Propiedades de los determinantes: explicación fácil, ejemplos y ejercicios resueltos ✅
🔎 Índice de contenidos
- Propiedades de los determinantes: explicación fácil, ejemplos y ejercicios resueltos ✅
- 📚 Qué vas a encontrar
- ¿Qué son las propiedades de los determinantes? 🤔
- Principales propiedades de los determinantes 🧩
- Cómo usar las propiedades para resolver más rápido ⚡
- Ejemplos resueltos 📝
- 10 ejercicios interactivos de aplicación 🎮
- Errores frecuentes ❌
- Calculadora de determinantes 2x2 y 3x3 🧮
- Preguntas frecuentes ❓
Si entiendes bien las propiedades de los determinantes, resolver matrices deja de ser un lío. En esta guía aprenderás a reconocer cuándo un determinante vale cero, cuándo cambia de signo, cuándo puedes sacar factor común y cómo simplificar ejercicios sin perder tiempo. 🚀
Además, al final encontrarás una calculadora de determinantes y 10 ejercicios interactivos para practicar con solución explicada paso a paso.
🎯 Explicación clara
🧠 Fácil de memorizar
✍️ 10 ejercicios interactivos
🧮 Calculadora incluida
🧠 Fácil de memorizar
✍️ 10 ejercicios interactivos
🧮 Calculadora incluida
📚 Qué vas a encontrar
¿Qué son las propiedades de los determinantes? 🤔
Las propiedades de los determinantes son reglas que permiten transformar matrices y prever cómo cambia su determinante. Gracias a ellas puedes simplificar cuentas, crear ceros, detectar si el determinante vale \(0\) y resolver problemas con mucha más rapidez.
⏱️ Ahorras tiempo
Muchas veces no necesitas desarrollar todo el determinante.
🎯 Evitas errores
Entiendes cuándo cambia el signo y cuándo no cambia el valor.
📈 Subes nivel
Son básicas para exámenes, sistemas, matrices e inversas.
Idea clave: antes de calcular, observa la matriz. Muchas veces una propiedad te da la respuesta o simplifica muchísimo el ejercicio.
Principales propiedades de los determinantes 🧩
| Propiedad | Qué ocurre | Consecuencia |
|---|---|---|
| Determinante de la traspuesta | \( \det(A)=\det(A^T) \) | Las propiedades valen para filas y columnas. |
| Fila o columna de ceros | Si una fila o columna es cero, el determinante vale \(0\). | Resultado inmediato. |
| Dos filas iguales | Si dos filas o columnas son iguales, el determinante vale \(0\). | No hace falta desarrollar. |
| Filas proporcionales | Si una fila es múltiplo de otra, el determinante vale \(0\). | Atajo muy frecuente. |
| Intercambiar dos filas | El determinante cambia de signo. | Mucho cuidado en exámenes. |
| Multiplicar una fila por \(k\) | El determinante se multiplica por \(k\). | Sirve para sacar factor común. |
| Sumar a una fila otra multiplicada | El determinante no cambia. | Propiedad clave para crear ceros. |
| Matriz triangular | El determinante es el producto de la diagonal principal. | Resultado rapidísimo. |
| Producto de matrices | \( \det(AB)=\det(A)\det(B) \) | Muy útil en teoría. |
| Determinante de la inversa | \( \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)} \) | Solo si \( \det(A)\neq0 \). |
\[
\textbf{Regla de oro}
\qquad
\begin{cases}
\text{Intercambiar dos filas} \Rightarrow \text{cambia el signo}\\
\text{Multiplicar una fila por } k \Rightarrow \text{se multiplica por } k\\
\text{Sumar una fila multiplicada a otra} \Rightarrow \text{no cambia}
\end{cases}
\]
\textbf{Regla de oro}
\qquad
\begin{cases}
\text{Intercambiar dos filas} \Rightarrow \text{cambia el signo}\\
\text{Multiplicar una fila por } k \Rightarrow \text{se multiplica por } k\\
\text{Sumar una fila multiplicada a otra} \Rightarrow \text{no cambia}
\end{cases}
\]
Cómo usar las propiedades para resolver más rápido ⚡
Paso 1. Mira si el determinante vale cero
- Fila o columna de ceros
- Dos filas iguales
- Filas proporcionales
Paso 2. Busca simplificaciones
- Saca factor común
- Haz operaciones para crear ceros
- Intenta llegar a forma triangular
Paso 3. Controla el signo
- Si cambias dos filas, cambia el signo
- Si haces dos intercambios, vuelve al signo original
Paso 4. Calcula al final
- En 2x2, usa \(ad-bc\)
- En 3x3, usa Sarrus o cofactores
- En triangular, multiplica la diagonal
Ejemplos resueltos 📝
Ejemplo 1. Determinante nulo por filas proporcionales
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
0 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
0 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\]
La fila 2 es \(2\) veces la fila 1. Por tanto, hay dos filas proporcionales y el determinante vale:
\[\boxed{0}\]
Ejemplo 2. Matriz triangular
\[
\det\begin{pmatrix}
4 & 1 & -2\\
0 & 3 & 5\\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
4 & 1 & -2\\
0 & 3 & 5\\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}
\]
Como es triangular superior, multiplicamos la diagonal:
\[
4\cdot3\cdot(-6)=-72
\]
4\cdot3\cdot(-6)=-72
\]
10 ejercicios interactivos de aplicación 🎮
Haz clic en cada ficha para ver la solución explicada.
Ejercicio 1. Fila repetida
🟢 Fácil
\[
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
3 & -1 & 4\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
3 & -1 & 4\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
La fila 1 y la fila 3 son exactamente iguales. Si dos filas son iguales, el determinante vale cero.
\[\boxed{\det=0}\]
Ejercicio 2. Filas proporcionales
🟢 Fácil
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 6
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 6
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
La segunda fila es \(3\) veces la primera: \((3,6)=3(1,2)\). Las filas son proporcionales, así que el determinante vale cero.
\[\boxed{\det=0}\]
Ejercicio 3. Cambio de signo al intercambiar filas
🟡 Medio
Si
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 5
\end{pmatrix}=-1
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 5
\end{pmatrix}=-1
\]
calcula
\[
\det\begin{pmatrix}
3 & 5\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
3 & 5\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
La segunda matriz se obtiene intercambiando las dos filas de la primera. Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo.
\[
-(-1)=1
\]
-(-1)=1
\]
\[\boxed{1}\]
Ejercicio 4. Sacar factor común
🟡 Medio
\[
\det\begin{pmatrix}
2 & 4\\
3 & 7
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
2 & 4\\
3 & 7
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
De la primera fila sacamos factor común \(2\):
\[
\det\begin{pmatrix}
2 & 4\\
3 & 7
\end{pmatrix}
=
2\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 7
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
2 & 4\\
3 & 7
\end{pmatrix}
=
2\det\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 7
\end{pmatrix}
\]
Ahora calculamos el 2x2:
\[
2(1\cdot7-2\cdot3)=2(7-6)=2
\]
2(1\cdot7-2\cdot3)=2(7-6)=2
\]
\[\boxed{2}\]
Ejercicio 5. Matriz triangular
🟢 Fácil
\[
\det\begin{pmatrix}
-2 & 4 & 1\\
0 & 5 & 3\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
-2 & 4 & 1\\
0 & 5 & 3\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
Es una matriz triangular superior. El determinante es el producto de la diagonal principal.
\[
(-2)\cdot 5\cdot 6=-60
\]
(-2)\cdot 5\cdot 6=-60
\]
\[\boxed{-60}\]
Ejercicio 6. Fila de ceros
🟢 Fácil
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0\\
3 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0\\
3 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
La segunda fila es una fila de ceros. En ese caso, el determinante vale cero.
\[\boxed{0}\]
Ejercicio 7. Operación que no cambia el determinante
🟠 Reto
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
Aplicamos operaciones que no cambian el determinante:
\[
F_2\to F_2-F_1,\qquad F_3\to F_3-F_1
\]
F_2\to F_2-F_1,\qquad F_3\to F_3-F_1
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Ahora hacemos \(F_1\to F_1-F_2\):
\[
\begin{pmatrix}
0 & -1 & -2\\
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
\begin{pmatrix}
0 & -1 & -2\\
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Desarrollando por la primera columna:
\[
\det=-\begin{vmatrix}-1 & -2\\ 1 & 2\end{vmatrix}
=-\big[(-1)\cdot2-(-2)\cdot1\big]=-( -2+2)=0
\]
\det=-\begin{vmatrix}-1 & -2\\ 1 & 2\end{vmatrix}
=-\big[(-1)\cdot2-(-2)\cdot1\big]=-( -2+2)=0
\]
\[\boxed{0}\]
Ejercicio 8. Cálculo directo 2x2
🟡 Medio
\[
\det\begin{pmatrix}
5 & 2\\
1 & 4
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
5 & 2\\
1 & 4
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
En un determinante \(2\times2\) usamos \(ad-bc\).
\[
5\cdot4-2\cdot1=20-2=18
\]
5\cdot4-2\cdot1=20-2=18
\]
\[\boxed{18}\]
Ejercicio 9. Crear ceros y desarrollar
🟠 Reto
\[
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
3 & 4 & 2\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
3 & 4 & 2\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
Restamos \(3\) veces la fila 1 a la fila 2:
\[
F_2\to F_2-3F_1
\]
F_2\to F_2-3F_1
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & -2 & -1\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & -2 & -1\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Ahora restamos \(2\) veces la fila 1 a la fila 3:
\[
F_3\to F_3-2F_1
\]
F_3\to F_3-2F_1
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & -2 & -1\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}
\]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & -2 & -1\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}
\]
Desarrollamos por la primera columna:
\[
\det=
1\cdot
\begin{vmatrix}
-2 & -1\\
-3 & -2
\end{vmatrix}
=(-2)(-2)-(-1)(-3)=4-3=1
\]
\det=
1\cdot
\begin{vmatrix}
-2 & -1\\
-3 & -2
\end{vmatrix}
=(-2)(-2)-(-1)(-3)=4-3=1
\]
\[\boxed{1}\]
Ejercicio 10. Aplicación de Sarrus
🟠 Reto
\[
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 5\\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\]
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 5\\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Mostrar solución
Aplicamos la regla de Sarrus:
\[
\det=
2\cdot4\cdot1+
1\cdot5\cdot1+
3\cdot0\cdot(-2)
-
\big(3\cdot4\cdot1+
2\cdot5\cdot(-2)+
1\cdot0\cdot1\big)
\]
\det=
2\cdot4\cdot1+
1\cdot5\cdot1+
3\cdot0\cdot(-2)
-
\big(3\cdot4\cdot1+
2\cdot5\cdot(-2)+
1\cdot0\cdot1\big)
\]
\[
\det=8+5+0-(12-20+0)=13-(-8)=21
\]
\det=8+5+0-(12-20+0)=13-(-8)=21
\]
\[\boxed{21}\]
Errores frecuentes ❌
Olvidar el signo
Si intercambias dos filas, el determinante cambia de signo.
Pensar que toda operación conserva el determinante
No. Solo las operaciones del tipo \(F_i\to F_i+\lambda F_j\) no cambian el determinante.
No revisar si vale cero
Antes de desarrollar, comprueba si hay filas iguales, proporcionales o de ceros.
No aprovechar la forma triangular
Si la matriz ya es triangular, basta con multiplicar la diagonal.
Calculadora de determinantes 2x2 y 3x3 🧮
Esta parte usa el snippet de WPCode Lite que ya tienes añadido.
Calculadora 2x2
Aquí aparecerá el resultado y el paso a paso.
Calculadora 3x3
Introduce los valores de la matriz:
Aquí aparecerá el resultado y la explicación mediante la regla de Sarrus.
Preguntas frecuentes ❓
¿Cuándo vale cero un determinante?
Cuando tiene una fila o columna de ceros, dos filas iguales o filas proporcionales.
¿Las propiedades valen también para columnas?
Sí. Lo que se aplica a filas también se aplica a columnas.
¿Cuál es la propiedad más útil?
La de sumar a una fila otra fila multiplicada por un número, porque permite crear ceros sin cambiar el determinante.
Conclusión 🎯
Dominar las propiedades de los determinantes te permite resolver más rápido, con menos errores y con más seguridad. La clave no está en hacer más cuentas, sino en observar la matriz y elegir la mejor propiedad antes de empezar.
Espero que te haya gustado este artículo sobre Propiedades de los determinantes: ejemplos y ejercicios resueltos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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