Regla de Barrow: cómo aplicar la fórmula paso a paso ✨

hace 3 horas · Actualizado hace 3 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la Regla de Barrow? 🤔
Enunciado y condiciones 📜
Relación con la integral indefinida y el área 🎯
Justificación de la regla de Barrow 🪜
Ejercicios resueltos 💪
Errores más comunes ⚠️
Comprobación numérica 🧮
Tabla resumen 📋

📘 2º de Bachillerato · Selectividad / EBAU

Regla de Barrow: qué es, cómo se aplica y ejercicios resueltos

Es el puente entre la primitiva de una función y el área bajo su gráfica: la herramienta que convierte una integral definida en una simple resta. Aquí entenderás su enunciado, su justificación y ejercicios resueltos paso a paso. 🚀

∫ₐᵇ f(x) dx

=Barrow

F(b)− F(a)

⚡ Respuesta rápida

La Regla de Barrow dice que si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(F\) es una primitiva suya (es decir, \(F'(x)=f(x)\)), entonces la integral definida se calcula simplemente evaluando \(F\) en los extremos y restando:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Es la herramienta que evita tener que calcular límites de sumas de rectángulos cada vez: basta con hallar una primitiva y evaluarla en dos puntos.

¿Qué es la Regla de Barrow? 🤔

La Regla de Barrow (llamada así por el matemático inglés Isaac Barrow, maestro de Newton) es el resultado que conecta el cálculo de primitivas con el cálculo de áreas. Su gran aportación práctica es esta: para calcular \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\), no hace falta trabajar con límites de sumas de rectángulos cada vez; basta con encontrar una primitiva \(F(x)\) de \(f(x)\) y evaluarla en los dos extremos del intervalo.

Es, en esencia, la parte "operativa" del Teorema Fundamental del Cálculo: mientras ese teorema explica por qué primitivas e integrales definidas están relacionadas, la Regla de Barrow es la fórmula concreta que usas en la práctica para calcular cualquier integral definida.

💡 De función a número

Una integral indefinida, \(\int f(x)\,dx\), da como resultado una familia de funciones, \(F(x)+C\). Una integral definida, gracias a la Regla de Barrow, da como resultado un único número: el área (con signo) que hay entre la curva y el eje \(x\) en ese intervalo.

Enunciado y condiciones 📜

✔️\(f(x)\) debe ser continua en el intervalo cerrado \([a,b]\).

✔️\(F(x)\) debe ser una primitiva de \(f(x)\), es decir, \(F'(x)=f(x)\).

✔️El intervalo \([a,b]\) debe coincidir en la integral y en la evaluación de la primitiva.

✔️No importa qué primitiva concretes elijas: todas difieren en una constante, y esa constante se cancela al restar.

✔️El resultado es un número, no una función, a diferencia de la integral indefinida.

✅ Conclusión de la regla

Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Relación con la integral indefinida y el área 🎯

Concepto	Integral indefinida	Integral definida (Barrow)
Resultado	una familia de funciones \(F(x)+C\)	un número
Notación	\(\int f(x)\,dx\)	\(\int_a^b f(x)\,dx\)
Constante \(C\)	aparece siempre	se cancela al restar \(F(b)-F(a)\)
Interpretación	una antiderivada genérica	el área con signo bajo la curva

⚠️ Área con signo, no siempre área real

Si \(f(x)\) es negativa en parte del intervalo, la integral definida resta esa parte en vez de sumarla. El resultado de \(\int_a^b f(x)\,dx\) es el área con signo; si quieres el área real (geométrica), hay que dividir el intervalo donde la función cambia de signo y sumar los valores absolutos de cada trozo.

Justificación de la regla de Barrow 🪜

Definimos la función área \( A(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt \), que da el área acumulada entre \(a\) y un punto variable \(x\).

El Teorema Fundamental del Cálculo garantiza que \(A(x)\) es derivable y que \(A'(x)=f(x)\): es decir, \(A(x)\) es también una primitiva de \(f(x)\).

Como \(F(x)\) es otra primitiva de \(f(x)\), y dos primitivas de la misma función difieren solo en una constante: \(A(x) = F(x) + k\).

Evaluamos en \(x=a\): \( A(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0 \) (el área entre \(a\) y el propio \(a\) es nula), así que \(0 = F(a)+k\), luego \(k=-F(a)\).

Sustituyendo, \(A(x) = F(x) - F(a)\). Evaluando en \(x=b\): \( A(b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) \), que es exactamente la Regla de Barrow.

💡 En la práctica, olvídate de la constante

Como la constante \(C\) siempre se cancela al restar \(F(b)-F(a)\), en una integral definida puedes calcular la primitiva sin preocuparte de añadir \(+C\): elige la primitiva más sencilla (con \(C=0\)) y evalúa directamente.

Ejercicios resueltos 💪

Practica aplicando la Regla de Barrow, incluyendo un caso donde el resultado "engaña" si no distingues bien entre área con signo y área real.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Calcula \( \displaystyle\int_0^2 3x^2 \, dx \).

\[ \int_0^2 3x^2 \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = x^3 \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(2) - F(0) = 2^3 - 0^3 \).

Paso 3: \( 8 - 0 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_0^2 3x^2 \, dx = 8 \)

🟢 Básico

Ejercicio 2. Calcula \( \displaystyle\int_1^3 (2x+1) \, dx \).

\[ \int_1^3 (2x+1) \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = x^2+x \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(3) - F(1) = (3^2+3) - (1^2+1) \).

Paso 3: \( 12 - 2 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_1^3 (2x+1) \, dx = 10 \)

🟡 Medio

Ejercicio 3. Calcula \( \displaystyle\int_0^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx \).

\[ \int_0^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = -\cos x \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(\pi) - F(0) = -\cos\pi - (-\cos 0) \).

Paso 3: \( -(-1) - (-(1)) = 1 + 1 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_0^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx = 2 \)

🟡 Medio

Ejercicio 4. Calcula \( \displaystyle\int_1^{e} \dfrac{1}{x} \, dx \).

\[ \int_1^{e} \dfrac{1}{x} \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = \ln x \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(e) - F(1) = \ln e - \ln 1 \).

Paso 3: \( 1 - 0 \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_1^{e} \dfrac{1}{x} \, dx = 1 \)

🟡 Medio

Ejercicio 5. Calcula \( \displaystyle\int_{-1}^1 x^2 \, dx \).

\[ \int_{-1}^1 x^2 \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = \dfrac{x^3}{3} \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(1) - F(-1) = \dfrac{1^3}{3} - \dfrac{(-1)^3}{3} \).

Paso 3: \( \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3} \).

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_{-1}^1 x^2 \, dx = \dfrac{2}{3} \)

🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Calcula \( \displaystyle\int_0^2 (x-1) \, dx \) e interpreta el resultado.

\[ \int_0^2 (x-1) \, dx \]

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Paso 1: Hallamos una primitiva: \( F(x) = \dfrac{x^2}{2}-x \).

Paso 2: Aplicamos la Regla de Barrow: \( F(2) - F(0) = \left(\dfrac{4}{2}-2\right) - (0-0) \).

Paso 3: \( (2-2) - 0 = 0 - 0 \).

Interpretación: el resultado es 0, pero eso no significa que no haya área entre la curva y el eje: entre \(x=0\) y \(x=1\) la función es negativa (resta área), y entre \(x=1\) y \(x=2\) es positiva (suma área) exactamente lo mismo, así que se cancelan.

✅ Resultado: \( \displaystyle\int_0^2 (x-1) \, dx = 0 \) (área con signo, no área real)

🔴 Avanzado

Ejercicio 7. Calcula el área real (geométrica) encerrada entre \(f(x)=x-1\), el eje \(x\), y las rectas \(x=0\) y \(x=2\).

Área real de \(f(x)=x-1\) entre \(x=0\) y \(x=2\)

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Paso 1: Buscamos dónde \(f(x)=x-1\) cambia de signo: \(x-1=0 \Rightarrow x=1\). Es negativa en \([0,1]\) y positiva en \([1,2]\).

Paso 2: Calculamos cada tramo por separado con \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}-x\): \( \displaystyle\int_0^1 (x-1)\,dx = F(1)-F(0) = -\dfrac{1}{2} \).

Paso 3: \( \displaystyle\int_1^2 (x-1)\,dx = F(2)-F(1) = \dfrac{1}{2} \).

Paso 4: El área real es la suma de los valores absolutos de cada tramo: \( \left|-\dfrac{1}{2}\right| + \left|\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \).

✅ Resultado: el área real es \(1\) (aunque la integral definida completa, sin separar, dé 0)

Errores más comunes ⚠️

❌ Olvidar restar el valor en el extremo inferior
La Regla de Barrow es \(F(b)-F(a)\), no solo \(F(b)\): olvidar la resta es el error más frecuente.

❌ Añadir la constante \(+C\) al evaluar
En una integral definida la constante se cancela sola al restar; añadirla no cambia el resultado, pero delata que no se ha entendido por qué desaparece.

❌ Confundir área con signo y área real
Si la función cambia de signo dentro del intervalo, la integral definida "sin más" da el área con signo (pueden cancelarse partes); para el área real hay que dividir en tramos y sumar valores absolutos.

❌ Invertir el orden de los límites sin darse cuenta
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx \): cambiar el orden de los límites cambia el signo del resultado.

❌ Aplicar Barrow sin comprobar la continuidad en todo \([a,b]\)
Si \(f(x)\) tiene una discontinuidad dentro del intervalo, no se puede aplicar la regla directamente sobre todo el intervalo: hay que dividirlo en los puntos de discontinuidad.

❌ Arrastrar un error al calcular la primitiva
Un fallo al integrar (signo, factor, tipo de regla) se traslada directamente al resultado final: conviene comprobar la primitiva derivándola antes de evaluar.

Comprobación numérica 🧮

Una integral definida se puede aproximar sumando muchos rectángulos estrechos bajo la curva (suma de Riemann). Cuantos más uses, más se acerca esa suma al valor que da la Regla de Barrow.

Verificación del Ejercicio 1 (\(\int_0^2 3x^2\,dx\), valor exacto 8)

Rectángulos (n)	Aproximación
10	7,98
100	7,9998
1.000	8,000
10.000	8,000 ✅

✅ La aproximación converge a 8, confirmando el resultado del Ejercicio 1.

Verificación del Ejercicio 3 (\(\int_0^{\pi} \operatorname{sen}x\,dx\), valor exacto 2)

Rectángulos (n)	Aproximación
10	2,0082
100	2,0001
1.000	2,0000
10.000	2,0000 ✅

✅ La aproximación converge a 2, confirmando el resultado del Ejercicio 3.

Verificación del Ejercicio 6 (\(\int_0^2 (x-1)\,dx\), valor exacto 0)

Rectángulos (n)	Aproximación
10	0,000
100	0,000
1.000	0,000
10.000	0,000 ✅

✅ La aproximación se mantiene en 0 en todos los casos: las áreas por encima y por debajo del eje se cancelan exactamente, confirmando el Ejercicio 6.

Tabla resumen 📋

Concepto	Fórmula
Regla de Barrow	\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \)
Condición	\(f\) continua en \([a,b]\), \(F'(x)=f(x)\)
Cambio de orden de los límites	\( \displaystyle\int_a^b f\,dx = -\displaystyle\int_b^a f\,dx \)
Aditividad respecto al intervalo	\( \displaystyle\int_a^c f\,dx = \displaystyle\int_a^b f\,dx + \displaystyle\int_b^c f\,dx \)
Área real (si \(f\) cambia de signo)	suma de \(\left\|\displaystyle\int f\,dx\right\|\) en cada tramo

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué es exactamente la Regla de Barrow?

Es el resultado que permite calcular una integral definida evaluando una primitiva en los dos extremos del intervalo y restando, sin tener que recurrir a sumas de rectángulos: \( \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \).

¿Por qué no hace falta poner \(+C\) en una integral definida?

Porque al calcular \(F(b)-F(a)\), la constante \(C\) aparece sumando en los dos términos y se cancela exactamente al restar, sea cual sea su valor.

¿Qué diferencia hay entre área con signo y área real?

El área con signo es lo que da directamente la integral definida: las partes donde \(f(x)\) es negativa restan en vez de sumar. El área real (geométrica) exige dividir el intervalo donde la función cambia de signo y sumar los valores absolutos de cada tramo.

¿Qué pasa si cambio el orden de los límites de integración?

El resultado cambia de signo: \( \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \).

¿Se puede aplicar Barrow si la función tiene una discontinuidad en el intervalo?

No directamente sobre todo el intervalo. Hay que dividirlo en los puntos de discontinuidad y aplicar la regla por separado en cada tramo donde la función sí sea continua.

¿Qué relación tiene con el Teorema Fundamental del Cálculo?

El Teorema Fundamental del Cálculo demuestra que la "función área" tiene como derivada la propia función original; la Regla de Barrow es la consecuencia práctica de ese teorema, la fórmula que se usa para calcular integrales definidas en el día a día.

¿Aparece en Selectividad/EBAU?

Sí, es una de las herramientas más usadas del bloque de análisis: aparece tanto en el cálculo directo de integrales definidas como en problemas de áreas entre curvas.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...