En este post te voy a hablar sobre los números perfectos y veremos algunos ejemplos.
¿Números perfectos?
Hace unos días estaba con un alumno de bachillerato resolviendo unos problemas. El resultado de uno de ellos fue de 6 metros cuadrados.
— Bien Oscar! Has acertado, además es un número perfecto!
— Cómo que perfecto? Es sólo un seis barrigón (ya me tiene confianza)
— Jajaja, ¿No os han explicado qué es un número perfecto en clase?
— Qué va! ¿Qué significa?
A veces me pregunto porqué cuesta tanto mostrar la belleza de las matemáticas, cuando esta se nos presenta en muchos ejemplos en nuestra vida diaria. Creo que los alumnos disfrutarían más en sus clases.
Hoy me gusta mucho la historia. De pequeño la detestaba porque recuerdo que me hacían memorizar unos recuadros resumen al final del tema. ¿A ti también? ¡Cuánto nos perdimos entonces! Menos mal que hoy hay buenos documentales …
Siento que hoy muchos chavales aborrecen las mates por razones similares. Ahí lo dejo.
Qué son los números perfectos
Para muchos alumnos sin dudarlo, su número perfecto sería el 10.
Los pitagóricos tenían otra concepción del número perfecto y creían que el 10 podía serlo porque el número de primos entre 1 y 10 (2,3,5,7) era igual al de no primos (4,6,8,9), y este era el número más pequeño que tenía esta interesante propiedad.
Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es un número perfecto.
Las propiedades exclusivas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en sus Elementos y estudiados a fondo cuatro siglos después por Nicómaco.
Cuales son los números perfectos
¿Cuál es el menor número perfecto?
El menor número perfecto, que también es el primero es el 6.
Sus divisores son 1, 2 y 3. 1+2+3=6 Los pitagóricos estaban tan encantados con el número 6 y con la forma en que sus partes encajaban juntas que lo llamaron “matrimonio, salud y belleza”
El segundo número perfecto es el 28. Lo comprobamos fácilmente sumando sus divisores 1+2+4+7+14=28.
Estos dos números, ellos solitos, son la base de la perfección en el maravilloso mundo de los números. ¿Por qué? Porque todo número perfecto par siempre acaba en 6 o en 28.
Tenemos que “saltar” hasta el 496 para encontrar otro número perfecto. Compruébalo tu mismo: 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
Lista de números perfectos
Entre los primeros 30 millones de números sólo encontrarás 4 números perfectos! Te dejo el cuarto por si quieres comprobar su perfección. El 8.128. Aquí tienes una lista de los números perfectos. Como verás los primeros cinco ya se conocían en el siglo XVI.
¿Hay relaciones geométricas al hablar de números perfectos?
A Pitágoras y sus discípulos, les encantaban las conexiones geométricas. Y es allí donde se encuentra la perfección. Porque todos los números perfectos son números hexagonales; los más grandes siempre se pueden disponer en torno a un collar hexagonal. Como puedes ver en la siguiente imagen, podemos representar al número 28 como un número hexagonal. Viva la geometría!
Y la naturaleza que es muy sabia también utiliza los hexágonos. Sí, las colmenas de las abejas!
La forma más eficiente de cubrir el plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Rellenar el plano de la forma más eficaz significa que a igualdad de área con otro “rellenado” el perímetro total será menor.
Bien saben las abejas que los hexágonos son las formas más eficaces para construir los paneles de miel (usando la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas).Esto mismo pensaba Pappus de Alejandría (s. III d.C), pero tuvieron que pasar muchos siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999 lo que hoy se conoce como el teorema del panal.
¿Quieres sonreír? Te recomiendo que veas este monólogo sobre teoremas y el amor del genial Eduardo Sáenz de Cabezón, donde habla de Pappus y las abejas.
Los números de Mersenne
Un número de Mersenne se construye a partir de las potencias de 2. \(2^{n}-1\) Por ejemplo para n=3, se obtiene el número 7. Enseguida podrás comprobar que siempre son números impares.
Y aquí entrar a jugar los omnipresentes números primos. Porque sólo aquellos números de Mersenne que también son primos (indivisibles!), son la clave para construir números perfectos.
Números primos de Mersenne
Mersenne sabía que sólo podía obtener un número primo si la potencia n era un número primo. Pero ¿bastaba con eso? No! Los números primos no son tan sencillos …
Por ejemplo, para el un número primo 11 se obtiene que \({ 2 }^{ 11 }-1=2047=23·89\) , por tanto no es primo.
Es decir, tampoco hay ningún patrón ni regla establecida. En la recta numérica no es nada fácil encontrar esta clase de números. Entre los primeros cien mil números sólo se encuentran 5 primos de Mersenne.
La serie de los primos de Mersenne comienza con: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071,…
Observa que los números perfectos se pueden obtener como la mitad del producto entre un primo de Mersenne y el número que le sigue. Aquí puedes ver algunos ejemplos para obtener estos números admirables:
El gran Leonhard Euler aportó el octavo primo de Mersenne en el año 1732. Es el siguiente \(2^{31}-1=2.147.483.647\)
Gracias al uso de potentes ordenadores, hasta la fecha se han descubierto 45 números primos de Mersenne.
Números perfectos impares
¿Se hallará alguna vez algún número perfecto impar?
Nadie lo sabe. Parecería poco menos que un milagro que apareciera por las condiciones que tendría que cumplir. Nadie ha podido demostrar que no existan, pero a veces la intuición falla …
Espero que te hayan gustado estas curiosidades matemáticas. ¿Conocías los números perfectos? ¿Te los habían explicado en clase?
Deberiais hacer mucho mas articulos como este. Gracias Saludos
Muy interesante este Blog. También puedo comprobar que hay propiedades que no aparecen en los distintos Blogs (P.e. la demostración de que todo Nº Perfecto acaba en 6 U 8 .No es difícil . Yo lo demostré basándome en que 2^4 = 16 y todo primo p = 4n+1 o p = 4n+3 ; así mismo basándome en que todo primo de Mersenne = 4n+3.) . Muy interesante la propiedad / conjetura de Marcos Fernández . Os propongo otra propiedad que he apreciado, y es que todo Nº Perfecto = múltiplo de 9 + 1 ( +1). No lo he visto en ningún blog. Os lo dejo por si os apetece tratar de demostrarlo; seguro que podréis. en unos días os pasaré la demostración que conseguí.
Un cordial saludo
José Manuel Corominas
Muchas gracias por tus palabras y por tu aportación matemática.
La verdad es que actualmente apenas tengo tiempo para «meterme» con estas interesantes demostraciones. Pero da gusto leer a gente disfrutando de belleza de las matemáticas.
Un abrazo José Manuel
En la lista proporcionada parece haber una errata en el número en posición 49.
No sé exactamente a lo que te refieres Ignacio.
Gracias por comentar. Saludos!
Tengo una fórmula para generar los enesmos números perfectos. Cómo haría para registrarla y que se me de reconocimiento por ella. Agradezco su información al respecto gracias. Valoraria mucho me enviara información a mi correo..
La verdad es que no tengo idea sobre esto. Puedes pedir información a la Real Sociedad Matemática Española – RSME, u otro organismo similar.
Suerte Alexander. Un abrazo
Supongamos que tenemos un número N perfecto impar, entonces la suma de sus divisores propios debe ser impar. Pero resulta que los divisores de un número impar son todos impares, porque si hubiera al menos uno par sería divisible por 2 con lo cual haría absurda la hipótesis de N impar.
Ahora bien, como la suma de los divisores propios es impar y siendo 1 uno de sos divisores, entonces la suma de todos los demás divisores propios debe par, ya que si fuera impar al sumarle 1 quedaría par y nuevamente haría absurda la hipótesis de N impar.
Como los divisores son todos impares y la suma de los divisores propios – 1 es par, entonces se tiene que la cantidad de esos divisores propios sin el 1 debe ser una cantidad par de números.
Teniendo en cuenta que todos los cuadrados de un número tienen una cantidad par de divisores propios, se concluye que de existir un número perfecto impar no podría ser el cuadrado de ningún impar y mucho menos par.
Muy buena aportación Julio Cesar. Gracias!
Muchas gracias Justo Fernández, por tu valiosísimo aporte. También agradecimiento mil por toda la dedicación que implica la existencia y el aporte de una página como soymatematicas.com. Estaré muy pendiente de tus aportes y ojalá pueda yo también aportarte. Desde Medellín, Colombia, un saludo del tamaño del universo. ¡Hasta pronto!
soy matematico chapin y me sorprende esto de los numeros perfectos voy a trabajar un mes en ellos y luego les contare como me fue.
saludos
Me alegro mucho que despierte tu interés. Me encantará conocer tus resultados …
Un abrazo
hola!
muchisimas gracias por este blog es super interesante descubrir cosas nuevas, yo pasaba por aqui a agradecerte ya que esto me ha servido de gran ayuda. estaba estudiando para presentar mi examen icfes.
Hola Andrea!
Gracias a ti por tus palabras de agradecimiento que me hacen recargar las pilas.
Mucha suerte con tu examen. Ánimo!
Hola.
Muy interesante todo lo que cuentas de los números perfectos. Yo llegué a ellos a través de un libro del cole de mi hija sobre Fermat.
Pero hay una cosa que «descubrí» sobre ellos y que aún no he leído en ninguna parte. Quería preguntarte si es cierta mi suposición o no. Seguro que es una tontería, y que ya está «más que descubierta», aunque yo no lo haya visto por ninguna parte o no lo haya entendido si me lo explicaron con lenguaje matemático. Bueno, voy al grano. Verás:
Excepto el 6, que es el primero de la serie, en todos los demás números perfectos con los que he estado probando, si se van sumando sus dígitos hasta reducirlos a una sola cifra, esa cifra es siempre el 1 (y la anterior previa a la última reducción también se repite siempre, y es el 10).
Ejemplos:
28: 2+8=10: 1+0=1
496: 4+9+6=19: 1+9=10: 1+0=1
8128: 8+1+2+8=19: 1+9=10: 1+0=1
33550336: 3+3+5+5+0+3+3+6=28: 2+8=10: 1+0=1
8589869056: 8+5+8+9+8+6+9+0+5+6= 64: 6+4=10: 1+0=1
137438691328: 1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8= 55: 5+5= 10: 1+0=1
2305843008139952128: 2+3+0+5+8+4+3+0+0+8+1+3+9+9+5+2+1+2+8= 73: 7+3= 10: 1+0=1
Y así sucesivamente.
¿Estoy en lo cierto al decir que esa propiedad se da siempre? ¿es cierto que nunca se había hecho referencia a ella o no?, ¿tiene alguna importancia?.
Estaré encantado de conocer tu respuesta.
Muchas gracias, y un saludo.
Hola Marcos!
Muchas gracias por tu interesante aportación.
La verdad es que no conocía esta curiosidad. Yo solo soy un humilde profesor.
Con respecto a las preguntas, no puedo responderte con seguridad. La demostración matemática sería bien compleja. Indagaré y si tengo respuestas, te lo comentaré
Un abrazo!
Me encantó!
Cuanto me alegro. Gracias!
Saludos 😉
Mira que me han gustado siempre las matemáticas y lo de los números perfectos no lo había estudiado o si lo hice, no lo recuerdo, siempre aprendiendo algo nuevo, gracias.
Hola Marco! Mil disculpas por contestar ahora. Se me pasó en su momento.
Yo siempre estoy aprendiendo de mis alumnos. Gracias a tí. Saludos!
¡Fantástico artículo! y si la memoria no me falla (cosa más que probable, me refiero a que me falle), nunca había oído hablar de los números perfectos y me parece de lo más interesante. Muchas gracias Justo, me está haciendo pensar en ello.
Gracias Soledad!Las matemáticas tienen muchas cosas sorprendentes.Y es una pena que normalmente no se destaque la belleza de esta asignatura en las aulas de secundaria.
Un abrazo!
Muy interesante esta aportación sobre los números perfectos. Yo ignoraba su existencia y además sorprende su escasez. Siempre se aprende algo.
Me alegro que te haya gustado Francisco. Yo estoy aprendiendo todos los días …
Saludos!
Excelente entrada.
Dejo aquí un enlace a la entrada que en su día hice en mi blog también sobre los números perfectos:
http://matematicascercanas.com/2015/03/04/numeros-perfectos/
Saludos.
Muchas gracias Amadeo.
Os recomiendo que os deis una buena vuelta por esta web con muchas matemáticas http://matematicascercanas.com/
Y ya que me baje la lista de los números perfectos, al ir revisando observe que los numeros perfectos terminan en 6 y 8, así que en teoría viendo esa lista seria que los numeros perfectos terminan en esos digitos, ahora seria probarlo o encontrar un número perfecto que no termine en esos números para rechazar esa teoría. Tambien podrias colocarlo como curiosidad en tu artículo.
Ya aparece en el artículo. Todos los números perfectos acaban en 6 o en 28. Gracias por ayuda. Saludos!
Como siempre un articulo interesante y divertido, aunque ya conocia los numeros perfectos nunca imagine que hubieran tan pocos en los primero 30 millones. Ahora me quede con la duda si alguien encontrará un numero perfecto impar, aunque por logica me pareciera imposible, pero en las matemáticas hasta no demostrar con un teorema nada esta dicho. Saludos y en espera de tu próxima publicación.
Muchas gracias por darme energía Jarods. Tienes razón, las apariencias a veces engañan 😉
Un abrazo