Integral xlnx: resuelta paso a paso ✨

hace 2 meses · Actualizado hace 2 meses

🔎 Índice de contenidos

🧠 ¿Por qué esta integral necesita el método por partes?
🎯 La fórmula de integración por partes
🎯 Cómo elegir u y dv correctamente
✏️ Resolución paso a paso de ∫x·ln(x)dx
✅ Comprobación del resultado
📊 La integral definida entre 1 y e
🧩 Calculadora interactiva
🏋️ Ejercicios propuestos con solución
🔗 Integrales relacionadas con ln(x)

🎓 2º Bachillerato · Cálculo Integral

La Integral de x·ln(x): Resolución por Partes Paso a Paso

Método completo, comprobación, integral definida y ejercicios interactivos con solución

La integral \( \int x \ln(x)\,dx \) es uno de los clásicos del cálculo integral de 2º de Bachillerato: aparece constantemente en exámenes y en la EBAU porque combina dos ideas fundamentales — el logaritmo neperiano y la integración por partes. Aquí verás como se resuelve, explicando el porqué, con una calculadora interactiva y muchos ejercicios resueltos. 🚀

🧠 ¿Por qué esta integral necesita el método por partes?

La integral xlnx es un producto de dos funciones distintas (\( x \) y \( \ln(x) \)), y ninguna de las reglas básicas de integración (potencias, exponenciales, trigonométricas directas...) se puede aplicar directamente a un producto así. Cuando tienes el producto de un polinomio y un logaritmo, la técnica que casi siempre funciona es la integración por partes.

⚠️ Importante: No confundas esta integral con \( \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \), que es muy distinta y se resuelve por sustitución directa (lo veremos más adelante, en la sección de integrales relacionadas).

🎯 La fórmula de integración por partes

La integración por partes se basa en esta fórmula, que se deduce de la regla del producto para derivadas:

Fórmula de integración por partes

\[ \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \]

💡 Truco mnemotécnico: Una forma muy popular de recordar esta fórmula en clase es la frase: "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme" → U·DV = U·V − V·DU. ¡Nunca más se te olvidará! 😅

🎯 Cómo elegir u y dv correctamente

Esta es la parte que más dudas genera. La clave está en elegir u como la función que se simplifica al derivarla, y dv como la función que es fácil de integrar.

✅ Regla práctica para \( x \ln(x) \): El logaritmo \( \ln(x) \) no tiene una antiderivada evidente a simple vista, pero al derivarlo se convierte en algo mucho más simple: \( \frac{1}{x} \). Por eso siempre elegimos \( u = \ln(x) \). El otro factor, \( x \), es muy fácil de integrar, así que \( dv = x\,dx \).

Elección	Expresión	Resultado
\( u \)	\( \ln(x) \)	\( du = \dfrac{1}{x}dx \) (se deriva)
\( dv \)	\( x\,dx \)	\( v = \dfrac{x^2}{2} \) (se integra)

❌ ¿Qué pasaría si eligiéramos al revés? Si tomas \( u=x \) y \( dv=\ln(x)dx \), tendrías que integrar \( \ln(x) \) primero (¡otra integral por partes dentro de la que ya estás haciendo!), complicando el ejercicio sin necesidad.

✏️ Resolución paso a paso de ∫x·ln(x)dx

Elegimos u y dv

\( u = \ln(x) \) \( dv = x\,dx \)

Calculamos du y v

\( du = \dfrac{1}{x}dx \) \( v = \displaystyle\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} \)

Sustituimos en la fórmula \( \int u\,dv = uv - \int v\,du \)

\[ \int x\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx \]

Simplificamos la integral resultante

\( \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{2} \), así que ahora tenemos una integral muchísimo más sencilla:

\[ \int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx \]

Resolvemos la última integral y añadimos +C

\[ \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4} \]

Resultado final:

Resultado

\[ \int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \]

💡 Forma equivalente: También puedes escribir el resultado factorizado como \( \dfrac{x^2}{4}\left(2\ln(x) - 1\right) + C \) — es exactamente el mismo resultado, solo que con \( \frac{x^2}{4} \) sacado factor común.

✅ Comprobación del resultado

Una buena costumbre en cálculo integral es comprobar el resultado derivando: si la derivada de nuestra respuesta nos devuelve la función original, ¡hemos acertado!

Derivamos \( \dfrac{x^2}{2}\ln(x) - \dfrac{x^2}{4} \) término a término:

Primer término (regla del producto): \[ \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right] = x\ln(x) + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} = x\ln(x) + \frac{x}{2} \]

Segundo término: \[ \frac{d}{dx}\left[-\frac{x^2}{4}\right] = -\frac{x}{2} \]

Sumamos ambos términos: \[ x\ln(x) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln(x) \]

✅ ¡Coincide exactamente con la función original! La integral está bien resuelta.

📊 La integral definida entre 1 y e

Un caso muy frecuente en exámenes es calcular la integral definida entre \( x=1 \) y \( x=e \), que además representa el área bajo la curva \( f(x) = x\ln(x) \) en ese intervalo:

Gráfica de la función f(x)=x ln(x) con el área sombreada entre x=1 y x=e, correspondiente a la integral definida

El área verde bajo la curva entre x=1 y x=e es exactamente el valor de la integral definida.

Partimos de la antiderivada ya calculada

\[ F(x) = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} \]

Evaluamos en el límite superior (x=e)

Como \( \ln(e)=1 \): \[ F(e) = \frac{e^2}{2}(1) - \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{4} \]

Evaluamos en el límite inferior (x=1)

Como \( \ln(1)=0 \): \[ F(1) = \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \]

Restamos: F(e) − F(1)

\[ \int_1^e x\ln(x)\,dx = \frac{e^2}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{e^2+1}{4} \]

✅ \( \displaystyle\int_1^e x\ln(x)\,dx = \frac{e^2+1}{4} \approx 2{,}0973 \) unidades²

🧩 Calculadora interactiva

Calcula la integral definida de \( x\ln(x) \) entre los límites que quieras (deben ser números positivos, ya que el logaritmo no está definido para \( x \leq 0 \)):

\( \displaystyle\int_a^b x\ln(x)\,dx \) — introduce los límites:

→

🏋️ Ejercicios propuestos con solución

Ahora te toca a ti. Intenta resolver cada ejercicio antes de hacer clic en el botón de solución.

📝 Ejercicio 1

⭐ Básico

Calcula la integral \( \displaystyle\int x^2 \ln(x)\,dx \)

📝 Ejercicio 2

⭐⭐ Intermedio

Calcula la integral \( \displaystyle\int x \ln(2x)\,dx \)

📝 Ejercicio 3 — Integral definida

⭐⭐ Intermedio

Calcula \( \displaystyle\int_1^e x\ln(x)\,dx \) (reutilizando la antiderivada ya conocida)

📝 Ejercicio 4 — Área bajo la curva

⭐⭐⭐ Avanzado

Calcula el área bajo la curva \( f(x)=x\ln(x) \) entre \( x=1 \) y \( x=2 \).

🔗 Integrales relacionadas con ln(x)

Dominar \( \int x\ln(x)\,dx \) te abre la puerta a resolver toda una familia de integrales parecidas. Aquí tienes las más importantes:

1️⃣ La integral de ln(x) sola

Se resuelve también por partes, tomando \( dv=dx \) (¡es el mismo truco, pero con \( v=x \)!):

\[ \int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C \]

2️⃣ ¡Cuidado! La integral de ln(x)/x NO es por partes

Aunque se parece, esta integral se resuelve por sustitución directa: llamando \( t=\ln(x) \), tenemos \( dt=\frac{1}{x}dx \), y la integral se transforma en \( \int t\,dt \):

\[ \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \frac{[\ln(x)]^2}{2} + C \]

3️⃣ La integral de (ln x)² — por partes dos veces

Este caso requiere aplicar la integración por partes dos veces seguidas (\( u=[\ln(x)]^2 \), \( dv=dx \), y después otra vez por partes para resolver la integral resultante):

\[ \int [\ln(x)]^2\,dx = x[\ln(x)]^2 - 2x\ln(x) + 2x + C \]

⚠️ Errores frecuentes que debes evitar

🔄

Error 1: Elegir mal u y dv

Tomar \( u=x \) y \( dv=\ln(x)dx \), lo que obliga a integrar \( \ln(x) \) sin haberlo aprendido aún, complicando todo.

✅ El logaritmo siempre va como u (se deriva y se simplifica)

❎

Error 2: Olvidar la constante +C

Dar el resultado sin la constante de integración en integrales indefinidas.

✅ Toda integral indefinida termina en +C

🔢

Error 3: Derivar mal ln(x)

Escribir \( du = \ln(x)\,dx \) en lugar de \( du = \frac{1}{x}dx \), un despiste muy común bajo presión.

✅ La derivada de ln(x) es siempre 1/x

✋

Error 4: No simplificar antes de integrar

Dejar \( \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx \) sin simplificar a \( \int \frac{x}{2}dx \), complicando innecesariamente el cálculo.

✅ Simplifica siempre \( v \cdot du \) antes de integrar de nuevo

🤕

Error 5: Confundir x·ln(x) con ln(x)/x

Aplicar por partes a \( \frac{\ln(x)}{x} \), cuando en realidad se resuelve mucho más rápido por sustitución.

✅ \( x\ln(x) \) → por partes | \( \ln(x)/x \) → sustitución

➕➖

Error 6: Errores de signo en la fórmula

Olvidar el signo menos delante de \( \int v\,du \), obteniendo un resultado con el signo cambiado.

✅ La fórmula siempre resta: \( uv - \int v\,du \)

📋 Tabla resumen de fórmulas

Integral	Resultado
\( \int \ln(x)\,dx \)	\( x\ln(x) - x + C \)
\( \int x\ln(x)\,dx \)	\( \dfrac{x^2}{2}\ln(x) - \dfrac{x^2}{4} + C \)
\( \int x^2\ln(x)\,dx \)	\( \dfrac{x^3}{3}\ln(x) - \dfrac{x^3}{9} + C \)
\( \int x^n\ln(x)\,dx \) (n≠−1)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln(x) - \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C \)
\( \int [\ln(x)]^2\,dx \)	\( x[\ln(x)]^2 - 2x\ln(x) + 2x + C \)
\( \int \dfrac{\ln(x)}{x}\,dx \)	\( \dfrac{[\ln(x)]^2}{2} + C \)

❓ Preguntas frecuentes

📋 Resumen rápido — Todo lo que necesitas saber

🚀 Los 5 pasos en 10 segundos:
1️⃣ \( u=\ln(x) \), \( dv=x\,dx \) → 2️⃣ \( du=\frac{1}{x}dx \), \( v=\frac{x^2}{2} \) → 3️⃣ Sustituye en \( uv-\int v\,du \) → 4️⃣ Simplifica y resuelve la nueva integral → 5️⃣ ¡No olvides el +C!

• Resultado: \( \int x\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln(x) - \dfrac{x^2}{4} + C \)
• Regla de oro: el logaritmo siempre va como \( u \)
• Comprueba siempre derivando el resultado
• \( \int_1^e x\ln(x)\,dx = \dfrac{e^2+1}{4} \approx 2{,}0973 \)

🚀 ¿Quieres seguir con integrales?

Consulta también:
Integrales por partes,
Tabla de integrales inmediatas
y
Integrales racionales.

Teorema de Weierstrass: máximos y mínimos en un ...

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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