Método de Gauss-Jordan: ejemplos y ejercicios resueltos✨

hace 2 meses · Actualizado hace 2 meses

🔎 Índice de contenidos

🔍 ¿Qué es el método de Gauss-Jordan?
📊 La matriz aumentada del sistema
⚙️ Las 3 operaciones elementales de fila
🎯 La forma escalonada reducida (FER)
📋 Algoritmo paso a paso
📂 Tipos de solución
⚔️ Gauss vs Gauss-Jordan
📊 Tabla resumen del método de Gauss-Jordan
🎯 Ejercicios resueltos interactivos

🔢 Método de Gauss-Jordan

Guía completa para Bachillerato y Universidad · Sistemas de ecuaciones lineales · Operaciones elementales · FER · Ejercicios interactivos paso a paso

Matriz aumentada
Operaciones elementales
Forma FER
Tipos de solución

🔍 ¿Qué es el método de Gauss-Jordan?

El método de Gauss-Jordan es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones elementales de fila sobre la matriz aumentada del sistema. Es una extensión del método de Gauss (eliminación gaussiana) que lleva la matriz a la forma escalonada reducida (FER), permitiendo leer la solución directamente sin necesidad de sustitución hacia atrás.

🎓

Bachillerato / Universidad

Tema fundamental en álgebra lineal. Imprescindible para resolver sistemas 2×2, 3×3 y mayores.

⚡

Más potente que Cramer

Gauss-Jordan funciona para cualquier sistema, incluso los que no tienen solución única o los que tienen infinitas.

📖

Lectura directa

Una vez en FER, la solución se lee directamente de la última columna. Sin despejar, sin sustituir.

📜 Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan

El método de eliminación fue desarrollado por Gauss (1777–1855) y Wilhelm Jordan (1842–1899), ingeniero alemán, extendió el proceso para incluir también la eliminación hacia arriba, obteniendo la forma reducida.

📊 La matriz aumentada del sistema

El primer paso del método es convertir el sistema de ecuaciones en su matriz aumentada. Esta matriz codifica toda la información del sistema de forma compacta:

\[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right] \]

🎯Clave: cada fila de la matriz aumentada corresponde a una ecuación. Cada columna (excepto la última) corresponde a una incógnita. La barra vertical "|" separa los coeficientes de los términos independientes.

⚙️ Las 3 operaciones elementales de fila

El método de Gauss-Jordan transforma la matriz mediante tres tipos de operaciones que no cambian el conjunto solución del sistema:

Tipo 1: Fi ↔ Fj

Intercambiar dos filas. Se usa para colocar un pivote no nulo en la posición correcta.

Tipo 2: Fi → k·Fi

Multiplicar una fila por k≠0. Se usa para convertir el pivote en 1.

Tipo 3: Fi → Fi + k·Fj

Sumar un múltiplo de una fila a otra. Se usa para crear ceros en la columna del pivote.

🏆La operación más usada es la tipo 3. Para eliminar el elemento \(a_{ij}\) usando el pivote \(a_{jj}\): \(F_i \to F_i - \dfrac{a_{ij}}{a_{jj}} \cdot F_j\). Esto coloca un 0 en la posición (i,j).

🎯 La forma escalonada reducida (FER)

El objetivo del método de Gauss-Jordan es transformar la matriz aumentada en la Forma Escalonada Reducida por Filas (FER, por sus siglas). Esta forma tiene una estructura muy específica:

📌 Condiciones que define la FER

El primer elemento no nulo de cada fila (el pivote) es igual a 1
El pivote de cada fila está a la derecha del pivote de la fila anterior
Todas las entradas de la columna de un pivote, excepto el propio pivote, son 0 (incluyendo las de arriba)
Las filas que son completamente nulas (solo ceros) están en la parte inferior de la matriz

📋 Algoritmo paso a paso

El algoritmo de Gauss-Jordan se divide en dos fases: la fase hacia abajo (eliminación progresiva) y la fase hacia arriba (eliminación regresiva):

Escribe la matriz aumentada: Construye la matriz \([A|b]\) con los coeficientes del sistema.

Elige el pivote de la primera columna: El pivote es el primer elemento no nulo. Si la primera entrada es 0, intercambia filas (operación tipo 1) para que no lo sea.

Normaliza el pivote a 1: Divide toda la fila del pivote por el valor del pivote (operación tipo 2: \(F_i \to \frac{1}{p} F_i\)).

Elimina los demás elementos de la columna del pivote: Para cada fila \(j \neq i\): aplica \(F_j \to F_j - a_{ji} \cdot F_i\) (operación tipo 3) para poner ceros tanto abajo como arriba del pivote.

Avanza a la siguiente columna y repite: Pasa a la siguiente columna de coeficientes y repite los pasos 2-4 ignorando las filas ya procesadas.

Lee la solución: Una vez en FER, lee la solución directamente de la última columna. Si aparece una fila \([0,0,\ldots,0\,|\,c]\) con \(c \neq 0\): sin solución. Si hay variables libres: infinitas soluciones.

🎯El orden importa: primero trabaja hacia abajo (crea ceros debajo del pivote), luego hacia arriba (crea ceros encima del pivote). El proceso de crear ceros encima es lo que distingue a Gauss-Jordan de la eliminación gaussiana simple.

📂 Tipos de solución

Una vez obtenida la FER, el tipo de solución se lee directamente:

✅ Solución única

La FER tiene tantos pivotes como incógnitas. La última columna da directamente los valores: \(x = a\), \(y = b\), etc.

🚫 Sin solución (incompatible)

Aparece una fila \([0, 0, \ldots, 0 \,|\, c]\) con \(c \neq 0\). La ecuación \(0 = c\) es imposible.

∞ Infinitas soluciones

Menos pivotes que incógnitas. Las incógnitas sin pivote son variables libres (parámetros). La solución depende de esos parámetros.

⚔️ Gauss vs Gauss-Jordan

Eliminación Gaussiana

Lleva la matriz a la forma escalonada (triangular superior). Solo crea ceros debajo del pivote. Para obtener la solución, necesita sustitución hacia atrás. Más eficiente computacionalmente para sistemas muy grandes.

Gauss-Jordan

Lleva la matriz a la FER (forma escalonada reducida). Crea ceros tanto debajo como encima del pivote. La solución se lee directamente, sin sustitución adicional. Más trabajo por operación, pero el resultado es inmediato.

📊 Tabla resumen del método de Gauss-Jordan

Paso	Acción	Operación usada	Objetivo
1	Construir [A\|b]	—	Representar el sistema como matriz
2	Pivote ≠ 0 en col j	Tipo 1: Fi ↔ Fk	Situar elemento no nulo como pivote
3	Normalizar pivote	Tipo 2: Fi → (1/p)·Fi	Hacer el pivote = 1
4	Ceros debajo del pivote	Tipo 3: Fk → Fk − ak·Fi	Eliminación progresiva
5	Ceros encima del pivote	Tipo 3: Fk → Fk − ak·Fi	Eliminación regresiva (Gauss-Jordan)
6	Leer solución	—	Última columna = soluciones

🎯Señal de solución única: la FER tiene la forma \([I\,|\,b]\) donde \(I\) es la matriz identidad. Señal de sin solución: fila \([0,\ldots,0\,|\,c\neq 0]\). Señal de infinitas: fila \([0,\ldots,0\,|\,0]\) con menos pivotes que incógnitas.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Cada paso muestra la matriz transformada. ¡Intenta resolverlo tú primero! 💪

01
Sistema 2×2 — solución única
►

📝 Resuelve por Gauss-Jordan: \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada:

②F₁ → ½·F₁ (normalizar pivote de la col 1):

③F₂ → F₂ − 3·F₁ (cero debajo del pivote):

④F₂ → (−2/7)·F₂ (normalizar pivote col 2):

⑤F₁ → F₁ − ½·F₂ (cero encima del pivote):

✅ \(x = 2,\; y = 1\)

02
Sistema 3×3 — solución única completo
►

📝 Resuelve por Gauss-Jordan: \(\begin{cases} x + 2y − z = 1 \\ 2x + y + z = 8 \\ x − y + 2z = 5 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada inicial:

②F₂ → F₂ − 2·F₁ y F₃ → F₃ − F₁:

③F₂ → (−1/3)·F₂:

④F₁ → F₁−2·F₂, F₃ → F₃+3·F₂:

⑤Fila 3: [0 0 0 | −2] → ecuación \(0 = -2\): imposible

🚫 Sistema incompatible — sin solución

03
Sistema 3×3 — solución única con pivote fraccionalAVANZADO
►

📝 Resuelve: \(\begin{cases} 2x + 4y − 2z = 2 \\ x − 2y + z = 4 \\ 3x + 2y + z = 5 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada:

②F₁ → ½·F₁:

③F₂ → F₂−F₁, F₃ → F₃−3·F₁:

④F₂ → (−¼)·F₂:

⑤F₁ → F₁−2·F₂, F₃ → F₃+4·F₂:

⑥F₃ → ½·F₃:

⑦F₂ → F₂+½·F₃:

✅ \(x = 5/2,\; y = -1,\; z = -1/2\)

04
Sistema incompatible (sin solución)
►

📝 Demuestra que el sistema no tiene solución: \(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada:

②F₂ → F₂ − 2·F₁:

③La segunda fila dice: \(0 \cdot x + 0 \cdot y = 2\), es decir, \(0 = 2\). Imposible.

④Interpretación geométrica: las dos rectas son paralelas (misma pendiente, distinta ordenada) → no se cruzan nunca.

🚫 Sistema incompatible — sin solución

05
Sistema compatible indeterminado (∞ soluciones)AVANZADO
►

📝 Resuelve: \(\begin{cases} x + 2y − z = 3 \\ 2x + 4y − 2z = 6 \\ x − y + z = 1 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada:

②F₂ → F₂−2·F₁, F₃ → F₃−F₁:

③Intercambia F₂ ↔ F₃ (para tener pivote no nulo):

④F₂ → (−1/3)·F₂:

⑤F₁ → F₁−2·F₂:

⑥La variable z es libre (parámetro t). Expresando x e y en función de t:
\(x = \dfrac{5}{3} - \dfrac{t}{3}\), \(\quad y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2t}{3}\), \(\quad z = t \in \mathbb{R}\)

∞ Sistema compatible indeterminado — infinitas soluciones

06
Sistema 2×3 — más incógnitas que ecuacionesAVANZADO
►

📝 Resuelve: \(\begin{cases} x + 2y + 3z = 9 \\ 2x − y + z = 8 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada (2 filas, 4 columnas):

②F₂ → F₂ − 2·F₁:

③F₂ → (−1/5)·F₂:

④F₁ → F₁ − 2·F₂:

⑤z es libre (parámetro t):
\(x = 5 - t\), \(\quad y = 2 - t\), \(\quad z = t \in \mathbb{R}\)

∞ Sistema compatible indeterminado — infinitas soluciones

07
Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matrizSELECTIVIDAD
►

📝 Calcula la inversa de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) por Gauss-Jordan.

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①Construye [A | I] (matriz aumentada con la identidad a la derecha):

②F₂ → F₂ − 3·F₁:

③F₂ → (−1/2)·F₂:

④F₁ → F₁ − 2·F₂:

⑤Resultado: la parte derecha es \(A^{-1}\):
\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}\)

⑥Verificación: \(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) ✅

✅ \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}\)

08
Sistema 3×3 completo con todos los pasos de FERSELECTIVIDAD
►

📝 Resuelve por Gauss-Jordan: \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}\)

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①Matriz aumentada:

②F₂ → F₂−2·F₁, F₃ → F₃−F₁:

③F₁ → F₁−F₂, F₃ → F₃−F₂:

④F₃ → (1/3)·F₃:

⑤F₁ → F₁−2·F₃, F₂ → F₂+F₃:

✅ \(x = 0,\; y = 4,\; z = 2\)

🚫 Errores más frecuentes

❌

Error 1 — Aplicar la operación a la fila entera pero olvidar algún elemento
Incorrecto: F₂ → F₂ − 2·F₁: solo restar en la parte de coeficientes, olvidar el término independiente
Correcto: La operación afecta a TODA la fila, incluida la columna de términos independientes (la de después de la barra)
👉 Trata la matriz aumentada como una unidad; opera en todas las columnas, incluyendo la de la derecha de la barra.

❌

Error 2 — Dividir una fila para normalizar pero no actualizar todos los elementos
Incorrecto: F₂ → (1/3)·F₂: solo dividir el primer elemento entre 3
Correcto: Todos los elementos de F₂ deben dividirse entre 3, incluido el término independiente
👉 Al multiplicar (o dividir) una fila, el escalar se aplica a cada uno de sus elementos sin excepción.

❌

Error 3 — Confundir fila y columna al anotar la operación
Incorrecto: Escribir "F₂ → F₂ − 2·F₁" pero restar la columna 1 a la columna 2
Correcto: Las operaciones siempre son sobre FILAS. F₂ → F₂ − 2·F₁ significa: nueva fila 2 = fila 2 − 2×(fila 1)
👉 Siempre opera fila con fila, nunca columna con columna (eso cambiaría el sistema).

❌

Error 4 — Declarar sistema sin solución cuando hay fila de ceros
Incorrecto: Ver [0,0,0|0] y declarar que el sistema no tiene solución
Correcto: Una fila de ceros completa [0,0,...,0|0] significa 0=0, que es siempre verdadero → infinitas soluciones (hay variable libre)
👉 Sin solución solo cuando la fila es [0,0,...,0|c] con c≠0. Con c=0: infinitas soluciones.

❌

Error 5 — No intercambiar filas cuando el pivote es cero
Incorrecto: Ver un 0 en la posición del pivote e intentar dividir entre 0
Correcto: Si el elemento en la posición del pivote es 0, intercambiar esa fila con alguna fila de abajo que tenga elemento no nulo en esa columna
👉 Dividir entre 0 no tiene sentido. Si el pivote es 0, busca la primera fila debajo con elemento no nulo en esa columna y haz el intercambio.

❓ Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre Gauss y Gauss-Jordan? ▼

La eliminación gaussiana solo hace la "pasada hacia abajo": crea ceros debajo de cada pivote, obteniendo una matriz triangular superior. Después se necesita sustituir hacia atrás para obtener las incógnitas. El método de Gauss-Jordan también hace la "pasada hacia arriba": crea ceros encima de cada pivote hasta obtener la FER, donde la solución se lee directamente. Gauss-Jordan es más trabajo por paso, pero elimina la sustitución.

¿Cuándo se usa Gauss-Jordan en lugar de la regla de Cramer? ▼

La regla de Cramer solo funciona cuando el sistema tiene exactamente tantas ecuaciones como incógnitas y es compatible determinado (solución única, determinante ≠ 0). Gauss-Jordan funciona para cualquier sistema: cuadrado, rectangular, incompatible, indeterminado. Para sistemas grandes (3×3 o más), Gauss-Jordan es también más eficiente en cálculo.

¿Cómo se identifican las variables libres en el sistema indeterminado? ▼

En la FER, una variable es libre si su columna no tiene pivote (no tiene un 1 en esa columna con ceros en el resto). Las variables con pivote se expresan en función de las variables libres. Se asigna un parámetro (t, s, λ…) a cada variable libre y se obtiene la solución paramétrica.

¿Puedo usar Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz? ▼

Sí. Para calcular \(A^{-1}\), se construye la matriz aumentada \([A\,|\,I]\) (la matriz A junto a la identidad del mismo tamaño) y se aplica Gauss-Jordan. Si A es invertible, el resultado es \([I\,|\,A^{-1}]\): la parte derecha es la inversa. Si A no es invertible (singular), el método lo detecta porque no se puede llevar al formato \([I\,|\,\cdot\,]\)

¿Importa el orden en que se eligen los pivotes? ▼

El orden estándar es de izquierda a derecha y de arriba abajo (pivote en la primera columna, luego la segunda, etc.). Este orden garantiza que el algoritmo termine correctamente. En la práctica, puede convenir elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto en esa columna (pivoteo parcial) para evitar errores numéricos en cálculo computacional. Para resolver a mano en un examen, el orden estándar es siempre suficiente.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 7 claves del método de Gauss-Jordan

Construye [A|b]: cada ecuación es una fila; cada incógnita, una columna
3 operaciones: Fi↔Fj · Fi→k·Fi (k≠0) · Fi→Fi+k·Fj
El pivote: primer elemento no nulo de cada fila → conviértelo en 1
Elimina: crea ceros tanto debajo como encima de cada pivote (Gauss-Jordan)
FER: pivotes = 1, resto de columna = 0 → solución directa
Sin solución: fila \([0,\ldots,0\,|\,c\neq 0]\) · ∞ soluciones: fila \([0,\ldots,0\,|\,0]\)
Inversa: aplica Gauss-Jordan a \([A\,|\,I]\) → obtienes \([I\,|\,A^{-1}]\)

🚀 ¿Te quedan dudas?

Consulta también:
Propiedades de los determinantes
y
Rango de una matriz.

Teorema de Rolle: definición y aplicaciones

Ecuaciones de la recta. Guía completa

Espero que te haya gustado este artículo sobre Método de Gauss-Jordan. Ejemplos y ejercicios resueltos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...