto: Verificar primero que x=0 ∈ Dom(f). En este caso sí lo está, pero para otras funciones puede estar excluido.
👉 Un punto crítico fuera del dominio no puede ser ni máximo ni mínimo de la función.

❌

Error 5 — No interpretar correctamente una raíz doble en el eje X
Incorrecto: Para f(x)=(x+1)(x-2)², decir que hay dos cortes simples en x=-1 y x=2
Correcto: x=2 es una raíz doble → la gráfica es tangente al eje X en ese punto sin cruzarlo
👉 Raíz de multiplicidad par → la curva toca el eje X y vuelve hacia el mismo lado. Raíz impar → la curva cruza el eje.

❓ Preguntas frecuentes sobre el estudio de una función

¿Hay que hacer todos los pasos en el examen? ▼

Depende del enunciado. En selectividad, normalmente se piden explícitamente los pasos (dominio, asíntotas, monotonía, curvatura y representación). Siempre haz exactamente lo que pide el enunciado. Si pide "estudia la función", incluye todos los pasos salvo que indique lo contrario. La simetría, el signo y el recorrido suelen ser pasos complementarios que mejoran la nota pero no siempre se exigen.

¿Cómo sé cuándo una función tiene asíntota oblicua y no horizontal? ▼

Una función racional \(p(x)/q(x)\) tiene:

A.H. si grado(p) < grado(q) [L=0] o grado(p) = grado(q) [L = cociente de líderes]
A.O. si grado(p) = grado(q) + 1 exactamente
Ninguna (rama parabólica) si grado(p) > grado(q) + 1

¿Puede una función cortar su propia asíntota? ▼

Sí, una función puede cortar su asíntota horizontal u oblicua en puntos finitos, aunque se acerque indefinidamente a ella en el infinito. Lo que no puede ocurrir es que corte una asíntota vertical, ya que la función no está definida en esos puntos.

¿Qué diferencia hay entre máximo relativo y máximo absoluto? ▼

Un máximo relativo (local) es el valor más alto en un entorno del punto, pero pueden existir valores mayores en otras partes del dominio. El máximo absoluto (global) es el mayor valor de la función en todo su dominio. En funciones continuas en intervalos cerrados, el teorema de Weierstrass garantiza la existencia del máximo absoluto. En funciones en dominios no acotados, puede no existir.

¿Cuándo hay que usar el criterio de la 2.ª derivada y cuándo el de la 1.ª? ▼

Usa el criterio de la 2.ª derivada en el punto crítico cuando sea fácil calcular \(f\'\'(x_0)\) y el resultado sea no nulo (es más rápido). Usa el criterio de la 1.ª derivada (tabla de signos) cuando \(f\'\'(x_0) = 0\) (el criterio de la 2.ª no concluye) o cuando la segunda derivada sea difícil de calcular. Ambos criterios son igualmente válidos en selectividad.

📝 Resumen: los 10 pasos del estudio de una función

✅ Checklist del estudio completo de una función

Dominio: excluye ceros del denominador, negativos bajo raíz par, argumentos no positivos del logaritmo
Simetría: \(f(-x)=f(x)\) → par; \(f(-x)=-f(x)\) → impar; si no → sin simetría
Cortes: con eje Y: \(f(0)\); con eje X: \(f(x)=0\)
Continuidad: verifica en los puntos excluidos del dominio o de cambio de definición
Asíntotas: A.V. en puntos excluidos; A.H./A.O. con los límites en ±∞
Monotonía: \(f\'(x)=0\) → puntos críticos → tabla de signos → extremos
Curvatura: \(f\'\'(x)=0\) → candidatos a P.I. → verificar cambio de signo
Signo: \(f(x)>0\) o \(<0\) en cada intervalo del dominio
Recorrido: dedúcelo del análisis completo (mínimos, máximos, asíntotas)
Representación: traza los ejes, marca las asíntotas (dashed), los puntos y dibuja la curva

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...