hace 4 meses

🎵 Derivada del Seno

🔎 Índice de contenidos

🔍 ¿Qué es la derivada del seno?
📌 La fórmula esencial
🔬 Demostración de la derivada del seno
📊 Tabla resumen de fórmulas
🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Guía práctica · Fórmula · Demostración · Ciclo de derivadas · Ejercicios interactivos paso a paso

🔍 ¿Qué es la derivada del seno?

La derivada del seno es uno de los pilares del cálculo diferencial. Es la primera función trigonométrica que se aprende a derivar y abre la puerta a todas las demás: coseno, tangente, cotangente y sus inversas.

Desde el punto de vista geométrico, la derivada de \(\sin(x)\) en un punto nos dice la pendiente de la curva del seno en ese punto. No es casualidad que esa pendiente sea precisamente el coseno: cuando el seno alcanza su máximo (\(x = \pi/2\)), el coseno vale 0, y la curva es horizontal. ¡La geometría y el álgebra están perfectamente sincronizadas!

💡 ¿Por qué es tan importante dominarla?

La derivada del seno aparece en movimiento armónico simple (péndulos, resortes), en ondas electromagnéticas, en circuitos eléctricos y en decenas de ejercicios de selectividad. Dominarla bien es imprescindible.

📌 La fórmula esencial

La derivada del seno es la función trigonométrica más elegante de todas porque su derivada es otra función conocida:

\[ \boxed{\left(\sin x\right)' = \cos x} \]

Y cuando el argumento no es simplemente \(x\) sino una función \(f(x)\), aplicamos la regla de la cadena:

\[ \left(\sin f(x)\right)' = f'(x)\cdot\cos\!\left(f(x)\right) \]

Caso simple

\[(\sin x)' = \cos x\]

Interior solo es x

Caso compuesto

\[(\sin f(x))' = f'(x)\cdot\cos f(x)\]

Interior es una función de x

🎯
Memorízalo así: "La derivada del seno es el coseno del mismo argumento, multiplicado por la derivada de lo que hay dentro." Si dentro hay solo una \(x\), la derivada del interior es 1 y desaparece.

derivada del seno

🔬 Demostración de la derivada del seno

¿De dónde viene que \((\sin x)' = \cos x\)? Vamos a demostrarlo partiendo de la definición de derivada como límite y usando dos límites trigonométricos notables.

📐 Límites notables necesarios

\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \qquad\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]

Estos dos límites son fundamentales en trigonometría y se demuestran geométricamente.

🧮 Demostración completa paso a paso

Partimos de la definición de derivada:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \]Aplicamos la identidad del seno de la suma de ángulos \(\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\):
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \]Reordenamos y separamos en dos fracciones:
\[ = \lim_{h \to 0} \left[\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right] \]Como \(\sin x\) y \(\cos x\) no dependen de \(h\), los sacamos fuera del límite y aplicamos los límites notables:
\[ = \sin x \cdot \underbrace{\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}}_{=\,0} + \cos x \cdot \underbrace{\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}}_{=\,1} \]\[ = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x \quad \checkmark \]

📊 Tabla resumen de fórmulas

Función	Derivada	Observación
\(\sin x\)	\(\cos x\)	Fórmula básica
\(\sin(f(x))\)	\(f'(x)\cdot\cos(f(x))\)	Regla de la cadena
\(\sin(ax)\)	\(a\cos(ax)\)	Interior lineal
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)	Interior afín
\(\sin^n(x)\)	\(n\sin^{n-1}(x)\cos(x)\)	Potencia de seno
\(\sin^2(x)\)	\(2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\)	Caso especial n=2
\(\sin(\sqrt{x})\)	\(\dfrac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)	Interior raíz
\(\arcsin(x)\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	Seno inverso

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlos tú primero! 💪

01
Derivada básica de sin(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x)\)

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①
Reconoce la función: es directamente el seno de \(x\), sin composición.

②
Aplica la fórmula directa: \(\left(\sin x\right)' = \cos x\)

③
No hay regla de la cadena porque el interior es solo \(x\) y su derivada es 1. El coseno queda tal cual.

✅ \(f'(x) = \cos x\)

02
Derivada de sin(ax) — interior lineal
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(5x)\)

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①
Exterior / Interior: Exterior: \(\sin(\cdot)\) — Interior: \(u = 5x\)

②
Fórmula con regla de la cadena: \(\left(\sin f(x)\right)' = f'(x)\cdot\cos(f(x))\)

③
Deriva el interior: \((5x)' = 5\)

④
Multiplica por el coseno del interior: \(5\cdot\cos(5x)\)

✅ \(f'(x) = 5\cos(5x)\)

03
Derivada de sin(x²) — interior cuadrático
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x^2)\)

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①
Exterior / Interior: Exterior: \(\sin(\cdot)\) — Interior: \(u = x^2\)

②
Fórmula: \(\left(\sin f(x)\right)' = f'(x)\cdot\cos(f(x))\)

③
Deriva el interior: \((x^2)' = 2x\)

④
Sustituye: \(2x\cdot\cos(x^2)\)

✅ \(f'(x) = 2x\cos(x^2)\)

04
Seno elevado a una potencia: sin²(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin^2(x)\)

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①
Estructura: es \([\sin(x)]^2\). Hay dos capas: potencia y seno.

②
Aplica regla de la potencia primero: \((u^2)' = 2u\cdot u'\) con \(u = \sin(x)\)

③
Deriva el seno: \(u' = \cos x\)

④
Multiplica: \(2\sin(x)\cdot\cos(x)\)

⑤
Simplifica con identidad doble ángulo: \(2\sin x\cos x = \sin(2x)\)

✅ \(f'(x) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\)

05
Producto: x · sin(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = x\cdot\sin(x)\)

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①
Hay un producto → regla del producto: \((uv)' = u'v + uv'\) donde \(u = x\) y \(v = \sin(x)\)

②
Deriva \(u\): \(u' = 1\)

③
Deriva \(v\): \(v' = \cos x\)

④
Aplica la regla del producto: \(1\cdot\sin(x) + x\cdot\cos(x)\)

✅ \(f'(x) = \sin(x) + x\cos(x)\)

06
Seno de una función polinómica AVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x^3 - 2x + 1)\)

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①
Interior: \(u = x^3 - 2x + 1\)

②
Fórmula: \(\left(\sin f(x)\right)' = f'(x)\cdot\cos(f(x))\)

③
Deriva el interior: \((x^3-2x+1)' = 3x^2-2\)

④
Multiplica por el coseno del interior: \((3x^2-2)\cdot\cos(x^3-2x+1)\)

✅ \(f'(x) = (3x^2-2)\cos(x^3-2x+1)\)

07
Cociente con seno SELECTIVIDAD
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\)

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①
Hay un cociente → regla del cociente: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), con \(u = \sin x\), \(v = x\)

②
Deriva \(u\): \(u' = \cos x\)

③
Deriva \(v\): \(v' = 1\)

④
Aplica la regla del cociente: \(\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}\)

08
Composición triple: seno dentro de raíz AVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)\)

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①
Hay 2 capas: seno exterior + raíz interior

②
Aplica cadena capa a capa: \(f'(x) = [\text{deriv. raíz}]\cdot\cos(\sqrt{x^2+1})\)

③
Deriva la raíz interior: \((\sqrt{x^2+1})' = \dfrac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

④
Multiplica: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{x\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}\)

🚫 Errores más frecuentes

Estos son los fallos que cometen la mayoría de los alumnos. ¡Conócelos para evitarlos!

❌

Error 1 — Olvidarse de la regla de la cadena
Incorrecto: \((\sin(x^2))' = \cos(x^2)\)
Correcto: \((\sin(x^2))' = 2x\cos(x^2)\)
👉 Siempre que haya algo más que una "x" dentro del seno, multiplica por la derivada de ese interior.

❌

Error 2 — Confundir con la derivada del coseno
Incorrecto: \((\sin x)' = -\cos x\)
Correcto: \((\sin x)' = +\cos x\) (sin signo negativo)
👉 El signo negativo es de la derivada del coseno: \((\cos x)' = -\sin x\). El seno se deriva sin cambio de signo.

❌

Error 3 — Derivar sin²(x) de forma incorrecta
Incorrecto: \((\sin^2 x)' = \cos^2 x\) o bien \((\sin^2 x)' = 2\cos x\)
Correcto: \((\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x = \sin(2x)\)
👉 Hay que aplicar la regla de la potencia: baja el 2, queda \(\sin x\) con exponente 1, y multiplica por \((\sin x)' = \cos x\).

❌

Error 4 — Aplicar el producto cuando el número está dentro del seno
Incorrecto: En \(\sin(3x)\) derivar \(3\cdot(\sin x)'= 3\cos x\)
Correcto: \((\sin(3x))' = 3\cos(3x)\) (el coseno también lleva 3x dentro)
👉 El 3 está dentro del seno. Al derivar, sale como multiplicador externo pero el coseno conserva el mismo argumento.

🔄 Derivada del arcoseno (seno inverso)

El arcoseno \(\arcsin(x)\) (también escrito \(\sin^{-1}(x)\)) es la función inversa del seno. Su derivada es muy diferente a la del seno:

\[ \left(\arcsin(x)\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Con regla de la cadena, si el argumento es una función \(f(x)\):

\[ \left(\arcsin(f(x))\right)' = \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}} \]

📌 Ejemplos rápidos de arcoseno

\(\left(\arcsin(2x)\right)' = \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
\(\left(\arcsin(x^2)\right)' = \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(\left(\arcsin(3x-1)\right)' = \dfrac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}\)

Dominio: \(\arcsin(x)\) solo está definida para \(x\in[-1,1]\), y su derivada solo existe para \(x\in(-1,1)\).

⚠️
¡No confundas! \(\arcsin(x)\) y \(\sin(x)\) tienen derivadas completamente distintas: \((\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) frente a \((\sin x)' = \cos x\). En los exámenes, esta confusión es uno de los errores más costosos.

❓ Preguntas frecuentes

¿Por qué la derivada del seno es el coseno y no el seno? ▼

Es consecuencia directa de la definición de derivada y de las propiedades de los límites trigonométricos. Geométricamente tiene mucho sentido: cuando el seno crece más rápidamente (cerca de \(x=0\)), el coseno vale 1 (máxima pendiente). Cuando el seno alcanza su máximo (\(x=\pi/2\)), el coseno vale 0 (pendiente nula, la curva es horizontal).

¿Cuál es la derivada de \(\sin^2 x + \cos^2 x\)? ▼

Debe ser 0, porque \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) (constante). Puedes verificarlo: \((\sin^2 x)' + (\cos^2 x)' = 2\sin x\cos x + 2\cos x(-\sin x) = 2\sin x\cos x - 2\sin x\cos x = 0\). ✅

¿Cuál es la segunda derivada de \(\sin x\)? ▼

\((\sin x)'' = (\cos x)' = -\sin x\). La segunda derivada del seno es el seno cambiado de signo. Esto tiene una implicación física importante: significa que el movimiento armónico simple satisface la ecuación \(f''(x) = -f(x)\), es decir, la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento.

¿Cómo derivo \(\sin^2 x\) frente a \(\sin(x^2)\)? ▼

Son funciones completamente distintas:

\([\sin(x)]^2\): potencia exterior → \(2\sin x\cos x = \sin(2x)\)
\(\sin(x^2)\): argumento cuadrático → \(2x\cos(x^2)\)

Fíjate bien en dónde está el cuadrado antes de derivar.

¿Para qué valores de \(x\) tiene derivada \(\sin x\)? ▼

\(\sin x\) es derivable en todos los reales \(x\in\mathbb{R}\). A diferencia de la tangente, el seno no tiene puntos de no derivabilidad. Su derivada \(\cos x\) también está definida y es continua en todos los reales.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 5 claves de la derivada del seno

La fórmula básica: \(\left(\sin x\right)' = \cos x\) — sin signo negativo, eso es del coseno
Con función compuesta: \(\left(\sin f(x)\right)' = f'(x)\cdot\cos(f(x))\)
Para \(\sin^n(x)\): baja el exponente y multiplica por \(\cos x\) → \(n\sin^{n-1}(x)\cos(x)\)
El ciclo de derivadas: sin → cos → −sin → −cos → sin… (periodo 4)
\(\arcsin(x)\) es la inversa y su derivada es \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) — completamente distinta

🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo?

Puedes ver estas entradas: derivadas trigonométricas, derivada de la tangente, derivadas de raíces. Derivar es practicar y disfrutar 😉

Derivadas trigonométricas 📈: fórmulas y ejerc...

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Derivada del seno 📈: fórmula, demostración y ejercicios interactivos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...