Derivada de una raíz: fórmula, ejemplos y ejercicios resueltos 📐

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

La derivada de una raíz debes dominarla bien, porque aparece mucho. Aquí tienes una excelente guía para entenderla y practicar con ejercicios interactivos resueltos paso a paso.

🔍 ¿Qué es la derivada de una raíz?

Recuerda que derivar una función significa calcular su tasa de cambio instantánea. Pero… ¿qué ocurre cuando esa función contiene una raíz? Aquí es donde entra la derivada de una raíz (también llamadafunción radical).

En términos sencillos: la derivada de una raíz nos dice cómo de rápido cambia una función que tiene un signo radical ($\sqrt{\phantom{x}}$) conforme varía la variable. Este concepto aparece constantemente en Física (velocidad, aceleración) y en Economía (funciones de coste).

También aparecen en problemas de optimización, geometría analítica y en muchas preguntas de selectividad (EBAU). Dominarlas te da una ventaja enorme.

⚡ El truco clave: toda raíz es una potencia fraccionaria

El secreto para derivar raíces sin complicaciones es recordar queuna raíz siempre puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:

\[ \sqrt[n]{x} \;=\; x^{\,1/n} \]

Algunos ejemplos inmediatos:

🟣 Raíz cuadrada: $\sqrt{x} = x^{1/2}$
🟣 Raíz cúbica: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
🟣 Raíz cuarta: $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$
🟣 Raíz enésima: $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$
🟣 Raíz enésima de una potencia: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$

Una vez convertida la raíz en potencia, aplicamos la regla de la potencia que ya conocemos:

\[ \frac{d}{dx}\!\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1} \]

✅
Consejo: Antes de intentar derivar cualquier raíz, transfórmala siempre en potencia. Es el paso número 1 que nunca debes saltarte.

📌 Fórmula general de la derivada de una raíz

Aplicando la conversión raíz → potencia y la regla de la potencia, obtenemos la fórmula general de la derivada de la raíz enésima de una función $f(x)$:

\[ \left(\sqrt[n]{f(x)}\right)' \;=\; \frac{f'(x)}{n \cdot \sqrt[n]{f(x)^{\,n-1}}} \]

🔎 ¿De dónde sale esta fórmula?Transformamos la raíz: $\sqrt[n]{f(x)} = [f(x)]^{1/n}$

Aplicamos derivada de potencia + regla de la cadena:
\[\left([f(x)]^{1/n}\right)' = \frac{1}{n}\cdot[f(x)]^{1/n - 1}\cdot f'(x)\]Y simplificando el exponente $\frac{1}{n}-1 = \frac{1-n}{n}$, llegamos a la fórmula anterior. ✔️

Si el radicando es simplemente $x$ (sin función compuesta), la fórmula se simplifica aún más:

\[ \left(\sqrt[n]{x}\right)' \;=\; \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{\,n-1}}} \]

🟦 Derivada de la raíz cuadrada

Es la más habitual. Siendo $n = 2$, la fórmula general da:

\[ \left(\sqrt{x}\right)' \;=\; \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Y si la raíz cuadrada contiene una función $f(x)$ en su interior, aplicamos la regla de la cadena:

\[ \left(\sqrt{f(x)}\right)' \;=\; \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \]

🧮 Demostración rápida:$\sqrt{x} = x^{1/2}$

$\left(x^{1/2}\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot x^{1/2 \,-\, 1} = \dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2} = \dfrac{1}{2x^{1/2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ✔️

🎯
Memorízala de esta forma: "La derivada de la raíz cuadrada es uno partido por dos veces la raíz de lo que hay dentro, multiplicado por la derivada de lo de dentro."

🟪 Derivada de la raíz cúbica

Con $n = 3$:

\[ \left(\sqrt[3]{x}\right)' \;=\; \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \;=\; \frac{1}{3}\,x^{-2/3} \]

Si contiene una función:

\[ \left(\sqrt[3]{f(x)}\right)' \;=\; \frac{f'(x)}{3\sqrt[3]{f(x)^2}} \]

🔗 Regla de la cadena con raíces

Cuando dentro de la raíz hay una función compuesta (no solo una $x$), siempre hay que aplicar la regla de la cadena. El proceso tiene estos pasos:

Identifica la función exterior (la raíz) y la función interior (el radicando).

Convierte la raíz en potencia fraccionaria: $\sqrt[n]{f(x)} = [f(x)]^{1/n}$.

Deriva la función exterior (baja el exponente, reste 1): $\frac{1}{n}[f(x)]^{1/n - 1}$.

Multiplica por la derivada de la función interior: $\cdot\, f'(x)$.

Simplifica el resultado todo lo posible.

Derivada de una raíz cuadrada

⚖️ Dos métodos para derivar raíces

Ante una expresión como $\sqrt[3]{x^2 + 1}$ tienes dos opciones:

Método A — Fórmula directa

Aplicar directamente la fórmula general:

\[\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)' = \frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}\]✅ Más rápido cuando ya conoces bien la fórmula.

Método B — Potencia fraccionaria

Transformar primero en potencia y luego derivar:

\[\left([f(x)]^{1/n}\right)' = \frac{1}{n}[f(x)]^{\frac{1}{n}-1}\cdot f'(x)\]✅ Más seguro cuando empiezas a aprender.

🏆
Recomendación: En los primeros ejercicios usa siempre el Método B (potencia fraccionaria). Cuando te salga solo, empieza a usar la fórmula directa. Ambos dan el mismo resultado.

📊 Tabla resumen de derivadas de raíces

Función	Forma de potencia	Derivada
$\sqrt{x}$	$x^{1/2}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sqrt[3]{x}$	$x^{1/3}$	$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$\sqrt[4]{x}$	$x^{1/4}$	$\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$
$\sqrt[n]{x}$	$x^{1/n}$	$\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
$\sqrt{f(x)}$	$[f(x)]^{1/2}$	$\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
$\sqrt[n]{f(x)}$	$[f(x)]^{1/n}$	$\dfrac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}$
$\sqrt[n]{x^m}$	$x^{m/n}$	$\dfrac{m}{n}\,x^{m/n\,-\,1}$

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

En cada ficha verás el enunciado y un botón para revelar la solución detallada paso a paso. ¡Intenta resolverlos antes de mirar la respuesta! 💪

01
Derivada de la raíz cuadrada de x
►

📝 $f(x) = \sqrt{x}$

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①Convierte a potencia:
$\sqrt{x} = x^{1/2}$

②Regla de la potencia $(x^n)'=n x^{n-1}$:
$(x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2}$

③Simplifica:
$\frac{1}{2} x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

02
Derivada de una raíz cúbica
►

📝 $f(x) = \sqrt[3]{x}$

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①Raíz como potencia:
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$

②Regla de la potencia:
$(x^{1/3})' = \frac{1}{3} x^{-2/3}$

③Exponente negativo → raíz:
$\frac{1}{3} x^{-2/3} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

03
Raíz cuadrada con regla de la cadena
►

📝 $f(x) = \sqrt{3x + 5}$

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①Exterior / Interior:
Ext: $\sqrt{\cdot}$ — Int: $u=3x+5$

②Fórmula:
$(\sqrt{f(x)})' = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

③Deriva el interior:
$(3x+5)' = 3$

④Sustituye:
$\dfrac{3}{2\sqrt{3x+5}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+5}}$

04
Raíz cuadrada de un polinomio
►

📝 $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 1}$

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①Exterior / Interior:
Ext: $\sqrt{\cdot}$ — Int: $u=x^2-4x+1$

②Fórmula:
$(\sqrt{f(x)})' = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

③Deriva el radicando:
$(x^2-4x+1)' = 2x-4$

④Sustituye:
$\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+1}}$

⑤Simplifica (factor 2):
$\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+1}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+1}}$

05
Raíz cúbica de una función cuadrática
►

📝 $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}$

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①Potencia:
$\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^{1/3}$

②Potencia + cadena:
$\frac{1}{3}(x^2+1)^{1/3-1}(x^2+1)'$

③Exp: $-\frac{2}{3}$ · Deriv. interior: $2x$

④Sustituye:
$\dfrac{2x}{3(x^2+1)^{2/3}}$

⑤Forma de raíz:
$\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

06
Producto con raíz cuadradaAVANZADO
►

📝 $f(x) = x^2\cdot\sqrt{x+3}$

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①Regla del producto: $(uv)'=u'v+uv'$
$u=x^2$, $v=\sqrt{x+3}$

②$u':$
$u'=2x$

③$v':$
$v'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}$

④Aplica:
$2x\sqrt{x+3}+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x+3}}$

⑤Denominador común:
$\dfrac{4x(x+3)+x^2}{2\sqrt{x+3}}=\dfrac{5x^2+12x}{2\sqrt{x+3}}$

⑥Factor común:
$\dfrac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}$

✅ $f'(x) = \dfrac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}$

07
Raíz en el denominadorSELECTIVIDAD
►

📝 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$

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①Potencia negativa:
$\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=(2x-1)^{-1/2}$

②Potencia + cadena:
$-\frac{1}{2}(2x-1)^{-3/2}\cdot 2$

③Simplifica:
$-(2x-1)^{-3/2}$

④Forma de raíz:
$\dfrac{-1}{\sqrt{(2x-1)^3}}$

✅ $f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{(2x-1)^3}}$

08
Raíz de índice n con potencia interiorAVANZADO
►

📝 $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$

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①Potencia fraccionaria:
$\sqrt[4]{x^3}=x^{3/4}$

②Regla de la potencia:
$(x^{3/4})'=\frac{3}{4}x^{-1/4}$

③Simplifica:
$\dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

✅ $f'(x)=\dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

🚫 Errores más frecuentes al derivar raíces

Evita estas trampas clásicas que cometen el 80% de los alumnos:

❌

Error 1 — Olvidarse de la regla de la cadena
Incorrecto: $\left(\sqrt{x^2+1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$
Correcto: $\left(\sqrt{x^2+1}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
👉 Si dentro de la raíz hay algo más que una "x", SIEMPRE multiplica por la derivada interior.

❌

Error 2 — Poner el exponente incorrecto al convertir
Incorrecto: $\sqrt[3]{x} = x^3$
Correcto: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
👉 El índice de la raíz va en el denominador del exponente.

❌

Error 3 — No simplificar el resultado
Incorrecto dejar: $\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+1}}$
Correcto simplificar: $\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+1}}$
👉 Busca siempre factores comunes en numerador y denominador.

❌

Error 4 — Derivar solo la raíz sin ver el producto
Cuando $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$, muchos derivan solo la raíz. Hay que aplicar la regla del producto.
👉 Antes de derivar, identifica qué tipo de operación define la función: potencia, producto, cociente, composición…

❓ Preguntas frecuentes sobre la derivada de una raíz

¿Cuál es la derivada de la raíz cuadrada de x²? ▼

Para $x>0$: $\sqrt{x^2}=x$ y su derivada es 1. En general $(\sqrt{x^2})'=\frac{x}{|x|}$ (vale +1 si x>0 y −1 si x<0).

¿Cuándo se aplica la regla de la cadena en la derivada de una raíz? ▼

Siempre que el radicando no sea solo $x$. Si tienes $\sqrt{x^2+3x}$ o $\sqrt[3]{\sin x}$, multiplica por la derivada del radicando.

¿Hay que memorizar la fórmula? ▼

No. Con saber que $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ y aplicar la regla de la potencia ya es suficiente. La fórmula directa solo ahorra tiempo.

¿Cuál es el dominio de la derivada de √x? ▼

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ está definida para $x>0$. En $x=0$ no es derivable (tangente vertical).

¿Cómo se deriva una raíz dentro de otra? ▼

Convierte todo a potencia fraccionaria. Ejemplo: $\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4}$, derivada: $\dfrac{1}{4}x^{-3/4}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

Toda raíz es una potencia fraccionaria: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$
La derivada de $\sqrt{x}$ es $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ — memorízala, aparece siempre
Si hay función compuesta en el radicando → regla de la cadena (multiplica por $f'(x)$)
La fórmula general es: $\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)}{n\cdot\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}$
Simplifica siempre el resultado final

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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Función	Forma de potencia	Derivada
\(\sqrt{x}\)	\(x^{1/2}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\sqrt[3]{x}\)	\(x^{1/3}\)	\(\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
\(\sqrt[4]{x}\)	\(x^{1/4}\)	\(\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\)
\(\sqrt[n]{x}\)	\(x^{1/n}\)	\(\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\)
\(\sqrt{f(x)}\)	\([f(x)]^{1/2}\)	\(\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)
\(\sqrt[n]{f(x)}\)	\([f(x)]^{1/n}\)	\(\dfrac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}\)
\(\sqrt[n]{x^m}\)	\(x^{m/n}\)	\(\dfrac{m}{n}\,x^{m/n\,-\,1}\)

Derivada de una raíz 🔢: cuadrada, cúbica y enésima paso a paso

🔍 ¿Qué es la derivada de una raíz?

⚡ El truco clave: toda raíz es una potencia fraccionaria

📌 Fórmula general de la derivada de una raíz

🟦 Derivada de la raíz cuadrada

🟪 Derivada de la raíz cúbica

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⚖️ Dos métodos para derivar raíces

Método A — Fórmula directa

Método B — Potencia fraccionaria

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🚫 Errores más frecuentes al derivar raíces

❓ Preguntas frecuentes sobre la derivada de una raíz

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