Regla de la cadena: fórmula y ejemplos de derivadas ✨

hace 22 horas · Actualizado hace 22 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la regla de la cadena? 🔗
Cómo reconocer una función compuesta 👀
Fórmula de la regla de la cadena
Mi método en 4 pasos 🪜
Casos más frecuentes
Regla de la cadena con varias capas 🎯
Cadena, producto y cociente
Ejercicios resueltos 💪
Tabla resumen 📌

📘 1º y 2º de Bachillerato

Regla de la cadena: aprende a derivar funciones compuestas paso a paso

Cuando veo una función metida dentro de otra, no intento derivarlo todo de golpe. Separo sus capas, empiezo por la exterior y avanzo hacia dentro. Voy a enseñarte ese método para que la regla de la cadena deje de parecer un laberinto. 🚀

Función exterior

→

Función interior

→

Multiplicar derivadas

⚡ Respuesta rápida

La regla de la cadena sirve para derivar una función compuesta, es decir, una función dentro de otra. Si \(h(x)=f(g(x))\), entonces:

\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Yo la resumo así: deriva la función exterior sin tocar la interior y multiplica por la derivada de la interior.

¿Qué es la regla de la cadena? 🔗

La regla de la cadena es una regla de derivación que utilizo cuando una expresión está formada por funciones compuestas. Por ejemplo, en \((3x+1)^5\), la potencia quinta es la función exterior y \(3x+1\) es la función interior.

💡 Otra forma de expresarlo

Con funciones: \((f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)\).

Cómo reconocer una función compuesta 👀

Antes de derivar, yo me hago una pregunta: ¿hay una expresión ocupando el lugar donde normalmente aparecería solo \(x\)? Si la respuesta es sí, probablemente necesito la regla de la cadena.

Función	Exterior	Interior
\((2x-5)^7\)	\(u^7\)	\(u=2x-5\)
\(\sqrt{x^2+4}\)	\(\sqrt{u}\)	\(u=x^2+4\)
\(\operatorname{sen}(3x)\)	\(\operatorname{sen}(u)\)	\(u=3x\)
\(e^{x^2-x}\)	\(e^u\)	\(u=x^2-x\)
\(\ln(5x+1)\)	\(\ln(u)\)	\(u=5x+1\)

Diagrama de capas de la función seno de x al cuadrado más uno para aplicar la regla de la cadena

Pienso en la función como una cebolla: empiezo por la capa exterior y sigo hasta llegar a \(x\).

🧅 Mi truco de las capas

Rodea mentalmente la expresión interior. En \(\operatorname{sen}(x^2+1)\), primero veo el seno y después \(x^2+1\). Por eso obtengo \(\cos(x^2+1)\cdot 2x\).

Fórmula de la regla de la cadena

Si \(f\) y \(g\) son derivables y \(h(x)=f(g(x))\), aplico:

\[h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)\]

No sustituyo la función interior por su derivada dentro de \(f'\). La conservo intacta en \(f'(g(x))\) y, al final, multiplico por \(g'(x)\).

⚠️ La diferencia que decide el ejercicio

La derivada de \(f(g(x))\) no es \(f'(g(x))\) ni \(f'(g'(x))\). La forma correcta es \(f'(g(x))\cdot g'(x)\).

ejemplo general de la regla de la cadena

Mi método en 4 pasos 🪜

Te propongo seguir siempre el mismo orden. Así reduzco los errores y puedo revisar cada factor por separado.

Identifico las capas. Distingo la función exterior de la interior.

Derivo la exterior. Mantengo la expresión interior exactamente en su sitio.

Derivo la interior. Si también contiene otra función, vuelvo a aplicar la regla.

Multiplico y simplifico. Compruebo que no falta ninguna capa.

Ejemplo guiado

Voy a derivar \(y=(2x^3-1)^4\). La exterior es \(u^4\) y la interior es \(u=2x^3-1\):

\[y'=4(2x^3-1)^3\cdot 6x^2=24x^2(2x^3-1)^3\]

El factor \(4(2x^3-1)^3\) viene de la capa exterior; el factor \(6x^2\), de la interior.

Casos más frecuentes

En esta tabla he sustituido la variable simple por una función \(u(x)\). El factor \(u'(x)\) es la huella de la regla de la cadena.

Función	Derivada
\([u(x)]^n\)	\(n[u(x)]^{n-1}u'(x)\)
\(\sqrt{u(x)}\)	\(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}\)
\(e^{u(x)}\)	\(e^{u(x)}u'(x)\)
\(a^{u(x)}\)	\(a^{u(x)}\ln(a)u'(x)\)
\(\ln(u(x))\)	\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
\(\operatorname{sen}(u(x))\)	\(\cos(u(x))u'(x)\)
\(\cos(u(x))\)	\(-\operatorname{sen}(u(x))u'(x)\)
\( an(u(x))\)	\(\dfrac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}\)

Regla de la cadena con varias capas 🎯

Algunas funciones tienen tres o más capas. Yo no cambio de estrategia: derivo de fuera hacia dentro y añado un factor por cada capa.

Por ejemplo, para \(y=[\cos(3x)]^4\), identifico potencia, coseno y función lineal:

\[y'=4[\cos(3x)]^3\cdot[-\operatorname{sen}(3x)]\cdot 3=-12\cos^3(3x)\operatorname{sen}(3x)\]

🔍 Control rápido

Tres capas deben producir tres factores: la derivada de la potencia, la del coseno y la de \(3x\). Si solo veo dos, sé que he olvidado algo.

Cadena, producto y cociente

La regla de la cadena no sustituye a las demás reglas. Si la operación principal es un producto o un cociente, aplico primero esa regla y uso la cadena dentro de los factores que sean funciones compuestas.

Estructura principal	Primera regla	¿Dónde aparece la cadena?
\(x^2\operatorname{sen}(3x)\)	Producto	Al derivar \(\operatorname{sen}(3x)\)
\(\dfrac{(x+1)^4}{x^2+3}\)	Cociente	Al derivar \((x+1)^4\)
\(e^{x^2}\cos x\)	Producto	Al derivar \(e^{x^2}\)

💡 Busca la operación principal

Antes de calcular, observo qué operación une los bloques grandes. Esa operación decide la primera regla; después examino cada bloque por dentro.

Ejercicios resueltos 💪

Intenta cada derivada antes de abrir la solución. Yo he separado las capas y explicado de dónde sale cada factor.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Deriva \(f(x)=(3x+1)^5\).

Exterior: \(u^5\). Interior: \(u=3x+1\).

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Paso 1: Derivo la potencia y conservo el interior: \(5(3x+1)^4\).

Paso 2: Derivo el interior: \((3x+1)'=3\).

Paso 3: Multiplico ambos factores.

✅ \(f'(x)=15(3x+1)^4\)

🟢 Básico

Ejercicio 2. Deriva \(f(x)=\sqrt{x^2+4}\).

Escribo la raíz como \((x^2+4)^{1/2}\).

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Paso 1: Derivo la potencia: \(\dfrac{1}{2}(x^2+4)^{-1/2}\).

Paso 2: Multiplico por la derivada interior, \(2x\).

Paso 3: Simplifico y vuelvo a escribir la raíz.

✅ \(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}\)

🟡 Medio

Ejercicio 3. Deriva \(f(x)=\operatorname{sen}(2x^2-3)\).

Exterior: seno. Interior: \(2x^2-3\).

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Paso 1: La derivada del seno es el coseno: \(\cos(2x^2-3)\).

Paso 2: La derivada interior es \(4x\).

✅ \(f'(x)=4x\cos(2x^2-3)\)

🟡 Medio

Ejercicio 4. Deriva \(f(x)=\ln(5x^2+1)\).

Para \(\ln(u)\), uso \(u'/u\).

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Paso 1: Mantengo el interior en el denominador: \(1/(5x^2+1)\).

Paso 2: Multiplico por \((5x^2+1)'=10x\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{10x}{5x^2+1}\)

🔴 Avanzado

Ejercicio 5. Deriva \(f(x)=e^{\operatorname{sen}(x^2)}\).

Hay tres capas: exponencial, seno y potencia.

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Paso 1: Derivo la exponencial: queda \(e^{\operatorname{sen}(x^2)}\).

Paso 2: Derivo el seno: multiplico por \(\cos(x^2)\).

Paso 3: Derivo \(x^2\): multiplico por \(2x\).

✅ \(f'(x)=2x\,e^{\operatorname{sen}(x^2)}\cos(x^2)\)

🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Deriva \(f(x)=x^2\operatorname{sen}(3x)\).

La estructura principal es un producto; dentro del seno aplico la cadena.

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Paso 1: Aplico \((uv)'=u'v+uv'\).

Paso 2: \((x^2)'=2x\) y \((\operatorname{sen}(3x))'=3\cos(3x)\).

Paso 3: Sustituyo sin perder ningún factor.

✅ \(f'(x)=2x\operatorname{sen}(3x)+3x^2\cos(3x)\)

Errores más comunes ⚠️

❌ Olvidar la derivada interior
En \((3x+1)^5\), escribir solo \(5(3x+1)^4\) deja la regla a medias; todavía falta multiplicar por 3.

❌ Derivar también el interior dentro de la exterior
No escribas \(f'(g'(x))\). La expresión interior permanece como \(g(x)\), y su derivada aparece como un factor separado.

❌ Confundir composición con producto
\(\operatorname{sen}(x^2)\) es una composición; \(x^2\operatorname{sen}(x)\) es un producto. Sus estructuras y sus primeras reglas son distintas.

❌ Perder una capa
En \([\cos(3x)]^4\) hay tres capas. Revisa que la respuesta incluya los factores correspondientes a potencia, coseno y \(3x\).

❌ Sustituir un punto antes de derivar
Primero obtén \(f'(x)\); después calcula \(f'(a)\). Si sustituyes \(x=a\) al principio, puedes convertir la función en una constante.

❌ Desarrollar sin necesidad
Expandir \((2x^3-1)^4\) alarga el cálculo. La regla de la cadena permite derivar directamente y suele reducir los fallos algebraicos.

Comprobación numérica 🧮

Una calculadora no sustituye el razonamiento, pero puede ayudarme a detectar errores. Comparo la derivada exacta con cocientes incrementales para valores de \(h\) cada vez menores.

Comprobar \(f(x)=(3x+1)^5\) en \(x=0\)

La regla de la cadena da \(f'(0)=15\). Con el cociente simétrico \(\dfrac{f(h)-f(-h)}{2h}\) obtengo:

\(h\)	Aproximación
0.1	17.72430000
0.01	15.02700243
0.001	15.00027000
0.0001	15.00000270

✅ Al disminuir \(h\), la aproximación se acerca a 15.

Comprobar las dos tasas en \(f(x)=(x^2+1)^3\) para \(x=1\)

Parte	Valor
Interior	\(u(1)=1^2+1=2\)
Derivada exterior en \(u=2\)	\(3u^2=12\)
Derivada interior en \(x=1\)	\(2x=2\)
Producto	\(12\cdot2=24\)

✅ \(f'(1)=24\): la tasa total es el producto de las dos tasas.

Tabla resumen 📌

Pregunta	Respuesta clave
¿Cuándo la uso?	Cuando una función está dentro de otra.
¿Cuál es la fórmula?	\((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\)
¿En qué orden derivo?	De la capa exterior hacia la interior.
¿Qué no debo olvidar?	Multiplicar por la derivada de cada capa interior.
¿Puede combinarse con otras reglas?	Sí, con producto, cociente y otras reglas de derivación.
¿Cómo reviso varias capas?	Cuento que haya un factor derivado por cada capa.

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué es la regla de la cadena en palabras sencillas?

Es el procedimiento para derivar una función dentro de otra: derivo la exterior manteniendo la interior y multiplico por la derivada de la interior.

¿Cómo sé cuál es la función exterior?

Es la última operación que realizarías al calcular el valor de la función. En \(\sqrt{x^2+1}\), primero calculas \(x^2+1\) y al final la raíz; por tanto, la raíz es la exterior.

¿La regla de la cadena se aplica siempre?

No. La uso cuando existe una composición. Una suma simple como \(x^3+2x\) se deriva término a término; no necesita la regla de la cadena.

¿Qué ocurre si hay tres funciones compuestas?

Aplico la regla sucesivamente. Para \(f(g(h(x)))\), la derivada es \(f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\).

¿Cadena y regla del producto son lo mismo?

No. La cadena deriva composiciones; la regla del producto deriva dos funciones multiplicadas. En algunos ejercicios aparecen las dos y debo aplicarlas en niveles distintos.

¿Por qué se multiplica por la derivada interior?

Porque la función exterior cambia respecto a su entrada y esa entrada, a su vez, cambia respecto a \(x\). El producto combina ambas velocidades de cambio.

¿La regla de la cadena entra en Selectividad o EBAU?

Sí, es una herramienta básica para calcular derivadas y aparece integrada en problemas de crecimiento, extremos, tangentes, optimización y estudio de funciones.

🚀 Ya puedes desenredar funciones compuestas

Mi consejo es sencillo: no memorices una lista sin entenderla. Señala las capas, deriva de fuera hacia dentro y comprueba cada factor. Cuando repitas este proceso varias veces, la regla de la cadena se convertirá en una de tus herramientas más seguras.

🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo?

Consulta también:
Ejercicios de derivadas,
Tabla de derivadas y ejercicios
y
Derivadas trigonométricas.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...