🔎 Índice de contenidos
📘 Bachillerato
Traza de una matriz: definición, propiedades y ejercicios resueltos
Entre todos los números que puede darte una matriz, hay uno que se calcula con una simple suma y que, aun así, guarda secretos sorprendentes: coincide con la suma de los autovalores y es invariante bajo semejanza. Vamos a descubrir por qué la traza es tan especial 🔢
Diagonal principal
→
Suma = tr(A)
⚡ Respuesta rápida
La traza de una matriz cuadrada \(A\), que se escribe \( \operatorname{tr}(A) \), es la suma de los elementos de su diagonal principal: \[ \operatorname{tr}(A) = a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn} \]
Solo se define para matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas), y coincide siempre con la suma de los autovalores de la matriz.
¿Qué es la traza de una matriz? 🤔
La traza es una de las operaciones más sencillas que existen en álgebra matricial, y sin embargo aparece constantemente en física, estadística y aprendizaje automático. Para calcularla, solo tienes que sumar los elementos de la diagonal principal (los que tienen el mismo índice de fila y de columna).
💡 Solo existe para matrices cuadradas
Si la matriz no es cuadrada (por ejemplo, tiene 2 filas y 3 columnas), no tiene una diagonal principal completa y, por tanto, no se puede calcular su traza.
Cómo calcular la traza: ejemplo paso a paso
Veamos un ejemplo concreto con una matriz \(3\times 3\):
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \]
1
Identificamos la diagonal principal: \( a_{11}=2 \), \( a_{22}=5 \), \( a_{33}=6 \).
2
Sumamos esos tres valores: \( 2+5+6 \).
3
Obtenemos \( \operatorname{tr}(A)=13 \).
💡 No influyen el resto de elementos
Fíjate en que los elementos fuera de la diagonal (como el 3, el 1, el 0, el 4, el 1 y el 2 de la matriz anterior) no participan en absoluto en el cálculo de la traza.
Propiedades de la traza de una matriz
La traza cumple una serie de propiedades que la hacen muy útil en demostraciones y cálculos avanzados:
| Propiedad | Enunciado |
|---|---|
| Linealidad (suma) | \( \operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) \) |
| Linealidad (escalar) | \( \operatorname{tr}(kA) = k \cdot \operatorname{tr}(A) \) |
| Traza de la transpuesta | \( \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A) \) |
| Traza de un producto | \( \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \) |
| Traza de la identidad | \( \operatorname{tr}(I_n) = n \) |
| Invariante bajo semejanza | \( \operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A) \) |
⚠️ tr(AB) = tr(BA), pero AB ≠ BA
Esta es la propiedad que más sorprende: aunque el producto de matrices no es conmutativo en general (\(AB\) suele ser distinto de \(BA\)), sus trazas siempre coinciden.
Relación con los autovalores 🎯
Una de las propiedades más importantes de la traza es su relación con los autovalores (valores propios) de la matriz:
💡 La traza es la suma de los autovalores
Si \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) son los autovalores de una matriz \(A\) (contados con su multiplicidad, incluyendo los complejos), entonces: \[ \operatorname{tr}(A) = \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n \] Esta es precisamente la razón por la que la traza es invariante bajo semejanza: matrices semejantes representan la misma transformación lineal y comparten los mismos autovalores.
Ejercicios resueltos sobre la traza de una matriz 💪
Intenta resolver cada ejercicio antes de pulsar "Ver solución".
🟢 Básico
Ejercicio 1. Calcula la traza de la matriz \( M = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \).
M = [[4,7],[2,9]]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: Identificamos la diagonal: \( a_{11}=4 \), \( a_{22}=9 \).
Paso 2: Sumamos: \( 4+9 \).
✅ Resultado: tr(M) = 13
🟢 Básico
Ejercicio 2. ¿Cuál es la traza de la matriz identidad \(I_4\) (4×4)?
Matriz identidad de orden 4
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: La matriz identidad tiene un 1 en cada posición de la diagonal principal y 0 en el resto.
Paso 2: Como es de orden 4, tiene cuatro unos en la diagonal: \( 1+1+1+1 \).
✅ Resultado: tr(I₄) = 4
🟡 Medio
Ejercicio 3. Dadas \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \), comprueba que \( \operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) \).
A y B matrices 3x3 dadas
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: \( \operatorname{tr}(A) = 2+5+6=13 \).
Paso 2: \( \operatorname{tr}(B) = 1+1+1=3 \).
Paso 3: Suma directa de diagonales de \(A+B\): \( (2+1)+(5+1)+(6+1)=3+6+7=16 \).
Paso 4: Comparamos: \( \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=13+3=16 \).
✅ Resultado: ambos caminos dan 16, se cumple la propiedad
🟡 Medio
Ejercicio 4. Calcula la traza de la matriz triangular \( T = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \) e indica cuáles son sus autovalores.
T es triangular superior
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: La traza es la suma de la diagonal: \( 3+5+7=15 \).
Paso 2: En una matriz triangular, los autovalores son exactamente los elementos de la diagonal: 3, 5 y 7.
Paso 3: Comprobamos: \( 3+5+7=15 \), coincide con la traza.
✅ Resultado: tr(T) = 15, autovalores = {3, 5, 7}
🔴 Avanzado
Ejercicio 5. Usando las matrices \(A\) y \(B\) del Ejercicio 3, comprueba que \( \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \), calculando ambos productos.
A y B del ejercicio anterior
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: Multiplicando \(A \times B\) y sumando los elementos de su diagonal se obtiene \( \operatorname{tr}(AB) = 32 \).
Paso 2: Multiplicando \(B \times A\) y sumando los elementos de su diagonal se obtiene \( \operatorname{tr}(BA) = 32 \).
Paso 3: Aunque \(AB\) y \(BA\) son matrices distintas elemento a elemento, sus trazas coinciden.
✅ Resultado: tr(AB) = tr(BA) = 32
Errores más comunes ⚠️
❌ Sumar todos los elementos de la matriz
La traza solo suma los elementos de la diagonal principal, no todos los elementos de la matriz.
La traza solo suma los elementos de la diagonal principal, no todos los elementos de la matriz.
❌ Intentar calcular la traza de una matriz no cuadrada
La traza solo está definida para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas); una matriz 2x3, por ejemplo, no tiene traza.
La traza solo está definida para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas); una matriz 2x3, por ejemplo, no tiene traza.
❌ Pensar que tr(AB) = tr(A) x tr(B)
La traza de un producto NO es el producto de las trazas; hay que multiplicar primero las matrices y sumar después la diagonal del resultado.
La traza de un producto NO es el producto de las trazas; hay que multiplicar primero las matrices y sumar después la diagonal del resultado.
❌ Confundir traza con determinante
La traza es la suma de la diagonal; el determinante es un cálculo distinto (relacionado con el producto de los autovalores, no con su suma).
La traza es la suma de la diagonal; el determinante es un cálculo distinto (relacionado con el producto de los autovalores, no con su suma).
❌ Olvidar que la traza puede ser negativa o cero
No hay ninguna restricción de signo: si los elementos de la diagonal se cancelan entre sí, la traza puede ser negativa o incluso 0.
No hay ninguna restricción de signo: si los elementos de la diagonal se cancelan entre sí, la traza puede ser negativa o incluso 0.
Comprobación numérica 🧮
Verifica las propiedades de la traza con las matrices de los ejercicios anteriores:
Verificación de tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| tr(A) | 13 |
| tr(B) | 3 |
| tr(A) + tr(B) | 16 |
| tr(A+B) calculado directamente | 16 ✅ |
✅ Ambos resultados coinciden: la propiedad de linealidad se cumple.
Verificación de tr(A) = suma de autovalores (matriz simétrica S)
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Matriz S = [[4,1],[1,4]] | tr(S) = 8 |
| Autovalores de S | 5 y 3 |
| Suma de autovalores | 5 + 3 = 8 ✅ |
✅ La suma de los autovalores coincide exactamente con la traza de la matriz.
Verificación de tr(A^T) = tr(A)
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| tr(A) | 13 |
| tr(A^T) | 13 ✅ |
✅ Trasponer una matriz no cambia su diagonal principal, así que la traza no varía.
Tabla resumen de la traza de una matriz 📋
| Concepto | Fórmula / Valor |
|---|---|
| Definición | \( \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} \) |
| Se define solo para | Matrices cuadradas \(n \times n\) |
| Linealidad | \( \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) \) |
| Producto | \( \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA) \) |
| Transpuesta | \( \operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A) \) |
| Relación con autovalores | \( \operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i \) |
| Invariante bajo semejanza | \( \operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A) \) |
Preguntas frecuentes ❓
¿Se puede calcular la traza de una matriz que no es cuadrada?
No. La traza solo está definida para matrices cuadradas, porque solo ellas tienen una diagonal principal completa.
¿La traza puede ser un número negativo?
Sí. Si los elementos de la diagonal son negativos o se compensan entre sí, la traza puede ser negativa, positiva o cero, sin ninguna restricción.
¿Qué diferencia hay entre traza y determinante?
La traza es la suma de los elementos de la diagonal (y también la suma de los autovalores). El determinante es un cálculo distinto, relacionado con el producto de los autovalores, no con su suma.
¿Por qué la traza es invariante bajo semejanza?
Porque dos matrices semejantes (\(A\) y \(P^{-1}AP\)) representan la misma transformación lineal vista en distintas bases, y comparten exactamente los mismos autovalores. Como la traza es la suma de los autovalores, no cambia.
¿Para qué se usa la traza en aplicaciones reales?
Aparece en física (cálculo de invariantes), estadística (varianza total de datos multivariantes) y aprendizaje automático (funciones de coste basadas en matrices de covarianza), entre otros campos.
🚀 ¿Quieres seguir con álgebra de matrices?
Consulta también:
Transposición de matrices
y
Adjunta de una matriz.
Espero que te haya gustado este artículo sobre Traza de una matriz: definición, propiedades y ejemplos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
Forma polar de números complejos: explicación clara y ejemplos
Potencias de matrices: guía completa
Inecuaciones de segundo grado: guía completa
Transposición de matrices: qué es y cómo se utiliza
Obtén la inversa de una matriz: ejemplos y ejercicios prácticos
Rango de una matriz: concepto y ejercicios prácticos
Deja una respuesta
🎁 ACCESO GRATUITO POR TIEMPO LIMITADO
¡¡CURSO GRATIS!!
Experto en Álgebra de Secundaria
Durante unos días puedes acceder GRATIS a mi curso completo de álgebra de secundaria y bachillerato. A cambio, solo te pido que si el curso te ayuda, me dejes una reseña positiva en Udemy.
Explicaciones paso a paso de todo el álgebra de secundaria
Cientos de ejercicios y problemas prácticos, más de 11 horas de vídeos
Acceso de por vida al curso + soporte personalizado
Tu cupón del 100% de descuento:
El cupón se aplicará automáticamente al hacer clic en el botón de abajo. Si no funciona, cópialo y pégalo en Udemy para obtener el curso gratis.
⚠️ Acceso gratuito disponible solo durante unos días. Después, el curso vuelve a su precio habitual.
¿No te entra el cupón automáticamente?
Usa este enlace directo con el cupón del 100% incluido:
Quiero aprender más sobre: