Ecuaciones de la recta: guía completa con ejemplos

hace 5 meses · Actualizado hace 5 meses

🔎 Índice de contenidos

📏 ¿Qué es la Ecuación de la Recta?
📈 La Pendiente de una Recta: el Concepto más Importante
🧭 Ecuación Vectorial y Ecuación Paramétrica de la Recta
🔗 Ecuación Continua (o Simétrica) de la Recta
📊 Ecuación Explícita de la Recta: \(y = mx + n\)
📍 Ecuación Punto-Pendiente
⚙️ Ecuación General o Implícita de la Recta
✂️ Ecuación Segmentaria (o Canónica) de la Recta
📋 Tabla Resumen de las ecuaciones de la recta
🚫 Errores Frecuentes en Ecuaciones de la Recta
❓ Preguntas Frecuentes sobre Ecuaciones de la Recta

Las ecuaciones de la recta (figura geométrica más sencilla) son la base de la de la geometría analítica. Todo lo que estudiarás en bachillerato y selectividad —cónicas, planos, curvas— parte de aquí. Si las dominas, tendrás los cimientos para construir todo lo demás.

Una recta queda completamente determinada en cuanto conoces un punto por el que pasa y su dirección. El resto son distintas maneras de escribir la misma información. ¡Vamos allá! 🚀

📏 ¿Qué es la Ecuación de la Recta?

La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe el conjunto de todos los puntos \((x, y)\) del plano que pertenecen a dicha recta. Cada punto que satisface la ecuación está en la recta, y ningún punto que no la satisfaga pertenece a ella.

📌 Dato clave: ¿qué determina una recta?
Una recta queda completamente determinada por cualquiera de estas tres condiciones:

Un punto + un vector director (que marca la dirección)
Un punto + la pendiente (el ángulo de inclinación)
Dos puntos distintos de la recta

📐

Arquitectura

Vigas, pendientes de tejados y trayectorias de estructuras.

📡

GPS y navegación

Rutas y trayectorias expresadas como rectas en un plano de coordenadas.

💹

Economía

Regresión lineal, tendencias de mercado y modelos de oferta y demanda.

📈 La Pendiente de una Recta: el Concepto más Importante

La pendiente \(m\) mide la inclinación de la recta: cuánto sube (o baja) por cada unidad que avanza horizontalmente. Es el dato más importante de cualquier ecuación de la recta.

📐 Fórmula de la pendiente dados dos puntos
\[ m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]siendo \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) dos puntos distintos de la recta, con \(x_1 \neq x_2\)

Valor de \(m\)	Qué significa	Forma de la recta
\(m > 0\)	Pendiente positiva (sube de izq. a der.)	↗
\(m < 0\)	Pendiente negativa (baja de izq. a der.)	↘
\(m = 0\)	Recta horizontal (paralela al eje X)	→
\(m\) indefinida	Recta vertical (\(x_1 = x_2\), división por cero)	↑
\(\|m\|\) muy grande	Recta casi vertical (muy empinada)	⬆

💡

Relación pendiente–ángulo: La pendiente es la tangente del ángulo \(\alpha\) que forma la recta con el eje de abscisas: \(m = \tan\alpha\). Si la recta sube 45°, entonces \(m = \tan 45° = 1\). Si sube 60°, \(m = \tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

🔗 Pendiente y vector director

Si la recta tiene vector director \(\vec{v} = (v_1,\, v_2)\), la pendiente es simplemente:

\[ m = \dfrac{v_2}{v_1} \quad (v_1 \neq 0) \]

Y si tenemos la ecuación general \(Ax + By + C = 0\), la pendiente se obtiene directamente como:

\[ m = -\dfrac{A}{B} \quad (B \neq 0) \]

🧭 Ecuación Vectorial y Ecuación Paramétrica de la Recta

Son las formas más "geométricas" de expresar una recta y el punto de partida del que se derivan todas las demás. Se basan en la idea de que cualquier punto de la recta se obtiene sumando a un punto fijo un múltiplo del vector director. Te recomiendo el programa Geogebra para visualizarlo mejor.

➤ Ecuación Vectorial

📐 Ecuación Vectorial
\[ (x,\,y) = (x_0,\,y_0) + \lambda\,(v_1,\,v_2) \quad \lambda \in \mathbb{R} \]donde \((x_0, y_0)\) es un punto conocido y \(\vec{v}=(v_1, v_2)\) es el vector director

📝 Ejemplo
Recta que pasa por \(A(2, -1)\) con vector director \(\vec{v} = (3, 4)\):
\[ (x,\,y) = (2,\,-1) + \lambda\,(3,\,4) \]Dando valores a \(\lambda\): si \(\lambda = 0\) → punto \((2,-1)\); si \(\lambda = 1\) → punto \((5,3)\); si \(\lambda = -1\) → punto \((-1,-5)\).

➤ Ecuación Paramétrica

Se obtiene separando las dos componentes de la ecuación vectorial:

📐 Ecuación Paramétrica
\[ \begin{cases} x = x_0 + \lambda\, v_1 \\ y = y_0 + \lambda\, v_2 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R} \]

💡

¿Para qué sirve la forma paramétrica? Es la más cómoda para obtener puntos concretos de la recta: solo tienes que dar valores a \(\lambda\). También es la base de las ecuaciones paramétricas en 3D y en cálculo vectorial.

🔗 Ecuación Continua (o Simétrica) de la Recta

Se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas despejando el parámetro \(\lambda\) en cada una e igualando ambas expresiones.

📐 Ecuación Continua
\[ \dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2} \]Válida solo cuando \(v_1 \neq 0\) y \(v_2 \neq 0\). Si \(v_1 = 0\), la recta es vertical (\(x = x_0\)). Si \(v_2 = 0\), es horizontal (\(y = y_0\)).

📝 Ejemplo
Recta con punto \((2, -1)\) y vector director \((3, 4)\):
\[ \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{4} \]Ventaja: con esta forma es muy fácil comprobar si un punto pertenece a la recta: sustituye sus coordenadas y verifica la igualdad.

📊 Ecuación Explícita de la Recta: \(y = mx + n\)

Es la forma más conocida y la que primero se estudia en la ESO. Se obtiene despejando \(y\) en la ecuación general. Es la forma ideal para graficar y para calcular imágenes en funciones lineales.

📐 Ecuación Explícita o Pendiente-Ordenada
\[ y = mx + n \]

m = pendiente (coeficiente de \(x\))

n = ordenada en el origen (valor de \(y\) cuando \(x=0\))

¿Qué es \(n\)?

Es donde la recta corta al eje \(Y\). Si \(n = 3\), la recta pasa por el punto \((0, 3)\). Si \(n = 0\), la recta pasa por el origen.

Rectas especiales

Si \(m=0\): \(y = n\) → recta horizontal
Si \(n=0\): \(y = mx\) → pasa por el origen
Vertical: no tiene forma explícita → \(x = k\)

Vector director

Si la recta es \(y = mx + n\), un vector director es siempre \(\vec{v} = (1, m)\) y un vector normal es \(\vec{n} = (-m, 1)\).

📍 Ecuación Punto-Pendiente

Es la forma más práctica cuando conoces un punto de la recta y su pendiente. Permite escribir la ecuación de una recta en un solo paso, sin necesidad de despejar.

📐 Ecuación Punto-Pendiente
\[ y - y_0 = m\,(x - x_0) \]donde \((x_0, y_0)\) es el punto conocido y \(m\) es la pendiente

📝 Ejemplo inmediato
Recta con pendiente \(m = 2\) que pasa por \(P(3, 1)\):
\[ y - 1 = 2\,(x - 3) \implies y = 2x - 6 + 1 \implies y = 2x - 5 \]

⚙️ Ecuación General o Implícita de la Recta

La ecuación general es la forma más universal y completa porque sirve para cualquier recta del plano, incluyendo las verticales, que no tienen pendiente definida. Es la que más aparece en selectividad.

📐 Ecuación General de la Recta
\[ Ax + By + C = 0 \]

\(A, B, C\) son números reales, con \(A\) y \(B\) no ambos nulos

🔎 ¿Qué representan A, B y C?
Vector normal: \(\vec{n} = (A, B)\) es perpendicular a la recta.
Vector director: \(\vec{v} = (-B, A)\) es paralelo a la recta.
Pendiente: \(m = -A/B\) (si \(B \neq 0\)).
Ordenada en origen: \(n = -C/B\) (si \(B \neq 0\)).

⚠️ Rectas especiales en forma general
Recta vertical \(x = k\): su ecuación general es \(x - k = 0\) → \(A=1,\, B=0,\, C=-k\)
Recta horizontal \(y = k\): su ecuación general es \(y - k = 0\) → \(A=0,\, B=1,\, C=-k\)

✂️ Ecuación Segmentaria (o Canónica) de la Recta

Se usa cuando conoces los puntos donde la recta corta a los dos ejes. Es la forma más cómoda para trazar rápidamente la recta sin calcular la pendiente.

📐 Ecuación Segmentaria
\[ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \]

a = abscisa del punto de corte con el eje \(X\) → punto \((a, 0)\)

b = ordenada del punto de corte con el eje \(Y\) → punto \((0, b)\)

📝 Ejemplo
Recta que corta al eje \(X\) en \((4, 0)\) y al eje \(Y\) en \((0, -3)\):
\[ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1 \iff \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{3} = 1 \]Multiplicando: \(3x - 4y = 12\) → ecuación general: \(3x - 4y - 12 = 0\).

📋 Tabla Resumen de las ecuaciones de la recta

Ecuaciones de la recta, formulas

Aquí tienes un resumen visual completo y cuándo usar cada una. Guárdalo para tus exámenes.

Nombre	Fórmula	Necesitas saber…	Mejor para…
Vectorial	\((x,y) = (x_0,y_0) + \lambda(v_1,v_2)\)	Punto + vector director	Geometría vectorial
Paramétrica	\(x = x_0 + \lambda v_1\)\(;\; y = y_0 + \lambda v_2\)	Punto + vector director	Obtener puntos concretos
Continua	\(\dfrac{x-x_0}{v_1} = \dfrac{y-y_0}{v_2}\)	Punto + vector director	Comprobar pertenencia
Explícita	\(y = mx + n\)	Pendiente + ordenada	Graficar fácilmente
Punto-Pendiente	\(y - y_0 = m(x - x_0)\)	Punto + pendiente	Escritura rápida
General	\(Ax + By + C = 0\)	Coeficientes \(A, B, C\)	Universal (incluye verticales)
Segmentaria	\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)	Corte con los dos ejes	Trazar gráficamente

🔄 Recta que pasa por dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\)

\[ \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Esta es la fórmula de la ecuación continua usando los dos puntos como punto de referencia y vector director.

🔀 Posición Relativa de Dos Rectas

Dadas dos rectas en el plano, solo pueden estar en tres posiciones relativas. Saber identificarlas es imprescindible para resolver sistemas de ecuaciones y problemas de geometría.

⇆

Paralelas

Misma dirección, sin puntos en común.

\(m_1 = m_2\) y \(n_1 \neq n_2\)
ó
Los coeficientes \(A\), \(B\) son proporcionales pero \(C\) no.

≡

Coincidentes

Misma recta, infinitos puntos en común.

\(m_1 = m_2\) y \(n_1 = n_2\)
ó
Todos los coeficientes \(A\), \(B\), \(C\) son proporcionales.

Secantes

Se cortan en exactamente un punto.

\(m_1 \neq m_2\)
ó
Los coeficientes \(A\), \(B\) no son proporcionales.

⊥ Rectas paralelas y perpendiculares: condiciones exactas

📐 Rectas Paralelas
\[ r_1 \parallel r_2 \iff m_1 = m_2 \]Con vectores directores: \(\vec{v}_1 \parallel \vec{v}_2\), es decir, \(\vec{v}_1 = k\,\vec{v}_2\)

📐 Rectas Perpendiculares
\[ r_1 \perp r_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1 \]Con vectores: \(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0\) (producto escalar nulo)

🧠 Regla de oro para la perpendicular
Si la pendiente de una recta es \(m\), la pendiente de cualquier recta perpendicular a ella es \(-\dfrac{1}{m}\) (el inverso cambiado de signo). Ejemplo: si \(m = \dfrac{2}{3}\), la perpendicular tiene pendiente \(-\dfrac{3}{2}\).

📏 Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta. Es la distancia mínima entre el punto y cualquier punto de la recta.

📐 Distancia del punto \(P(x_0, y_0)\) a la recta \(Ax + By + C = 0\)
\[ d\bigl(P,\, r\bigr) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

📝 Ejemplo
Distancia del punto \(P(1, 3)\) a la recta \(r: 3x - 4y + 5 = 0\):
\[ d = \dfrac{|3\cdot1 - 4\cdot3 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|3 - 12 + 5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|-4|}{5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \text{ u.} \]

💡

Distancia entre dos rectas paralelas: Si \(r_1: Ax + By + C_1 = 0\) y \(r_2: Ax + By + C_2 = 0\), la distancia entre ellas es:
\[ d(r_1, r_2) = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

⭐ Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Es tu turno. Consejo: intenta resolverlos antes de ver la solución.

EJERCICIO 1 Todas las ecuaciones de una recta dados dos puntos

📝 Enunciado
Escribe todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por \(A(1, 2)\) y \(B(4, 8)\).

Calcular el vector director:
\[ \vec{v} = B - A = (4-1,\; 8-2) = (3,\; 6) \]Podemos simplificarlo: \(\vec{v} = (1, 2)\) (dividimos entre 3).

Ecuación vectorial:
\[ (x, y) = (1, 2) + \lambda(1, 2) \]

Ecuaciones paramétricas:
\[ \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \end{cases} \]

Ecuación continua:
\[ \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} \implies x - 1 = \dfrac{y-2}{2} \]

Pendiente y ecuación explícita:
\[ m = \dfrac{8-2}{4-1} = \dfrac{6}{3} = 2 \]\[ y - 2 = 2(x - 1) \implies y = 2x \](La recta pasa por el origen porque \(n = 0\))

Ecuación general:
De \(y = 2x\): \(-2x + y = 0\) → \(\mathbf{2x - y = 0}\)

✅ Resumen de resultados
Vectorial: \((x,y)=(1,2)+\lambda(1,2)\) | Explícita: \(y = 2x\) | General: \(2x - y = 0\)

EJERCICIO 2 Recta paralela y perpendicular por un punto

📝 Enunciado
Halla la ecuación de la recta que pasa por \(P(2, -3)\) y es: a) paralela a \(r: 3x - y + 5 = 0\) b) perpendicular a \(r\).

Pendiente de \(r\): \(3x - y + 5 = 0 \implies y = 3x + 5\) → \(m_r = 3\)

Paralela por \(P(2,-3)\): misma pendiente \(m = 3\)
\[ y - (-3) = 3(x - 2) \implies y + 3 = 3x - 6 \implies \boxed{y = 3x - 9} \]Forma general: \(3x - y - 9 = 0\)

Perpendicular por \(P(2,-3)\): pendiente \(m_\perp = -\dfrac{1}{3}\)
\[ y + 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 2) \implies 3y + 9 = -(x-2) \implies \boxed{x + 3y + 7 = 0} \]

✅ Resultado
Paralela: \(3x - y - 9 = 0\) | Perpendicular: \(x + 3y + 7 = 0\)

EJERCICIO 3 Punto de corte de dos rectas

📝 Enunciado
Calcula el punto de intersección de \(r: 2x + y - 5 = 0\) y \(s: x - 3y + 1 = 0\).

Plantear el sistema:
\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases} \]

Resolver por sustitución:
De la segunda: \(x = 3y - 1\). Sustituimos en la primera:
\[ 2(3y-1) + y = 5 \implies 6y - 2 + y = 5 \implies 7y = 7 \implies y = 1 \]\[ x = 3(1) - 1 = 2 \]

✅ Resultado
El punto de corte es \(\boldsymbol{(2,\,1)}\). Verificación: \(2(2)+1-5=0\,\checkmark\) y \(2-3(1)+1=0\,\checkmark\)

EJERCICIO 4 Posición relativa de dos rectas

📝 Enunciado
Estudia la posición relativa de: a) \(r: 2x - 4y + 6 = 0\) y \(s: x - 2y + 3 = 0\) | b) \(r: 2x - 4y + 6 = 0\) y \(t: x - 2y + 5 = 0\) | c) \(r: 2x - 4y + 6 = 0\) y \(u: x + y - 1 = 0\)

r y s: \(r: 2x - 4y + 6 = 0\) divide entre 2 → \(x - 2y + 3 = 0 \equiv s\)
Los coeficientes son proporcionales (razón 2:1) incluido el término independiente → Rectas coincidentes ✅

r y t: \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{-4}{-2} = 2\) pero \(\dfrac{6}{5} \neq 2\)
Los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales pero el término independiente no → Rectas paralelas ⇆

r y u: Pendiente de \(r\): \(m_r = 2/4 = 1/2\). Pendiente de \(u\): \(m_u = -1\).
\(m_r \neq m_u\) → Rectas secantes ✕
Además, \(m_r \cdot m_u = \dfrac{1}{2} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{2} \neq -1\) → no son perpendiculares.

✅ Resultado
a) Coincidentes | b) Paralelas | c) Secantes (no perpendiculares)

EJERCICIO 5 Distancia de un punto a una recta y mediatriz

📝 Enunciado
Calcula: a) la distancia del punto \(P(3, -2)\) a la recta \(r: 4x - 3y + 1 = 0\). b) la mediatriz del segmento \(AB\) con \(A(0,0)\) y \(B(4,2)\).

Distancia punto-recta:
\[ d = \dfrac{|4(3)-3(-2)+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \dfrac{|12+6+1|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{19}{5} = 3{,}8 \text{ u.} \]

Mediatriz de AB: La mediatriz es la recta perpendicular a \(AB\) que pasa por su punto medio.
Punto medio: \(M = \left(\dfrac{0+4}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = (2, 1)\)
Vector director de \(AB\): \(\vec{AB} = (4, 2)\), que es el vector normal de la mediatriz.
Ecuación general: \(A(x-x_M)+B(y-y_M)=0\) con \((A,B)=(4,2)\):
\[ 4(x-2)+2(y-1)=0 \implies 4x-8+2y-2=0 \implies 4x+2y-10=0 \implies \boxed{2x+y-5=0} \]

✅ Resultado
a) \(d(P, r) = \dfrac{19}{5} = 3{,}8\) u. | b) Mediatriz: \(2x + y - 5 = 0\)

EJERCICIO 6 Punto simétrico respecto a una recta

📝 Enunciado
Halla el punto simétrico de \(P(1, 1)\) respecto a la recta \(r: x - 2y - 4 = 0\).

Recta perpendicular a \(r\) por \(P\):
Vector normal de \(r\): \(\vec{n}=(1,-2)\) → es el vector director de la perpendicular.
Ecuación paramétrica de la perpendicular por \(P(1,1)\):
\[ \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \end{cases} \]

Punto de corte \(Q\) (pie de la perpendicular):
Sustituimos en \(r\): \((1+\lambda) - 2(1-2\lambda) - 4 = 0\)
\[ 1 + \lambda - 2 + 4\lambda - 4 = 0 \implies 5\lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 1 \]\[ Q = (1+1,\; 1-2) = (2,\; -1) \]

Punto simétrico \(P'\): \(Q\) es el punto medio de \(PP'\)
\[ Q = \dfrac{P + P'}{2} \implies P' = 2Q - P = (2\cdot2 - 1,\; 2\cdot(-1) - 1) = (3,\; -3) \]

✅ Resultado
El punto simétrico de \(P(1,1)\) respecto a \(r\) es \(P'(3,-3)\).

🚫 Errores Frecuentes en Ecuaciones de la Recta

❌ Error 1: Confundir vector director y vector normal

❌ En \(Ax+By+C=0\) el vector director es \((A,B)\)

✅ El vector normal es \((A,B)\). El vector director es \((-B,A)\).

❌ Error 2: No verificar el resultado sustituyendo el punto

Siempre, siempre, siempre sustituye el punto del enunciado en la ecuación que has obtenido. Si el punto no la satisface, hay un error de cálculo. Un minuto de verificación salva el ejercicio entero.

❌ Error 3: Olvidar que la recta vertical no tiene pendiente definida

❌ La recta que pasa por \((3,1)\) y \((3,5)\): \(m = \dfrac{5-1}{3-3} = \dfrac{4}{0}\) → "m = ∞"

✅ La pendiente no existe. La ecuación es simplemente \(x = 3\) (recta vertical).

❌ Error 4: Confundir rectas paralelas y coincidentes

Al comparar \(r: 2x-4y+6=0\) y \(s: x-2y+3=0\), muchos dicen "paralelas" porque los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales. Pero hay que comprobar también el término independiente: \(6/3 = 2 = 2/1 = -4/-2\) → son coincidentes, no paralelas.

❓ Preguntas Frecuentes sobre Ecuaciones de la Recta

🤔 ¿Cuántas ecuaciones diferentes tiene una recta?

Una recta tiene infinitas ecuaciones equivalentes, porque puedes multiplicar toda la ecuación por cualquier número no nulo y sigue siendo la misma recta. Las 7 formas que hemos visto (vectorial, paramétrica, continua, explícita, punto-pendiente, general, segmentaria) son simplemente organizaciones distintas de la misma información. Para cada problema usa la que te resulte más cómoda o la que pida el enunciado.

🤔 ¿Qué es la ordenada en el origen y cómo se calcula?

La ordenada en el origen \(n\) es el valor de \(y\) cuando \(x = 0\), es decir, el punto donde la recta cruza el eje \(Y\). Se calcula haciendo \(x = 0\) en cualquier ecuación de la recta. En la forma explícita \(y = mx + n\), aparece directamente. En la general \(Ax+By+C=0\), es \(n = -C/B\).

🤔 ¿Cómo sé si un punto pertenece a una recta?

Muy sencillo: sustituye las coordenadas del punto en la ecuación. Si la igualdad se cumple, el punto pertenece a la recta. Si no se cumple, no pertenece. Por ejemplo, para saber si \(P(2, 3)\) está en \(r: x - 2y + 4 = 0\): \(2 - 2(3) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0\) ✅ → sí pertenece.

🤔 ¿Qué diferencia hay entre el vector director y el vector normal?

El vector director es paralelo a la recta (marca su dirección). El vector normal es perpendicular a la recta. Si el director es \(\vec{v}=(v_1, v_2)\), entonces el normal es \(\vec{n}=(-v_2, v_1)\) o cualquier múltiplo. En la ecuación general \(Ax+By+C=0\), los coeficientes \((A,B)\) forman directamente el vector normal, y el director es \((-B, A)\).

🤔 ¿Por qué la pendiente de una recta perpendicular es el inverso con signo cambiado?

Porque dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores son perpendiculares, es decir, cuando su producto escalar es cero. Si \(\vec{v}_1 = (1, m_1)\) y \(\vec{v}_2 = (1, m_2)\), entonces \(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1 + m_1 m_2 = 0\), lo que implica \(m_1 m_2 = -1\), es decir, \(m_2 = -\dfrac{1}{m_1}\).

📚 Resumen: Las claves de las ecuaciones de la recta

📐 Una recta queda determinada por un punto + un vector director (o dos puntos).
📊 La pendiente \(m = \Delta y / \Delta x\) mide la inclinación. Rectas paralelas tienen igual pendiente.
🔗 La ecuación explícita \(y=mx+n\) es la mejor para graficar. La general \(Ax+By+C=0\) sirve para todo.
⊥ Rectas perpendiculares: \(m_1 \cdot m_2 = -1\). Rectas paralelas: \(m_1 = m_2\).
🔀 Para la posición relativa: compara coeficientes en forma general (proporcionales = paralelas o coincidentes).
📏 Distancia punto-recta: \(d = |Ax_0+By_0+C| / \sqrt{A^2+B^2}\).
🚫 Siempre verifica sustituyendo el punto en la ecuación final.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...