🔎 Índice de contenidos
- 📑 ¿Qué es una matriz?
- ➕ Suma y resta de matrices
- ✕ Producto de un escalar por una matriz
- ✕ Multiplicación de matrices
- 🔄 Trasposición de matrices
- 📋 Propiedades de las operaciones con matrices
- ✏️ Ejemplo resuelto combinado: ecuación matricial
- 🧩 Calculadora interactiva de matrices 2×2
- 🏋️ Ejercicios propuestos con solución
- 📋 Tabla resumen de fórmulas
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🎓 1º-2º Bachillerato · Álgebra Lineal
Operaciones con Matrices: Suma, Resta, Producto y Trasposición
Propiedades, calculadora interactiva y ejercicios resueltos
Las operaciones con matrices son la base de todo el álgebra lineal que estudiarás en Bachillerato: sistemas de ecuaciones, transformaciones geométricas, gráficos por ordenador... todo empieza aquí. En esta guía completa vas a aprender a sumar, restar, multiplicar por un escalar, multiplicar matrices entre sí y trasponerlas, con ejemplos resueltos al detalle, una calculadora interactiva y ejercicios para practicar. 🚀
🎯 ¿Para quién es esto? Para estudiantes de 1º y 2º de Bachillerato (Matemáticas I y II) que necesiten dominar las operaciones básicas con matrices para sus exámenes y la EBAU.
📑 ¿Qué es una matriz?
Una matriz es una tabla ordenada de números dispuestos en filas y columnas. Se dice que una matriz tiene dimensión (u orden) \( m \times n \) cuando tiene \( m \) filas y \( n \) columnas. Por ejemplo, esta matriz tiene dimensión \( 2 \times 3 \) (2 filas, 3 columnas):
1
2
3
4
5
6
✅ Notación: Cada elemento se escribe como \( a_{ij} \), donde \( i \) indica la fila y \( j \) la columna. Por ejemplo, en la matriz anterior, \( a_{12}=2 \) (fila 1, columna 2) y \( a_{23}=6 \) (fila 2, columna 3).
Sobre las matrices podemos definir varias operaciones: suma, resta, producto por un número (escalar), producto entre matrices, y trasposición. Vamos a verlas todas, una por una.
➕ Suma y resta de matrices
Para poder sumar o restar dos matrices, ambas deben tener exactamente la misma dimensión. La operación es muy sencilla: se suman (o restan) los elementos que ocupan la misma posición.
Regla
\[ (A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} \]
Veamos un ejemplo con estas dos matrices de dimensión \( 2 \times 3 \):
A =
2
−1
3
0
4
−2
B =
1
5
−3
2
−1
6
➕
Suma: A + B
Sumamos cada elemento con el que ocupa su misma posición:
A =
2
−1
3
0
4
−2
+
B =
1
5
−3
2
−1
6
=
3
4
0
2
3
4
➖
Resta: A − B
Restamos cada elemento de B al elemento correspondiente de A:
A =
2
−1
3
0
4
−2
−
B =
1
5
−3
2
−1
6
=
1
−6
6
−2
5
−8
⚠️ Importante: Si las matrices NO tienen la misma dimensión, la suma o resta no está definida — sencillamente no se puede hacer.
✕ Producto de un escalar por una matriz
Multiplicar una matriz por un escalar (un número real) es todavía más sencillo: simplemente se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.
Regla
\[ (k \cdot A)_{ij} = k \cdot a_{ij} \]
Ejemplo: calculemos \( 3A \) con la siguiente matriz:
A =
1
2
3
−4
3×
A =
1
2
3
−4
=
3
6
9
−12
✅ Fácil, ¿verdad? \( 3 \times 1=3 \), \( 3 \times 2=6 \), \( 3 \times 3=9 \), \( 3 \times (-4)=-12 \). Cada elemento se multiplica por separado.
✕ Multiplicación de matrices
Esta es, sin duda, la operación más importante y la que más dudas genera. A diferencia de la suma, multiplicar matrices no consiste en multiplicar posición a posición: se usa el método «fila por columna».
🚫 Condición indispensable: Solo se pueden multiplicar dos matrices \( A \) y \( B \) si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Si \( A \) es \( m\times n \) y \( B \) es \( n\times p \), el resultado \( AB \) será una matriz \( m\times p \).
Ejemplo con matrices cuadradas 2×2
A =
1
2
3
4
B =
5
6
7
8
1
Elemento c₁₁: fila 1 de A · columna 1 de B
\( 1\times5 + 2\times7 = 5+14 = 19 \)
2
Elemento c₁₂: fila 1 de A · columna 2 de B
\( 1\times6 + 2\times8 = 6+16 = 22 \)
3
Elemento c₂₁: fila 2 de A · columna 1 de B
\( 3\times5 + 4\times7 = 15+28 = 43 \)
4
Elemento c₂₂: fila 2 de A · columna 2 de B
\( 3\times6 + 4\times8 = 18+32 = 50 \)
A =
1
2
3
4
×
B =
5
6
7
8
=
19
22
43
50
💡 Truco para no perderte: "Recorre la fila de A con el dedo índice y la columna de B con el otro, multiplica lo que se van encontrando y suma los resultados." Repite esto para cada casilla del resultado.
Ejemplo con matrices rectangulares (comprobando la condición)
Veamos ahora un caso con matrices no cuadradas, para entender bien la condición de compatibilidad: \( A \) es \( 2\times3 \) y \( B \) es \( 3\times2 \). Como el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3), sí se pueden multiplicar, y el resultado será una matriz \( 2\times2 \).
A =
1
0
2
−1
3
1
B =
3
1
2
1
1
0
A =
1
0
2
−1
3
1
×
B =
3
1
2
1
1
0
=
5
1
4
2
✅ Fila 1 · Columna 1: \( 1(3)+0(2)+2(1)=5 \) | Fila 1 · Columna 2: \( 1(1)+0(1)+2(0)=1 \) | Fila 2 · Columna 1: \( -1(3)+3(2)+1(1)=4 \) | Fila 2 · Columna 2: \( -1(1)+3(1)+1(0)=2 \)
❓ ¿Por qué AB ≠ BA?
Uno de los errores conceptuales más comunes es pensar que la multiplicación de matrices funciona como la de números reales, donde \( a\times b = b\times a \). ¡En matrices esto NO es cierto en general! Vamos a comprobarlo calculando \( BA \) con las mismas matrices de antes:
A × B
19
22
43
50
≠
B × A
23
34
31
46
❌ ¡Son distintas! \( AB \) tiene los valores (19, 22, 43, 50) mientras que \( BA \) tiene otros valores completamente diferentes (23, 34, 31, 46). Por eso, cuando trabajes con matrices, siempre debes respetar el orden en el que se multiplican.
⚠️ Consecuencia importante: Al resolver ecuaciones matriciales, si necesitas "pasar multiplicando" una matriz al otro lado de la igualdad, debes multiplicar por el mismo lado en ambos miembros de la ecuación (por la izquierda o por la derecha, pero siempre igual en los dos lados).
🔄 Trasposición de matrices
La matriz traspuesta de \( A \) (que se escribe \( A^t \) o \( A^T \)) se obtiene intercambiando filas por columnas: la primera fila de \( A \) se convierte en la primera columna de \( A^t \), y así sucesivamente.
Regla
\[ (A^t)_{ij} = a_{ji} \]
A =
1
2
3
4
5
6
A =
1
2
3
4
5
6
→
1
4
2
5
3
6
✅ Observa: Si \( A \) es \( 2\times3 \), su traspuesta \( A^t \) es \( 3\times2 \) — ¡las dimensiones se intercambian! La primera fila de A (1, 2, 3) pasa a ser la primera columna de \( A^t \).
📋 Propiedades de las operaciones con matrices
Conocer estas propiedades te ahorrará muchos cálculos y te ayudará a resolver ecuaciones matriciales con seguridad:
| Propiedad | Se cumple para... |
|---|---|
| Conmutativa | \( A+B=B+A \) — SOLO en la suma, NUNCA en el producto (\(AB\neq BA\) en general) |
| Asociativa | \( (A+B)+C=A+(B+C) \) y también \( (AB)C=A(BC) \) |
| Elemento neutro (suma) | La matriz nula \( O \) (todo ceros): \( A+O=A \) |
| Elemento opuesto | \( A+(-A)=O \), donde \( -A \) tiene todos los signos cambiados |
| Distributiva | \( A(B+C)=AB+AC \) y \( (A+B)C=AC+BC \) |
| Trasposición de una suma | \( (A+B)^t=A^t+B^t \) |
| Trasposición de un producto | \( (AB)^t=B^t A^t \) — ¡el orden se invierte! |
| Doble trasposición | \( (A^t)^t=A \) |
💡 La propiedad que más sorprende: Al trasponer un producto de matrices, el orden de los factores se invierte: \( (AB)^t=B^tA^t \), no \( A^tB^t \). ¡Es una fuente clásica de errores en exámenes!
✏️ Ejemplo resuelto combinado: ecuación matricial
En los exámenes es muy habitual que te pidan combinar varias operaciones a la vez. Vamos a calcular \( 2A - 3B \) con estas matrices:
A =
2
−1
3
0
B =
1
2
−1
4
1
Calculamos 2A (producto por escalar)
Multiplicamos cada elemento de A por 2
2
A =
2
−1
3
0
=
4
−2
6
0
2
Calculamos 3B (producto por escalar)
Multiplicamos cada elemento de B por 3
3
B =
1
2
−1
4
=
3
6
−3
12
3
Restamos 2A − 3B (elemento a elemento)
\( 4-3=1 \), \( -2-6=-8 \), \( 6-(-3)=9 \), \( 0-12=-12 \)
4
−2
6
0
−
3
6
−3
12
=
1
−8
9
−12
✅ \( 2A-3B = \) la matriz resultado mostrada arriba
🧩 Calculadora interactiva de matrices 2×2
Introduce los valores de dos matrices 2×2 y calcula su suma, resta o producto al instante:
A =
B =
🏋️ Ejercicios propuestos con solución
Ahora te toca a ti. Intenta resolver cada ejercicio antes de hacer clic en el botón de solución.
📝 Ejercicio 1 — Suma
⭐ Básico
Calcula A + B con las siguientes matrices:
A =
3
−2
1
5
B =
−1
4
2
−3
📝 Ejercicio 2 — Combinación de operaciones
⭐⭐ Intermedio
Calcula 3A − 2B con las siguientes matrices:
A =
1
2
0
−1
B =
2
0
1
3
📝 Ejercicio 3 — Multiplicación
⭐⭐⭐ Avanzado
Calcula A × B con las siguientes matrices:
A =
2
1
−1
3
B =
0
2
4
1
📝 Ejercicio 4 — Problema aplicado
⭐⭐⭐ Avanzado
Una papelería tiene dos tiendas. La matriz de ventas indica las unidades vendidas de cuadernos, bolígrafos y gomas en cada tienda. Los precios son: cuaderno 1,20€, bolígrafo 0,50€, goma 0,30€. Calcula los ingresos de cada tienda usando el producto de matrices.
Ventas =
50
30
20
40
25
15
Precios =
1.2
0.5
0.3
💡 Aplicaciones reales de las operaciones con matrices
Sistemas de ecuaciones
Las matrices permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y sistemática.
Gráficos e información 3D
Los videojuegos y el diseño 3D usan matrices para rotar, escalar y mover objetos en pantalla.
Economía y negocios
Tablas de ventas, precios e inventarios se combinan con productos de matrices, como en nuestro ejemplo.
Criptografía
Algunos métodos de cifrado de mensajes usan matrices y sus inversas para codificar información.
⚠️ Errores frecuentes que debes evitar
Error 1: Sumar matrices de distinta dimensión
Intentar sumar o restar matrices que no tienen el mismo número de filas y columnas.
✅ Comprueba siempre que ambas matrices tengan la misma dimensión
Error 2: No comprobar la compatibilidad al multiplicar
Intentar multiplicar dos matrices sin verificar que columnas de A = filas de B.
✅ Verifica siempre esta condición antes de empezar a multiplicar
Error 3: Pensar que AB = BA
Suponer que la multiplicación de matrices es conmutativa, como con los números reales.
✅ En general \( AB \neq BA \) — el orden importa
Error 4: Multiplicar elemento a elemento
Confundir el método de la suma (posición a posición) con el de la multiplicación (fila por columna).
✅ El producto de matrices SIEMPRE usa fila × columna, nunca posición a posición
Error 5: No invertir el orden al trasponer un producto
Escribir \( (AB)^t=A^tB^t \) en lugar de la forma correcta.
✅ \( (AB)^t=B^tA^t \) — el orden se invierte
Error 6: Confundir la dimensión del resultado
Olvidar que \( A_{m\times n} \cdot B_{n\times p} \) da como resultado una matriz \( m\times p \), no \( m\times n \) ni \( n\times p \).
✅ El resultado toma las filas de A y las columnas de B
❓ Preguntas frecuentes
📋 Tabla resumen de fórmulas
| Operación | Regla | Condición |
|---|---|---|
| Suma / Resta | \( (A\pm B)_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij} \) | Misma dimensión |
| Producto por escalar | \( (kA)_{ij}=k\cdot a_{ij} \) | Ninguna |
| Producto de matrices | \( (AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj} \) | Columnas de A = filas de B |
| Dimensión del producto | \( A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p} \) | — |
| Trasposición | \( (A^t)_{ij}=a_{ji} \) | Ninguna |
📋 Resumen rápido — Todo lo que necesitas saber
🚀 Lo esencial en 10 segundos:
Suma/resta → misma dimensión, elemento a elemento. Producto por escalar → multiplica todo. Producto de matrices → fila por columna, columnas de A = filas de B, y NO es conmutativo. Trasposición → intercambia filas y columnas.
Suma/resta → misma dimensión, elemento a elemento. Producto por escalar → multiplica todo. Producto de matrices → fila por columna, columnas de A = filas de B, y NO es conmutativo. Trasposición → intercambia filas y columnas.
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