¿Números perfectos? Hace unos días estaba con un alumno de bachillerato resolviendo unos problemas. El resultado de uno de ellos fue de 6 metros cuadrados.
— Bien Oscar! Has acertado, además es un número perfecto!
— Cómo que perfecto? Es sólo un seis barrigón (ya me tiene confianza)
— Jajaja, ¿No os han explicado qué es un número perfecto en clase?
— Qué va! ¿Qué significa?

A veces me pregunto porqué cuesta tanto mostrar la belleza de las matemáticas, cuando esta se nos presenta en muchos ejemplos en nuestra vida diaria. Creo que los alumnos disfrutarían más en sus clases.
Hoy me gusta mucho la historia. De pequeño la detestaba porque recuerdo que me hacían memorizar unos recuadros resumen al final del tema. ¿A ti también? ¡Cuánto nos perdimos entonces! Menos mal que hoy hay buenos documentales …
Siento que hoy muchos chavales aborrecen las mates por razones similares. Ahí lo dejo.

Números perfectos

Para muchos alumnos sin dudarlo, su número perfecto sería el 10.
Los pitagóricos tenían otra concepción del número perfecto y creían que el 10 podía serlo porque el número de primos entre 1 y 10 (2,3,5,7) era igual al de no primos (4,6,8,9), y este era el número más pequeño que tenía esta interesante propiedad.
Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es un número perfecto.
Las propiedades exclusivas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en sus Elementos y estudiados a fondo cuatro siglos después por Nicómaco.

 

¿Piensas que hay muchos números perfectos?

El primer número perfecto es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3.  1+2+3=6   Los pitagóricos estaban tan encantados con el número 6 y con la forma en que sus partes encajaban juntas que lo llamaron “matrimonio, salud y belleza”
El segundo número perfecto es el 28. Lo comprobamos fácilmente sumando sus divisores 1+2+4+7+14=28.

Números perfectos, el 28

Estos dos números, ellos solitos, son la base de la perfección en el maravilloso mundo de los números. ¿Por qué? Porque todo número perfecto par siempre acaba en 6 o en 28.
Tenemos que “saltar” hasta el 496 para encontrar otro número perfecto. Compruébalo tu mismo :  496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
Entre los primeros 30 millones de números sólo encontrarás  4 números perfectos! Te dejo el cuarto por si quieres comprobar su perfección. El 8.128. Aquí tienes una lista de los números perfectos. Como verás los primeros cinco ya se conocían en el siglo XVI.

 

¿Hay relaciones geométricas al hablar de números perfectos?

A Pitágoras y sus discípulos, les encantaban las conexiones geométricas. Y es allí donde se encuentra la perfección. Porque todos los números perfectos son números hexagonales; los más grandes siempre se pueden disponer en torno a un collar hexagonal. Como puedes ver en la siguiente imagen, podemos representar al número 28 como un número hexagonal. Viva la geometría!

Ejemplo de números hexagonales

 

Y la naturaleza que es muy sabia también utiliza los hexágonos. Sí, las colmenas de las abejas!
La forma más eficiente de cubrir el plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Rellenar el plano de la forma más eficaz significa que a igualdad de área con otro “rellenado” el perímetro total será menor.
números hexagonales
Bien saben las abejas que los hexágonos son las formas más eficaces para construir los paneles de miel (usando la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas).Esto mismo pensaba Pappus de Alejandría (s. III d.C), pero tuvieron que pasar muchos siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999  lo que hoy se conoce como el teorema del panal.
¿Quieres sonreír? Te recomiendo que veas este monólogo sobre teoremas y el amor del genial Eduardo Sáenz de Cabezón, donde habla de Pappus y las abejas.

 

 

Los números de Mersenne

Un número de Mersenne se construye a partir de las potencias de 2. Siempre tiene la forma \(2^{n}-1\). Por ejemplo para n=3, se obtiene el número 7. Enseguida podrás comprobar que siempre son números impares.
Y aquí entrar a jugar los omnipresentes números primos. Porque sólo aquellos números de Mersenne que también son primos (indivisibles!), son la clave para construir números perfectos.

 

Números primos de Mersenne

Mersenne sabía que sólo podía obtener un número primo si la potencia n era un número primo. Pero ¿bastaba con eso? No! Los números primos no son tan sencillos …
Por ejemplo, para el un número primo 11 se obtiene que  \(2^{11}-1=2.047=23\cdot 89\) , por tanto no es primo.
Es decir, tampoco hay ningún patrón ni regla establecida. En la recta numérica no es nada fácil encontrar esta clase de números. Entre los primeros cien mil números sólo se encuentran 5 primos de Mersenne.
La serie de los primos de Mersenne comienza con:  3, 7, 31, 127, 8191, 131071,…
Observa que los números perfectos se pueden obtener como la mitad del producto entre un primo de Mersenne y el número que le sigue. Aquí puedes ver algunos ejemplos para obtener estos números admirables:
Ejemplos de números perfectos

Una forma de obtener números perfectos

El gran Leonhard Euler aportó el octavo primo de Mersenne en el año 1732. Es el siguiente \(2^{31}-1=2.147.483.647\)
Gracias al uso de potentes ordenadores, hasta la fecha se han descubierto 45 números primos de Mersenne.

 

Números perfectos impares

¿Se hallará alguna vez algún número perfecto impar? Nadie no sabe. Parecería poco menos que un milagro que apareciera por las condiciones que tendría que cumplir. Nadie ha podido demostrar que no existan, pero a veces la intuición falla …

 

Espero que te hayan gustado estas curiosidades matemáticas. ¿Conocías los números perfectos? ¿Te los habían explicado en clase?
Fuentes 1  2
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