¿Qué es el número e? ¿Qué valor tiene? ¿De dónde procede?
Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias.
Y allí apareció el número e, caído del cielo de los logaritmos naturales. Entonces no pregunté de donde venía, ni tampoco me lo contaron. Sólo nos dijeron que e era la base de los logaritmos naturales o neperianos y punto.
🔎 Índice
El número e
¿Qué tienen en común una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias?
No tienes que irte demasiado lejos. El número e te dará la respuesta.
Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad.
Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ, i, e).
El número e no están famoso ni tiene tanta historia como el popular número π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial y está muy relacionado con el cálculo (al igual que π frecuenta lugares geométricos).
No es un número perfecto, pero surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos.
Aunque no lo percibas, el número e es importante en tu vida cotidiana.
Orígenes del número e
En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.
Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras.
Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.
¿Cuál es el valor del número e?
También se le llama valor de Euler. Al igual que π, el número e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional.
Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2’7182818284 …
Ya sabes cuanto vale euler 😉 Nuestro querido e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta.
¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, otros número decimales como 2’1569 o 3’3267?
¿Cómo se puede calcular?
Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente fórmula:
El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2, que se obtiene sustituyendo n por 1 en la fórmula anterior y operando:
Vamos a acercarnos un poco más. Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia.
Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así:
Con la ayuda de una calculadora (algún día hablaré sobre su uso en las aulas) puedes aproximarte mucho a este fantástico número. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2’71828 …
En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a una cifra menor que 2’72
Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e.
¿Por qué se llama número e?
El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad.
Es probable que e ni siquiera venga de "exponencial" sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo.
En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta:
Recuerda lo que significa el símbolo factorial (!) 4!=4·3·2·1
Como puedes ver es otra forma de obtener el número e, sumando esta seria infinita. Cuantos más términos sumes en esta serie, tanto más te acercarás al valor numérico de e.
No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler, al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número.
Algunas ecuaciones donde aparece el número e
➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es:
Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña.
➨ Una de las numerosas aplicaciones de este número en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones (como bacterias). Cuando no hay factores que limiten el crecimiento, se aplica esta fórmula:
Que te permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0.
➨ Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad va desapareciendo lentamente. La función que regula esta desintegración se determina mediante esta fórmula:
donde Q es la cantidad final de carbono 14, Qo es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.
➨ En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la que siempre se ajusta el estudio de cualquier población suficientemente grande), siempre está presente el número e
➨ Da el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones:
Como se llama e
| Nombre | Descripción |
|---|---|
| Número e | El número e es una constante matemática que es la base del logaritmo natural. Aproximadamente, su valor es 2.71828. |
| Constante de Euler | Es otro nombre con el que se conoce al número e, en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien popularizó su uso. |
| Base del logaritmo natural | El número e se utiliza como base para los logaritmos naturales, debido a sus propiedades únicas en el cálculo y análisis matemático. |
| Número de Napier | Este término se refiere al número e, en reconocimiento al matemático John Napier, quien hizo contribuciones significativas al concepto de logaritmos. |
Curiosidades del número e
La notación e aparece por vez primera en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731.
- La pasión que llevó a tantos matemáticos a calcular π con más y más decimales nunca se dio para el caso de e.
- Regla mnemotécnica para recordar el número e: "El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme" El número de letras de cada palabra equivale a las cifras de nuestro protagonista.
- O puedes aprenderte una curiosa pauta. Observa que después del "2,7" el número "1828" aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45° 2,7 1828 1828 45 90 45 Ehh! Parece un número bien ordenado y listo!
- Usando fracciones la mejor aproximación a e es 87/32. Nada impactante. Pero usando 3 dígitos, la mejor fracción es 878/323. Sorprendente.
- En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales). π y e^π también lo son.
- Ernest V. Wright escribió la novela "Gadsby", de unas 50 mil palabras sin la letra e.
Aparece en una identidad revolucionaria, la fórmula más extraordinaria de todas las matemáticas. La identidad de Euler incluye a los números más famosos de las matemáticas.
Ejemplos del número e
| Ejemplo | Descripción | Relación con e |
|---|---|---|
| Crecimiento Exponencial | Crecimiento de una población de bacterias. | La población se modela con la fórmula P(t) = P₀ert, donde e es la base del crecimiento exponencial natural. |
| Interés Compuesto | Cálculo de interés compuesto en una cuenta bancaria. | El valor futuro de una inversión se puede calcular con A = P(1 + r/n)nt. Cuando n tiende a infinito, la fórmula converge a A = Pert, utilizando el número e. |
| Distribución Normal | Estadística y probabilidad de eventos aleatorios. | La función de densidad de una distribución normal estándar es (1/√(2π))e-(x²/2), donde e aparece en la base del exponente. |
| Decaimiento Radioactivo | Desintegración de sustancias radioactivas. | La ley de decaimiento radioactivo se describe con N(t) = N₀e-λt, donde N₀ es la cantidad inicial y e es la base del exponente negativo. |
| Ecología | Modelado de dinámicas de poblaciones en ecología. | El modelo logístico de crecimiento de población incorpora e para describir la saturación de poblaciones: P(t) = K / (1 + (K - P₀)/P₀ e-rt). |
| Matemáticas Financieras | Valorización de derivados financieros. | En la fórmula de Black-Scholes para la valoración de opciones, el descuento del valor presente utiliza e en la forma e-rt, donde r es la tasa libre de riesgo y t el tiempo. |
| Medicina | Modelos de crecimiento tumoral y propagación de enfermedades. | Los modelos de crecimiento de tumores o la propagación de enfermedades infecciosas frecuentemente involucran tasas de crecimiento que siguen funciones exponenciales con base e. |
| Ingeniería | Análisis de circuitos eléctricos. | La respuesta temporal de un circuito RL o RC a una entrada de voltaje es una función exponencial que implica el número e, como en la fórmula V(t) = V₀(1 - e-t/τ). |
Espero que te haya sido útil. Me gustaría conocer tu opinión sobre la omnipresencia del número e. ¿Qué te parece? A mí me encanta.
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Carlos Fernández dice: El sitio me parece muy bueno, me gustaría que incluya algunos problemas cotidianos donde se utilice o este presente el número e en la naturaleza
- Justo Fernández dice:
¡Muchas gracias Carlos! A ver si un día saco tiempo y amplio el artículo con tu acertada sugerencia.
Saludos!
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- Martin dice:
Cordial saludo.
Cuando ví cálculo en el colegio, el profesor explicó que este número encerraba una especie de paradoja porque su valor debía ser 1 si se aplicaban las reglas conocidas en la fórmula que el estaba usando, sin embargo a continuación demostraba su valor real.
He tratado de encontrar más información sobre el razonamiento de mi profesor, pero no he encontrado la mención a esta supuesta curiosidad. En ese momento me sorprendió muchísimo que las matemáticas pudieran parecer contraintuitivas, si cabe decirlo así.
Saludos!
- Justo Fernández dice:
Hola Martín. Interesante observación la que haces
Tal vez podráimos decir que el número e es un límite que vale la unidad cuando n tiende a 1.
Gracias por comentar. Saludos!
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- Cesar Alberto Goycochea Campos dice:
Buenas noches por lo poco que puedo apreciar al ver la gráfica que aparece más atrás hay un techo no llega a tocar el 3 pero hay infinitas cantidad de números que se pueden usar para representar esa función es creciente y se puede decir que el 3 representa el número infinito en esta función hay una especie de cambio de referencia lo que la hace un tanto de interés para usarla como herramienta de cálculo
- Justo Fernández dice:
Gracias por comentar César.
No acabo de entender lo que dices. Como comento en el artículo, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2’72, se estabilizan hacia el número e. La línea horizontal del 3, aparece como referencia visual del número natural más próximo.
Saludos- Mónica dice:
Maravillosa explicación. Porque? hay profesores q no explican usando la sensillez y profundidad q existe en todo lo q nos rodea, y se centran solo en el cálculo. Es muy interesante y motivador conocer cómo surgen
esos pensamientos y el desarrollo q lo llevó a descubrir esas características, o cualidades que nos hablan de la magneficencia de la Vida! Gracias por la explicació, me dieron ganas de estudiar todo esto, no sólo por el cálculo, es q comprenderíamos más que todo, tiene que ver con todo! ?????
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- Edilberto dice:
Excelente artículo. Podrías explicar:
¿como se calcula el valor de n que produce el resultado de e= 2.7183 y de cuanto es?
Gracias- Justo Fernández dice:
Gracias! Disculpa la tardanza en contestar.
Edilberto, el número e tiene infinitos decimales, obtienes un valor más preciso cuanto mayor es n.
Si quieres aproximarte a esas 4 cifras decimales, solo tienes que sustituir el valor de n en el límite. Por ejemplo para un valor de n=2000 --> e=2'7176025...
Saludos!
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- Miguel Angel Rodríguez Martín dice:
Me parece muy buen trabajo , nada aburrido e incluso divertido curioso y muy útil.
- Gema Cunuhay dice:
Buenas noches me gustaria saber en que se aplica el numero "e" en las matematicas
- Justo Fernández dice:
Hola Gema!
El número e es la base de los logaritmos naturales o neperianos (inventados por John Napier). Principalmente juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la función exponencial, en el análisis complejo y el álgebra.
Saludos!
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- Lucíaaaa dice:
Me encanta esta pagina! La explicación esta muy bien hecha. Gracias Justo por esto.
Un abrazo!- Justo Fernández dice:
Muchas gracias por tu comentario Lucíaaa!! Que contento se pone uno cuando lee estas cosas 😉
Un abrazo!
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- Pingback: Calculo. – Proyecto verde
- Jaime Ibáñez Iriarte dice:
No consigo encontrar ninguna explicación completa de cómo se descubrió el número e (aparte de la de Bernouilli), ni de porqué los logaritmos en base e se llaman naturales, ni porqué la integral de y = 1/x es ln x. Lo que más se acerc:a es la explicación de Wikipedia :
"El número e es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales"
Pero ahí me quedo. Alguien puede aportar algo? Muchísimas gracias - Alejandro dice:
Hola muy buen articulo te quería pedir un favor necesito una aplicación de los números irracionales en la vida cotidiana que no sea tan técnica ni profesional, algo simple si me puedes ayudar te lo agradecería mucho
- Raul Lopez Garcia dice:
Me gustaria saber:
1. Como se llama el autor de este interesante articulo
2. Cual es su nacionalidad
3. Cual es su licenciatura
4. A que se dedica
5. Como se descubrio el numero e
6. Foto del autor.
7. El solicitante y servidor es Raul Lopez Garcia. Matematico, egresado de la Universidad Nacional Autonoma de Mexico
Tengo 73 años. Doy clases en la UNITEC de la Ciudad de Mexico
8. Me ha dado mucho gusto leer este articulo- Justo Fernández dice:
Muchas gracias Raúl. Te escribo ahora un mensaje a tu email.
Saludos!
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si pones en la calculadora la raiz cuadrada de 7.3891 te salen los 6 primeros numeros de "e" espero les interese
- Sergio dice:
Y si calculas la raíz cuadrada de 7.389056 te salen 8 cifras y así podría continuar, tan sólo elevando e al cuadrado y hurtándole a ese numero mas cifras ¿Cuál es el chiste de esto?
- Justo Fernández dice:
Hola Sergio. El número e tiene infinitos decimales no periódicos, es un número irracional.
Te puedes aproximar a el, pero al igual que PI, es un número infinito, y eso no es cosa de chiste ...
Saludos!
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- Jamil Saa dice:
Me facilitarias tu nombre y Apellido, es para la bibliografia de un trabajo escolar, gracias.
- Justo Fernández dice:
Sin problemas Jamil. En la página de inicio https://soymatematicas.com/ tienes todos mis datos.
Gracias a tí. Saludos!
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- Justo Fernández dice:
Muchas gracias Giovanni! Estoy en un pueblecito de Castellón llamado Vall d'Alba, rodeado de montañas.
Un abrazo!
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- Iñigo dice:
Pero, ¿a quién se le ocurre y porque desarrollar (1+1/n)n?, a mi se me puede ocurrir (1+1/n)n-1 por ejemplo.
No termino de entender el origen de e. El de PI es muy fácil, es la relación entre el radio y el perimetro en un circunferencia pero, ¿que es e?, ¿el limite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n?, pero ¿qué representa?.
Una gran idea tener este tipo de páginas de divulgación.
- Miguel dice:
Eso me he pregunto yo. Y cuál es la razón de qué aparezca en las fórmulas. Está claro que son así y funcionan y tal pero ¿cuál es la razón de qué se tenga que elevar una variable a e? Esto nunca lo explican.
- Sergio dice:
La cosa es más o menos así.... el número "e" nace de un comportamiento especial la cual se da en una especie de "re-calculo" sobre una cantidad de intervalos cada vez más y más grande, por ejemplo, si en tenemos un aumento de por 100% de una unidad de en un día, al final del día tendremos el doble de esa unidad, es decir "2", luego, si partimos dicho intervalo tendremos 2 intervalos (de 12 hs cada uno) y el crecimiento de la unidad a las 12hs será de un 50% , es decir 1,5, y luego de 12hs más habrá crecido un 50% más de es 1,5, es decir que al final del día tendrá 1,5 más 50% de 1,5, es dará 2,25... si ahora partimos el día en un número mayor de intervalos, por ejemplo, en 4 (cada uno de 8 hs, cada uno con un 25% de crecimiento) y re-calculamos esto nos dará algo mayor 2,25, y si seguimos partiendo cada vez más el día en una mayor cantidad de intervalos (infinitos intervalos) llegaremos al resultado famoso del 2,718281.....=e.
Bien, luego a un genio se le ocurrió expresar las cuentas anteriores de una forma genérica matemática quedando (1+1/n) ^n y cuando n es muy grande (en lo posible infinito) dicha cuenta será el número "e". Ahora bien, todo lo anterior aun no explica porque dicho número aparece acá y por allá. La respuesta es que en realidad dicho número no se da por si solo, uno la detecta dentro de otra expresión, es decir, si por ejemplo, en un laboratorio se observa que la expresión (2x+2/2x-4) ^3x describe el crecimiento de la temperatura de un determinado compuesto...tú, ¿vez por algún lado al número "e"? Sin embargo es posible que este escondido dentro de la expresión (2x+2/2x-4) ^3x ...pero ...¿dónde? Bien, si la expresión dada se reescribe de otra forma, una forma similar a (1+1/n) ^n entonces hemos descubierto al número "e" dentro de la expresión f(x)=(2x+2/2x-4) ^3x ...esta última expresión también se puede escribir de esta otra forma: f(x)= (1+ 1/((2x-4)/6)^(((2x-4)/6).(6/(2x-4)).3x)...(cómo llegué a eso es otro tema, solo creeme que f(x)=(2x+2/2x-4) ^3x es igual a f(x)= (1+ 1/((2x-4)/6)^(((2x-4)/6).(6/(2x-4)).3x) ...Bien, ahora, la parte que dice (1+ 1/((2x-4)/6)^(((2x-4)/6) es en "forma" idéntica a (1+1/n) ^n. Por lo tanto, (1+ 1/((2x-4)/6)^(((2x-4)/6) = e y entonces la expresión completa se puede escribir como: f(x)=e^.(6/(2x-4)).3x). Escribiendo las formulas viendo a "e" de manera explicita no ayuda a entender mejor las características de las gráficas de las formulas. Aclaración: muchas formulas se puede escribir en función de "e" y otras tantas no.- Justo Fernández dice:
Muchas gracias por tu interesante y extensa aportación Sergio.
Saludos!
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- Anónimo dice:
Muy buen artículo, nuestra profesora de matemáticas nos lo ha enseñado y debo decir que explicas mejor que ella. Espín, si lees esto que sepas que no sabes explicar mates.
- Justo Fernández dice:
Gracias por tus ánimos. Yo también doy clases en un instituto y tienes que saber que es más difícil explicar para un grupo variado de alumnos que escribir un artículo.
Seguro que tu profesora pone todo su empeño en ayudarte. Intenta aprovechar sus enseñanzas y disfruta de las mates.
Saludos 😉
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- Oskdin dice:
Un fantástico articulo, la información muy concisa y lo principal instructiva.
- Juan Luna dice:
Estimado Justo:
Me ha gustado mucho tu artículo sobre el número e. Sinceramente, te felicito.
Un reto interesante es acercar este concepto a los estudiantes.
Pienso que este video que encontré puede ayudar.Saludos cordiales.
Juan- Justo Fernández dice:
Muchas gracias Juan ;-)) Buena aportación. Adrián Paenza es un excelente comunicador y hace una gran labor divulgando matemáticas. Tiene libros y vídeos muy recomendables Saludos!
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- Ana Zàrate dice:
Soy profesora de Educ. Primaria y quisiera saber si podrás compartir algunos temas interesantes pero no del nivel del " número e", por ejemplo pero que pueda compartir con mis niños y les motive a aprender más. Muchas gracias.
- Justo Fernández dice:
Hola Ana! Me encantaría, pero el blog está más enfocado a secundaria y bachillerato. Ahora mismo te envío a tu email algunos enlaces que te pueden venir bien. En esas edades lo mejor es que "toquen las matemáticas" y se diviertan jugando. Saludos 😉
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- Jarods dice:
Hace poco me uni a este foro y la verdad me han parecido interesantes y amenos los articulos. Espero seguir leyendo más.
Gracias por el trabajo.- Justo Fernández dice:
Bienvenido Jarods! Me alegro que te guste el blog. Mi intención es escribir un artículo a la semana. Un abrazo.
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- Edgar dice:
En donde dices que Φ tambien es trascendente esta mal, ya que Φ es una solucion de la ecuacion x^2-x-1=0.
Salvo que con Φ te refieras a un numero distinto al numero aureo- Justo Fernández dice:
Tienes toda la razón Edgar. Gracias por darte cuenta y comentarlo. Ya lo he corregido. Saludos!
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- JORGE dice:
Hace poco descubri el sitio y me parece genial .Sobre el tema le dejo un link
didacta21.com/documentos/revista/Junio10_Vallejo_Lopez_Fernando.pdf
- Justo Fernández dice:
Gracias Jorge! Buena aportación para profundizar en el número e. Saludos!
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- Justo Fernández dice:
Muchas gracias Luis. Me alegra mucho que te gusten mis artículos.
Un abrazo!
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