Problemas de optimización: método paso a paso y ejemplos ✨

hace 6 meses · Actualizado hace 1 minuto

🔍 ¿Qué son los problemas de optimización?

🔎 Índice de contenidos

🔍 ¿Qué son los problemas de optimización?
Conceptos clave: puntos críticos y extremos
📈 Criterio de la primera derivada
Tipos de problemas de optimización más frecuentes en selectividad
Método paso a paso para resolver cualquier problema de optimización
🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Los problemas de optimización consisten en encontrar el valor de una variable que hace que una cantidad sea lo más grande posible (máximo) o lo más pequeña posible (mínimo). La herramienta matemática para resolverlos es el cálculo diferencial: concretamente, el estudio de los puntos críticos de una función.

Estos problemas aparecen en multitud de contextos reales:

📦

Geometría

Maximizar área, volumen, minimizar material

💰

Economía

Maximizar beneficio, minimizar costes

🔢

Números

Maximizar/minimizar expresiones numéricas con restricciones

🏗️

Ingeniería

Diseño óptimo de estructuras y trayectorias

💡 ¿Por qué son tan importantes en selectividad?

Los problemas de optimización son uno de los temas más frecuentes en la EBAU porque integran múltiples habilidades: plantear la función objetivo, derivar, resolver ecuaciones y argumentar el resultado. Es importante que domines el método.

Conceptos clave: puntos críticos y extremos

Para resolver problemas de optimización necesitas dominar estos conceptos fundamentales:

\[ \text{Punto crítico: } x_0 \text{ tal que } f'(x_0) = 0 \text{ o } f'(x_0) \text{ no existe} \]

Los puntos críticos son los candidatos a ser máximos o mínimos. Después hay que confirmar cuáles lo son realmente.

⬆ Máximo relativo

\(f(x_0) \geq f(x)\) para todo \(x\) cercano a \(x_0\).
La función crece antes y decrece después del punto.

⬇ Mínimo relativo

\(f(x_0) \leq f(x)\) para todo \(x\) cercano a \(x_0\).
La función decrece antes y crece después del punto.

↔ Punto de inflexión

\(f'(x_0) = 0\) pero no es extremo.
La función no cambia de monotonía en ese punto.

⚠️
¡Ojo! No todo punto donde \(f'(x_0) = 0\) es un extremo. Por ejemplo, en \(f(x) = x^3\), la derivada se anula en \(x = 0\) pero es un punto de inflexión, no un extremo. Siempre hay que confirmar el tipo de punto con el criterio de la primera o la segunda derivada.

📈 Criterio de la primera derivada

El criterio de la primera derivada (también llamado criterio de monotonía) es el método más universal para clasificar los puntos críticos. Estudia el signo de \(f'(x)\) a ambos lados del punto crítico:

Máximo relativo

\(f'(x) > 0\) antes de \(x_0\) y \(f'(x) < 0\) después

La función sube y luego baja: hay un pico. En problemas de área, volumen o beneficio, buscas esto.

Mínimo relativo

\(f'(x) < 0\) antes de \(x_0\) y \(f'(x) > 0\) después

La función baja y luego sube: hay un valle. En problemas de coste o distancia, buscas esto.

Punto de inflexión (no extremo)

El signo de \(f'(x)\) no cambia a ambos lados de \(x_0\)

El punto crítico no es ni máximo ni mínimo: es un punto de inflexión horizontal. Hay que verificar siempre, no asumir que es extremo.

🧮 Tabla de signos — cómo estudiar la monotonía

Para aplicar el criterio, construye una tabla de signos con los intervalos que definen los puntos críticos:

Intervalo	\((-\infty, x_0)\)	\(x_0\)	\((x_0, +\infty)\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	↗ creciente	MÁXIMO	↘ decreciente

El criterio de la segunda derivada es más rápido cuando es aplicable, ya que no requiere estudiar la monotonía: solo calcula \(f''(x_0)\) en el punto crítico. Te ayudará esta tabla de derivadas.

\[ \text{Si } f'(x_0) = 0: \]\[ f''(x_0) < 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ es un MÁXIMO relativo} \] \[ f''(x_0) > 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ es un MÍNIMO relativo} \]\[ f''(x_0) = 0 \;\Rightarrow\; \text{no es concluyente (usa el criterio de la 1.ª)} \]

🧠 Interpretación geométrica intuitiva

La segunda derivada mide la concavidad de la función:

\(f''(x_0) < 0\): la curva es cóncava hacia abajo en \(x_0\) → forma de ∩ → máximo
\(f''(x_0) > 0\): la curva es cóncava hacia arriba en \(x_0\) → forma de ∪ → mínimo

Truco visual: ∩ parece una "M" de Máximo; ∪ parece una "m" de mínimo.

✅ Ventaja

Es más rápido: con solo calcular f''(x₀) ya sabes si es máximo o mínimo.

⚠️ Limitación

Si f''(x₀) = 0, no concluye nada. Entonces hay que volver al criterio de la primera derivada.

Tipos de problemas de optimización más frecuentes en selectividad

Conocer los tipos de problemas que aparecen en los exámenes te permite identificar rápidamente qué función plantear:

🔢Problemas de números

Dos números que cumplen una condición (su suma es k, su producto es k…). Se pide maximizar o minimizar su suma, diferencia, producto, etc.

Ejemplos: Hallar dos números cuya suma es 10 y cuyo producto es máximo; dos números positivos cuya diferencia es 5 y la suma de cuadrados es mínima.

📐Problemas de geometría plana

Rectángulos, triángulos, sectores circulares con perímetro o área fija. Se pide maximizar área o minimizar perímetro.

Ejemplos: Rectángulo inscrito en un semicírculo; rectángulo de mayor área con perímetro dado; trapecio de área máxima.

📦Problemas de sólidos

Cajas, cilindros, conos con volumen o superficie fija. Se pide maximizar volumen o minimizar superficie (material).

Ejemplos: Caja de cartón sin tapa con volumen máximo; lata cilíndrica de coste mínimo con volumen dado.

💰Problemas económicos

Funciones de coste, ingreso y beneficio. Se pide el nivel de producción que maximiza el beneficio o minimiza el coste.

Ejemplos: Precio óptimo de venta; número de unidades que maximiza el beneficio; coste mínimo de producción.

🏆Consejo de oro para selectividad: En todos los tipos, el paso más difícil es plantear la función a optimizar en una sola variable. Si el enunciado tiene dos incógnitas \((x, y)\), busca la relación entre ellas (restricción) para eliminar una y quedarte solo con \(x\). El resto del método es mecánico.

problemas de optimización

Método paso a paso para resolver cualquier problema de optimización

Sigue siempre este proceso y nunca perderás puntos por falta de rigor:

Lee con atención y define las variables: Identifica qué quieres maximizar o minimizar y qué incógnitas hay. Asigna letras: \(x\) a la variable principal, \(y\) a la secundaria si la hay. Dibuja un esquema si el problema es geométrico.

Escribe la función objetivo: Expresa la cantidad a optimizar en función de las variables. Ejemplo: si quieres maximizar el área de un rectángulo, \(f = A(x, y) = x \cdot y\).

Aplica la restricción para reducir a una variable: Si hay dos incógnitas, usa la condición del enunciado para expresar \(y\) en función de \(x\) y sustitúyela en la función objetivo. Ahora tienes \(f(x)\) con una sola variable.

Determina el dominio de f(x): Las variables suelen ser longitudes, precios, cantidades… que deben ser positivas. Escribe explícitamente el intervalo donde \(x\) tiene sentido.

Deriva f(x) e iguala a cero: Calcula \(f\'(x)\) y resuelve \(f\'(x) = 0\) para hallar los puntos críticos.

Clasifica los puntos críticos: Usa el criterio de la 1.ª derivada (tabla de signos) o el de la 2.ª derivada \(f\'\'(x_0)\) para determinar si cada punto crítico es máximo, mínimo o inflexión.

Responde a la pregunta del enunciado: Calcula el valor de la función en el extremo y responde explícitamente a lo que se pide: "el máximo es…", "las dimensiones óptimas son…", etc. No dejes la respuesta en una fórmula; escríbela en palabras.

📌 La restricción: la clave del éxito

Muchos problemas de optimización tienen dos variables pero piden una función de una sola. La "restricción" es la ecuación adicional que relaciona las variables.

Ejemplo: "Un rectángulo tiene perímetro 20 m. ¿Qué dimensiones maximizan el área?"

Función objetivo: \(A = x\cdot y\) (a maximizar)
Restricción: \(2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10 - x\)
Sustituye: \(A(x) = x(10-x) = 10x - x^2\) ← ya es una variable

📊 Tabla resumen de criterios para clasificar extremos

Criterio	Condición necesaria	Cómo clasificar	Ventaja / Limitación
1.ª Derivada	\(f'(x_0) = 0\)	Estudia el signo de \(f'(x)\) a izq. y der. de \(x_0\) + → 0 → − : máximo − → 0 → + : mínimo No cambia: inflexión	Siempre funciona. Más laborioso.
2.ª Derivada	\(f'(x_0) = 0\)	\(f''(x_0) < 0\): máximo \(f''(x_0) > 0\): mínimo \(f''(x_0) = 0\): no concluye	Más rápido. No sirve si f''(x₀) = 0.
Extremo absoluto en \([a,b]\)	Evalúa \(f\) en puntos críticos y en \(a\) y \(b\)	El mayor valor es el máximo absoluto; el menor es el mínimo absoluto	Para función continua en intervalo cerrado.

🎯
¿Cuál criterio usar? Si \(f''(x)\) es fácil de calcular, usa el criterio de la 2.ª derivada (más rápido). Si \(f''(x_0) = 0\) o si la segunda derivada es complicada, usa el de la 1.ª derivada. En selectividad, ambos son igualmente válidos.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlo tú primero! 💪

01
Problema de números: producto máximo
►

📝 Hallar dos números positivos cuya suma es 20 y cuyo producto es máximo.

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①Define variables:
Sean \(x\) e \(y\) los dos números, con \(x > 0\), \(y > 0\).

②Función objetivo: \(P = x \cdot y\) (a maximizar)

③Restricción: \(x + y = 20 \Rightarrow y = 20 - x\)
Dominio: \(x \in (0, 20)\)

④Sustituye:
\(P(x) = x(20-x) = 20x - x^2\)

⑤Deriva e iguala a 0:
\(P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10\)

⑥Criterio 2.ª derivada:
\(P''(x) = -2 < 0\) → máximo en \(x = 10\)

⑦Respuesta:
\(x = 10\), \(y = 20 - 10 = 10\)
\(P_{\max} = 10 \cdot 10 = 100\)

✅ Los dos números son \(10\) y \(10\). Producto máximo: \(\mathbf{100}\)

02
Rectángulo de área máxima con perímetro fijo
►

📝 Un rectángulo tiene perímetro \(40\) m. Halla las dimensiones que maximizan su área.

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①Variables: \(x\) = base, \(y\) = altura.

②Función objetivo: \(A = x \cdot y\)

③Restricción: \(2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 - x\)
Dominio: \(x \in (0, 20)\)

④Sustituye:
\(A(x) = x(20-x) = 20x - x^2\)

⑤Deriva e iguala a 0:
\(A'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10\)

⑥\(A\'\'(x) = -2 < 0\) → máximo en \(x = 10\)
\(y = 20 - 10 = 10\)

✅ El rectángulo de área máxima es un cuadrado de lado \(10\) m. Área máxima: \(100\) m²

03
Caja de volumen máximo
►

📝 Con una plancha cuadrada de \(12\) cm de lado se fabrican cajas sin tapa recortando cuadraditos iguales en las esquinas. ¿Qué lado \(x\) maximiza el volumen?

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①Variables: \(x\) = lado del cuadrado recortado (en cm).

②Función objetivo:
Base: \(12 - 2x\) · Altura: \(x\)
\(V(x) = x(12-2x)^2\)

③Dominio: \(x \in (0, 6)\) para que las dimensiones sean positivas.

④Expande y deriva:
\(V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3\)
\(V'(x) = 144 - 96x + 12x^2 = 12(x^2 - 8x + 12)\)

⑤Iguala a 0:
\(x^2 - 8x + 12 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-6) = 0\)
\(x = 2\) (válido) o \(x = 6\) (borde, descartado)

⑥Criterio 2.ª derivada:
\(V''(x) = 24x - 96\) → \(V''(2) = 48 - 96 = -48 < 0\) → máximo

⑦Volumen máximo: \(V(2) = 2\cdot(12-4)^2 = 2\cdot 64 = 128\) cm³

✅ Recortando \(x = 2\) cm. Volumen máximo: \(\mathbf{128}\) cm³

04
Cilindro de coste mínimo con volumen fijoAVANZADO
►

📝 Una lata cilíndrica cerrada debe tener volumen \(V = \pi\) litros. Halla el radio y la altura que minimizan la superficie total (el material).

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①Variables: \(r\) = radio, \(h\) = altura.

②Función objetivo: superficie total:
\(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) (a minimizar)

③Restricción: \(V = \pi r^2 h = \pi \Rightarrow h = \dfrac{1}{r^2}\)
Dominio: \(r > 0\)

④Sustituye:
\(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot\dfrac{1}{r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{2\pi}{r}\)

⑤Deriva e iguala a 0:
\(S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2\pi}{r^2} = 0 \Rightarrow 4\pi r = \dfrac{2\pi}{r^2} \Rightarrow r^3 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow r = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

⑥Altura óptima:
\(h = \dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{(1/\sqrt[3]{2})^2} = \sqrt[3]{4} = 2r\)
La altura óptima es el doble del radio.

✅ \(r = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\) m, \(h = \sqrt[3]{4}\) m. La lata óptima tiene \(h = 2r\).

05
Rectángulo inscrito en una parábolaAVANZADO
►

📝 Halla el rectángulo de área máxima inscrito en la región bajo la parábola \(y = 4 - x^2\) con base sobre el eje X (considerando \(x > 0\)).

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①Variables: el rectángulo tiene base \(2x\) (simétrico) y altura \(y = 4 - x^2\).

②Función objetivo:
\(A(x) = 2x\cdot(4-x^2) = 8x - 2x^3\)

③Dominio: \(x \in (0, 2)\) para que \(y > 0\).

④Deriva e iguala a 0:
\(A'(x) = 8 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{4}{3} \Rightarrow x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

⑤Criterio 2.ª derivada:
\(A''(x) = -12x < 0\) para \(x > 0\) → máximo

⑥Área máxima:
\(A = 8\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}} - 2\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \dfrac{16}{\sqrt{3}} - \dfrac{16}{3\sqrt{3}} = \dfrac{32}{3\sqrt{3}} = \dfrac{32\sqrt{3}}{9}\)

✅ Área máxima: \(\dfrac{32\sqrt{3}}{9}\) u²

06
Problema económico: máximo beneficio
►

📝 Una empresa vende \(x\) unidades con función de ingreso \(I(x) = 100x - x^2\) y función de coste \(C(x) = 20x + 600\). Halla la producción que maximiza el beneficio.

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①Función objetivo: beneficio = ingreso − coste:
\(B(x) = I(x) - C(x) = (100x - x^2) - (20x + 600)\)
\(B(x) = -x^2 + 80x - 600\)

②Dominio: \(x > 0\)

③Deriva e iguala a 0:
\(B'(x) = -2x + 80 = 0 \Rightarrow x = 40\)

④Criterio 2.ª derivada:
\(B''(x) = -2 < 0\) → máximo

⑤Beneficio máximo:
\(B(40) = -(40)^2 + 80(40) - 600 = -1600 + 3200 - 600 = 1000\)

✅ La producción óptima es \(x = 40\) unidades. Beneficio máximo: \(\mathbf{1000}\) €

07
Distancia mínima de un punto a una parábolaSELECTIVIDAD
►

📝 Halla el punto de la parábola \(y = x^2\) más cercano al punto \(A = (3, 0)\).

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①Función objetivo: distancia de \((x, x^2)\) a \((3, 0)\):
\(d = \sqrt{(x-3)^2 + x^4}\)
Es equivalente minimizar \(D(x) = (x-3)^2 + x^4\) (evitar la raíz)

②Deriva e iguala a 0:
\(D'(x) = 2(x-3) + 4x^3 = 0\)
\(4x^3 + 2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x^3 + x - 3 = 0\)

③Factoriza: prueba \(x = 1\): \(2+1-3=0\) ✅
\((x-1)(2x^2+2x+3)=0\)
El factor cuadrático no tiene raíces reales (\(\Delta < 0\))

④Punto crítico: \(x = 1\)
\(D''(x) = 12x^2 + 2\) → \(D''(1) = 14 > 0\) → mínimo

⑤\(y = 1^2 = 1\)
\(d_{\min} = \sqrt{(1-3)^2+1^4} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}\)

✅ El punto más cercano es \((1, 1)\). Distancia mínima: \(\sqrt{5}\)

08
Portería de fútbol con perímetro fijo
►

📝 Con una barra de \(6\) m se construye una portería en forma de U (dos postes + larguero). ¿Qué medidas maximizan el área de la portería?

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①Variables: \(x\) = longitud del larguero, \(h\) = altura de los postes.

②Función objetivo: \(A = x \cdot h\) (área de la portería)

③Restricción: \(x + 2h = 6 \Rightarrow x = 6 - 2h\)
Dominio: \(h \in (0, 3)\)

④Sustituye:
\(A(h) = (6-2h)\cdot h = 6h - 2h^2\)

⑤Deriva e iguala a 0:
\(A'(h) = 6 - 4h = 0 \Rightarrow h = 1.5\) m

⑥\(A''(h) = -4 < 0\) → máximo
\(x = 6 - 2(1.5) = 3\) m

✅ Larguero \(= 3\) m, postes \(= 1{,}5\) m cada uno. Área máxima: \(\mathbf{4{,}5}\) m²

OPTIMIZACIÓN Derivadas DE FUNCIONES problemas resueltos TUTORIAL 02

🚫 Errores más frecuentes en problemas de optimización

Estos son los fallos que más puntos cuestan en selectividad:

❌

Error 1 — No verificar que el punto crítico es realmente el extremo pedido
Incorrecto: Hallar \(f\'(x_0) = 0\) y concluir directamente que es el máximo/mínimo
Correcto: Siempre clasificar el punto crítico con el criterio de la 1.ª o la 2.ª derivada
👉 Un punto donde f\'(x₀) = 0 puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Hay que verificarlo siempre.

❌

Error 2 — Olvidar comprobar los extremos del dominio
Incorrecto: Para un intervalo cerrado [a, b], evaluar solo en los puntos críticos
Correcto: Evaluar f en los puntos críticos Y en los extremos a y b; el mayor valor es el máximo absoluto
👉 En un intervalo cerrado, el máximo/mínimo absoluto puede estar en los extremos del dominio, no solo en los puntos críticos.

❌

Error 3 — Plantear la función objetivo con dos variables sin reducir
Incorrecto: Escribir \(A = x \cdot y\) y derivar respecto a \(x\) tratando \(y\) como constante
Correcto: Usar la restricción para sustituir \(y = f(x)\) y obtener \(A(x)\) con una sola variable
👉 La función a optimizar DEBE expresarse en una sola variable antes de derivar. La restricción es la clave para lograrlo.

❌

Error 4 — No responder a lo que pide el enunciado
Incorrecto: Hallar \(x_0\) y dar como respuesta solo "el máximo es en \(x = 5\)"
Correcto: Calcular f(x₀) y escribir: "el máximo valor es f(5) = 25; las dimensiones son x = 5, y = 3"
👉 El enunciado suele pedir EL VALOR máximo/mínimo, no el punto donde se alcanza. Lee con atención qué se pide exactamente.

❌

Error 5 — Ignorar el dominio físico del problema
Incorrecto: Obtener x = -3 como punto crítico y aceptarlo en un problema de longitudes
Correcto: Verificar que el punto crítico está en el dominio físico (longitudes, precios… > 0)
👉 En problemas geométricos y económicos, las variables suelen ser positivas. Un punto crítico fuera del dominio se descarta.

❓ Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre máximo relativo y máximo absoluto? ▼

Un máximo relativo (o local) es el valor más alto de la función en un entorno del punto, pero puede haber valores mayores en otras partes del dominio. Un máximo absoluto (o global) es el valor más alto de toda la función en su dominio. En problemas de optimización buscamos el máximo/mínimo absoluto, que en funciones continuas en intervalos acotados se alcanza en los puntos críticos o en los extremos del intervalo.

¿Siempre hay que usar la derivada para resolver problemas de optimización? ▼

En Bachillerato, sí. La derivada es la herramienta estándar. No obstante, algunos problemas muy sencillos (como maximizar el producto de dos números cuya suma es fija) también se pueden resolver con la desigualdad de las medias aritmética-geométrica: AM ≥ GM, aunque esto no suele estudiarse en el currículo español.

¿Cuándo uso el criterio de la 1.ª derivada y cuándo el de la 2.ª? ▼

Usa el criterio de la 2.ª derivada cuando sea fácil calcular \(f\'\'(x)\) y seguro que \(f\'\'(x_0) \neq 0\). Es más rápido. Usa el criterio de la 1.ª derivada (tabla de signos) cuando \(f\'\'(x_0) = 0\) o cuando la segunda derivada sea difícil de calcular. En selectividad, ambos son igualmente válidos.

¿Puede una función no tener máximo ni mínimo absoluto? ▼

Sí. Si el dominio no es cerrado y acotado, la función puede crecer o decrecer indefinidamente sin alcanzar un máximo o mínimo absoluto. Por ejemplo, \(f(x) = x\) en \(\mathbb{R}\) no tiene ni máximo ni mínimo. En problemas de Bachillerato, el dominio físico suele ser un intervalo abierto acotado, y si hay un único punto crítico y es un máximo, se acepta que ese es el máximo absoluto.

¿Cómo sé si tengo que maximizar o minimizar? ▼

Lee con atención las palabras clave del enunciado:

Maximizar: "mayor", "máxima", "óptimo", "mejor rendimiento", "mayor beneficio", "máximo volumen/área".
Minimizar: "menor", "mínima", "más económico", "menor coste", "mínima distancia", "menos material".

Si no está claro, piensa en el contexto: una empresa quiere maximizar beneficios y minimizar costes.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 7 claves de los problemas de optimización

Lee bien el enunciado: identifica qué maximizar/minimizar y qué restricción hay
Plantea la función objetivo con todas las variables necesarias
Usa la restricción para reducir la función a una sola variable
Determina el dominio físico (longitudes, precios… positivos)
Deriva e iguala a 0 para hallar los puntos críticos
Clasifica el extremo con el criterio de la 1.ª o 2.ª derivada
Responde explícitamente con el valor máximo/mínimo y las condiciones óptimas

Estudio de una función. Guía completa

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...