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La tabla de derivadas es una herramienta imprescindible en el cálculo diferencial. En este artículo, haremos un repaso de todas las derivadas. También veremos las reglas básicas de derivación, la regla de la cadena y operaciones con derivadas. Conocer estas fórmulas te permitirá derivar de manera más eficiente.
Esta tabla será tu aliada. Desde polinomios hasta trigonometría, te mostraré cómo simplificar el proceso para resolver problemas concretos. Voy a darte las herramientas necesarias para dominar las derivadas. ¡Empezamos!
Tabla de derivadas. Funciones básicas
| Función \( f(x) \) | Derivada \( f'(x) \) |
|---|---|
| Constante \( k \) | 0 |
| Lineal \( x \) | 1 |
| Cuadrática \( x^2 \) | \( 2x \) |
| Raíz cuadrada \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| Fracción \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) |
| Exponencial \( e^x \) | \( e^x \) |
| Logaritmo natural \( \ln(x) \) | \( \frac{1}{x} \) |
| Seno \( \sin(x) \) | \( \cos(x) \) |
| Coseno \( \cos(x) \) | \( -\sin(x) \) |
| Tangente \( \tan(x) \) | \( \sec^2(x) \) |
| Cotangente \( \cot(x) \) | \( -\csc^2(x) \) |
| Secante \( \sec(x) \) | \( \sec(x) \tan(x) \) |
| Cosecante \( \csc(x) \) | \( -\csc(x) \cot(x) \) |
Tabla de derivadas completa y reglas de derivación en PDF
Funciones simples y sus derivadas
En este apartado, podrás ver paso a paso derivadas de diferentes tipos de funciones simples y ejercicios prácticos de cálculo diferencial.
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es siempre cero. Esto se debe a que la pendiente de una línea horizontal es cero en todos los puntos. Por ejemplo, la derivada de \( f(x) = 5 \) es \( f'(x) = 0 \).
Derivada de una función lineal
Para calcular la derivada de una función lineal, simplemente debes recordar que la pendiente de una línea recta es constante. La derivada de una función lineal \( f(x) = mx + b \) es igual a su pendiente \( m \). Por ejemplo, la derivada de \( f(x) = 3x + 2 \) es \( f'(x) = 3 \).
Derivada de una función exponencial
Las funciones exponenciales son de la forma \( f(x) = ax \), donde \( a \) es una constante. La derivada de una función exponencial es igual a la función original multiplicada por su constante \( a \). Por ejemplo, la derivada de \( f(x) = 2x \) es \( f'(x) = 2x \ln(2) \).
Derivada de una función logarítmica
Supongamos la función \( h(x) = \ln(x) \). Utilizamos la regla de la derivada de una función logarítmica, que establece que la derivada de \( \ln(x) \) es igual a \( \frac{1}{x} \). Por lo tanto, la derivada de \( h(x) \) es \( \frac{1}{x} \).
Sea la función \( f(x) = \log_a(x) \), donde \( a \) es la base del logaritmo. La derivada de una función logarítmica es igual a \( \frac{1}{\ln(a) \cdot x} \). Por ejemplo, la derivada de \( f(x) = \log_2(x) \) es \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} \).
Reglas básicas de derivación
En el cálculo diferencial, existen reglas fundamentales que te permitirán calcular la derivada de una función de manera más sencilla. Estas reglas son la base para el estudio de las derivadas. Además de la tabla de derivadas, debes conocer muy bien estas reglas de derivación:
Regla de la suma y la resta
La regla de la suma establece que la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas individuales. De manera similar, la derivada de la resta de dos funciones es igual a la resta de las derivadas individuales. Por ejemplo:
- Si tenemos dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), la derivada de \( f(x) + g(x) \) es igual a la derivada de \( f(x) \) más la derivada de \( g(x) \).
- Si tenemos dos funciones \( h(x) \) y \( k(x) \), la derivada de \( h(x) - k(x) \) es igual a la derivada de \( h(x) \) menos la derivada de \( k(x) \).
Imagina que tenemos las funciones \( f(x) = x^2 + 3x \) y \( g(x) = 2x - 1 \). Para calcular la derivada de la suma de estas funciones, aplicamos la regla de la derivada de la suma, que establece que la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas individuales. Así, la derivada de \( f(x) + g(x) \) es la derivada de \( x^2 + 3x \) más la derivada de \( 2x - 1 \).
- La derivada de \( x^2 + 3x \) utilizando la regla de la derivada de una función cuadrática es igual a \( 2x + 3 \).
- La derivada de \( 2x - 1 \) utilizando la regla de la derivada de una función lineal es igual a \( 2 \).
Por lo tanto, la derivada de \( f(x) + g(x) \) es \( 2x + 5 \).
Regla del producto
La regla del producto se utiliza cuando tenemos el producto de dos funciones y queremos derivarlo. Esta regla establece que la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función por la segunda función, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda función. Por ejemplo:
- Si tenemos dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), la derivada de \( f(x) \cdot g(x) \) es igual a la derivada de \( f(x) \) por \( g(x) \), más \( f(x) \) por la derivada de \( g(x) \).
Ejemplo: Sea \( f(x) = (2x + 1)(3x - 5) \). Vamos a encontrar la derivada de \( f(x) \) utilizando la regla del producto.
Paso 1: Identificamos las funciones \( u \) y \( v \) que componen \( f(x) \):
\[ u(x) = 2x + 1 \]\[ v(x) = 3x - 5 \]
Paso 2: Calculamos las derivadas de \( u \) y \( v \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 2 \]\[ \frac{dv}{dx} = 3 \]
Paso 3: Aplicamos la regla del producto \( (uv)' = u'v + uv' \):
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx} \]\[ f'(x) = 2(3x - 5) + (2x + 1)(3) \]\[ f'(x) = 6x - 10 + 6x + 3 \]\[ f'(x) = 12x - 7 \]
Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = (2x + 1)(3x - 5) \) es \( f'(x) = 12x - 7 \).
Regla del cociente
La regla del cociente se utiliza cuando tenemos el cociente de dos funciones y queremos derivarlo. Esta regla nos dice que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador. Por ejemplo:
- Si tenemos dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), la derivada de \( \frac{f(x)}{g(x)} \) es igual a \( \frac{g(x) \cdot f'(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \).
Ejemplo: Sea \( f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1} \). Encontraremos la derivada de \( f(x) \) utilizando la regla del cociente.
Paso 1: Identificamos la función numeradora \( u \) y la función denominadora \( v \):
\[ u(x) = 3x^2 + 2x - 1 \]\[ v(x) = 2x + 1 \]
Paso 2: Calculamos las derivadas de \( u \) y \( v \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 6x + 2 \]\[ \frac{dv}{dx} = 2 \]
Paso 3: Aplicamos la regla del cociente \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):
\[ f'(x) = \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \]\[ f'(x) = \frac{(6x + 2)(2x + 1) - (3x^2 + 2x - 1)(2)}{(2x + 1)^2} \]
Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1} \) es \( f'(x) = \frac{(6x + 2)(2x + 1) - (3x^2 + 2x - 1)(2)}{(2x + 1)^2} \).
Estas reglas básicas de derivación son esenciales para calcular derivadas de manera eficiente y resolver problemas más complejos. Con su aplicación, podemos obtener la derivada de cualquier función de manera más rápida y sencilla.
Sigue leyendo si quieres profundizar y entender toda la tabla de derivadas y su aplicabilidad en el cálculo diferencial.
Calculadora de derivadas
📐 Calculadora de Derivadas Paso a Paso
Primera Derivada: f'(x) representa la tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente en cada punto.
💡 Sintaxis: x^n, sin(x), cos(x), tan(x), ln(x), exp(x), sqrt(x). Ejemplos: x^2, 3*x^2+2*x, sin(x^2)
Función f(x):
📚 Reglas de Derivación:
- Regla de la potencia: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Regla de la suma: d/dx(f+g) = f' + g'
- Regla del producto: d/dx(f·g) = f'·g + f·g'
- Regla del cociente: d/dx(f/g) = (f'·g - f·g')/g²
- Regla de la cadena: d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)
- Ejemplos: d/dx(x³) = 3x², d/dx(sin(x)) = cos(x), d/dx(eˣ) = eˣ, d/dx(ln(x)) = 1/x
- Segunda derivada: f''(x) mide la concavidad (f''>0 cóncava hacia arriba)
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivada del seno y del coseno
La derivada del seno se define como el coseno de la función original, es decir:
- La derivada de \( \sin(x) \) es igual a \( \cos(x) \).
- La derivada de \( \sin(2x) \) es igual a \( 2\cos(2x) \).
En cuanto a la derivada del coseno, se define como el negativo del seno de la función original:
- La derivada de \( \cos(x) \) es igual a \( -\sin(x) \).
- La derivada de \( \cos(3x) \) es igual a \( -3\sin(3x) \).
Derivada de la tangente y la cotangente
Al calcular la derivada de la función tangente, se utiliza la fórmula del coseno al cuadrado:
- La derivada de \( \tan(x) \) es igual a \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \).
- La derivada de \( \tan(2x) \) es igual a \( 2\sec^2(2x) = 2 + 2\tan^2(2x) \).
Por otro lado, la derivada de la función cotangente se calcula utilizando la fórmula del seno al cuadrado:
- La derivada de \( \cot(x) \) es igual a \( -\csc^2(x) = -(1 + \cot^2(x)) \).
- La derivada de \( \cot(3x) \) es igual a \( -3\csc^2(3x) = -(3 + 3\cot^2(3x)) \).
Derivada de la secante y la cosecante
Para obtener la derivada de la función secante, se utiliza la fórmula secante tangente:
- La derivada de \( \sec(x) \) es igual a \( \sec(x)\tan(x) \).
- La derivada de \( \sec(3x) \) es igual a \( 3\sec(3x)\tan(3x) \).
En el caso de la función cosecante, su derivada se calcula utilizando la fórmula cosecante cotangente:
- La derivada de \( \csc(x) \) es igual a \( -\csc(x)\cot(x) \).
- La derivada de \( \csc(2x) \) es igual a \( -2\csc(2x)\cot(2x) \).
Derivadas de funciones compuestas
En el cálculo diferencial, las funciones compuestas son aquellas en las que se combinan varias funciones en una sola. Para calcular la derivada de una función compuesta, se aplica la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es el producto entre la derivada de la función exterior y la derivada de la función interior.
Aplicación de la regla de la cadena
La regla de la cadena es esencial para calcular derivadas de funciones compuestas de manera eficiente. Se utiliza en situaciones donde una función depende de otra dentro de la misma expresión.
Para aplicar la regla de la cadena, debes seguir el siguiente procedimiento:
- Derivar la función exterior según las reglas generales de derivación.
- Derivar la función interior según las reglas generales de derivación.
- Multiplicar la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior.
Este proceso te permitirá encontrar la derivada de la función compuesta.
Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas compuestas
Por ejemplo, si tenemos una función como \( f(x) = \ln(e^x) \), donde la función interior es \( e^x \) y la función exterior es \( \ln \), podemos aplicar la regla de la cadena para obtener su derivada. En este caso, la derivada sería:
\[ f'(x) = \frac{1}{e^x} \cdot e^x = 1 \]
En este ejemplo, la derivada de la función compuesta \( f(x) \) es constante.
En esta entrada escribí acerca de derivadas del logaritmo neperiano. Puedes echarle un vistazo si tienes dudas.
Derivación de otras funciones compuestas
Además de las funciones exponenciales y logarítmicas, la regla de la cadena se puede aplicar a otras funciones compuestas, como funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, entre otras.
Por ejemplo, si tenemos una función como \( f(x) = \sin(2x) \), donde la función interior es \( 2x \) y la función exterior es el seno, podemos aplicar la regla de la cadena para calcular su derivada. En este caso, la derivada sería:
\[ f'(x) = 2 \cdot \cos(2x) \]
En este ejemplo, la derivada de la función compuesta \( f(x) \) nos da información sobre cómo varía la función seno en función de \( x \).
Para derivar la función \( f(x) = (2x^2 + 3x)^3 \) utilizando la regla de la cadena, seguimos estos pasos:
1. Identificamos la función externa \( u \) y la función interna \( v \):
\[ u = (2x^2 + 3x) \]\[ v = u^3 \]
2. Calculamos las derivadas de \( u \) y \( v \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 4x + 3 \]\[ \frac{dv}{du} = 3u^2 \]
3. Aplicamos la regla de la cadena que establece que \( \frac{d}{dx}[v(u)] = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{d}{dx}[(2x^2 + 3x)^3] = 3(2x^2 + 3x)^2 \cdot (4x + 3) \]
Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = (2x^2 + 3x)^3 \) es:
\[ \frac{d}{dx}[(2x^2 + 3x)^3] = 3(2x^2 + 3x)^2 \cdot (4x + 3) \]
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Función} & \text{Derivada} \\
\hline
\arcsin(x) & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
\arccos(x) & -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
\arctan(x) & \frac{1}{1+x^2} \\
\text{arccot}(x) & -\frac{1}{1+x^2} \\
\text{arcsec}(x) & \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \quad \text{para } |x| > 1 \\
\text{arccsc}(x) & -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \quad \text{para } |x| > 1 \\
\hline
\end{array}
\)
Las funciones trigonométricas inversas son aquellas que nos permiten encontrar el ángulo correspondiente a un valor dado de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante. Estas funciones también son de gran importancia en el cálculo de derivadas. Aquí tienes un par de ejemplos:
\(
\begin{align*}
1. \quad & \text{Derivada de } \arctan(3x): \\
& \frac{d}{dx}(\arctan(3x)) = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + 9x^2} \\ \\
2. \quad & \text{Derivada de } \arcsin(2x): \\
& \frac{d}{dx}(\arcsin(2x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}
\end{align*}
\)
Espero que estos ejemplos prácticos de tablas de derivadas te hayan ayudado. Recuerda practicar y resolver más ejercicios para mejorar tu comprensión y habilidad para calcular derivadas.
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Se podría mejorar la tabla de derivadas, incluyendo ejemplos más variados de las reglas de derivación
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